【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第六章 平面向量及其应用单元测试（强化卷）

第六章 平面向量及其应用单元测试（强化卷）

一、单选题

1．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题设，.

故选：C.

2．已知正方形的边长为，则＝（    ）

A．2 B．6 C．4 D．

【答案】B

【详解】由正方形的边长为，

可得正方形的对角线长，

利用向量的平行四边形法则可得：

，

则.

故选：B.

3．锐角中，已知，则取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，由余弦定理得：，即，

由正弦定理得：，，

，

又由得：，，

，

.

故选：D

4．已知向量，，若，则的值为（    ）

A．2 B．-2 C．6 D．-6

【答案】C

【详解】由题意，向量，，可得，

因为，则，解得.

故选：C.

5．在中，若，则的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【详解】，

，

即，

又，同理得：，

，，

代入得：，

设，，，

且

由余弦定理得：

，

，.

综上所述，的形状为等边三角形

故选：C

6．在中，角所对的边分别为．若，则为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【详解】，利用正弦定理，可得，

，

，

，

，

，

①时，有等式成立，此时；

②时，有，因为，所以，.

故为等腰或直角三角形.

故选：D

7．若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ）

A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

【答案】B

【详解】，,

所以四边形ABCD为平行四边形，

, ，

所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.

故选：B

8．在中，已知，则（    ）

A．2021 B．2022 C．4042 D．4043

【答案】D

【详解】解：由得

所以，

故，

即，即，

故.

故选：D.

二、多选题

9．下列向量中与共线的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【详解】向量，因，则与不共线，A不是；

因，则与不共线，B不是；

而，，则与都共线，即C，D是.

故选：CD

10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）

A．若，则

B．，若与平行，则

C．非零向量和满足，则与的夹角为

D．点，与向量同方向的单位向量为

【答案】BCD

【详解】对于A，若且，可满足条件，但，故A不正确；

对于B，由条件，若这两向量平行，有，解得，故B正确；

对于C，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故C正确；

对于D，可得，因此与同方向的单位向量为，故D正确.

故选：BCD.

11．已知向量，，则（    ）

A． B．若，则

C．与的夹角的正弦值为 D．若，则实数

【答案】BD

【详解】A. 由题得因为,所以不成立；

B. ,所以，所以，所以，所以该选项正确；

C. 由题得，所以与的夹角的余弦，所以该选项错误；

D. 所以，所以所以.所以该选项正确.

故选：BD

12．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，若满足条件的三角形有两个，则x的值可能为（    ）

A．1 B．1.5 C．1.8 D．2

【答案】BC

【详解】在中，由正弦定理得，，

因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即，

于是得，解得，显然x可取1.5，1.8.

故选：BC

三、填空题

13．点，，，点的坐标为______．

【答案】

【详解】由已知得，设,由已知得,

,

故答案为：(.

14．已知，若向量与共线，则____________．

【答案】##

【详解】解：因为且，所以，解得，

所以，所以;

故答案为：

15．已知向量，且，则的取值范围是___________．

【答案】

【详解】因为，

所以，

又因为，

所以，

所以，

设，则，

则，

化简得：，

方程有解，则，

化简得：，

当，，

所以，

所以不等式的解集为：.

故答案为：.

16．如图，四边形中，，，，，．若是线段的动点，则________，则的最大值为________．

【答案】     ##    

【详解】因为四边形中，，，，则，

，，

因为，

即，可得，

因此，，

，

所以，，

设，则，

所以，的最大值为.

故答案为：；.

四、解答题

17．已知点是线段的中点.

（1）求点和的坐标；

（2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标.

【答案】（1），；（2）.

【详解】解：（1）是线段的中点，

（2）设，则，

∵∥，∴，解得，

点的坐标是.

18．已知向量与的对应关系可用表示.

（1）设，，求及的坐标；

（2）证明：对于任意向量、及常数m、n，恒有成立；

（3）求使成立的向量.

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.

【详解】（1），

（2）设，，∴，

∴

∴，

故对于任意向量、及常数m、n，恒有成立.

（3）设，因为，则有，解得，所以.

19．某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.

（1）求点到点的距离；

（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.

【答案】（1）海里；（2）小时

【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；

【详解】（1）由题意知：，，，

所以，

在中，由正弦定理可得：即，

所以海里，

（2）在中，，，，

由余弦定理可得：

，

所以海里，

所以需要的时间为小时，

所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.

20．在①；②；③这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．

(1)求角A；

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，，若已知，，求的值．

【答案】(1)

(2)，

【详解】（1）若选①：由已知得：

由正弦定理可得

，可得，

由余弦定理可得， 因为， 所以．

若选②：因为

由正弦定理可得，

所以

因为 ， 所以， 所以，

因为， 所以

若选③：因为 ，由正弦定理得

因为 ，所以，故可得，

即, 所以，因为 ，所以；

（2）由（1）可得，，所以，

由余弦定理得：，

所以，又因为，解得，．

21．在中，角，，的对边分别为，，，．

(1)求；

(2)再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求．

条件①：，；

条件②：；

【答案】(1)

(2)

解析 （1）因为，所以，

所以，则，

又，；

（2）若选条件①：因为，所以，

所以，则，

故无解；

若选条件②：因为，又，所以，

由正弦定理得：，所以，

所以，又，所以，，

因为，

所以.

22．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.

(1)求；

(2)求的余弦值.

【答案】(1)

(2)的余弦值为

【解析】(1)又已知为的中点，

所以，

所以，

所以，

又，，，

所以，

所以，

(2)因为为的中点，所以，

又，

所以,

所以，

，

所以，

又与的夹角相等，

所以，

所以的余弦值为.