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【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第六章 平面向量及应用》单元测试2（含解析）
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这是一份【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第六章 平面向量及应用》单元测试2（含解析），共15页。
人教A版（2019）必修第二册《第六章 平面向量及应用》单元测试2
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知a→，b→均为单位向量，若a→，b→的夹角为2π3，则a→.b→=( )
A. 7 B. 6 C. 12 D. -12
2.（5分）在ΔABC中，内角B=60°，边长a=8，b=7，则此三角形的面积为( )
A. 63 B. 93 C. 63或103 D. 93或103
3.（5分）在ΔABC中，b=26，B=60°，A=45°，则a=( )
A. 3 B. 72 C. 4 D. 92
4.（5分）已知ΔABC中，AB→=(2,8)，AC→=(-3,4)，若BM→=MC→，则AM→的坐标为( )
A. (-12,6) B. (52,2)
C. (-1,12) D. (5,4)
5.（5分）在ΔABC中，a2=b2+c2+bc，则角A为( )
A. 30° B. 45° C. 120° D. 150°
6.（5分）已知在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=x，b=3，B=45°.若此三角形有两解，则实数x的取值范围是( )
A. x>3 B. 3
A. 2 B. 85 C. 65 D. 1
8.（5分）如图，在四面体A-BCD中，点E是CD的中点，点G是BE的中点，若AC→=xAB→+yAC→+zAD→，则x+y+z=( )
A. 12 B. 14 C. 13 D. 1
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知向量a→,b→满足|a→|=1,|b→|=2，则|a→+b→|+|a→-b→|的可能结果为( )
A. 4 B. 25 C. 2 D. 32
10.（5分）已知|a→|=1，b→=(3,4)，则以下结论正确的是()
A. 若a→//b→，则|a→+b→|=6
B. 若|a→+b→|=|a→-b→|，则a→⊥b→
C. 若a→//b→，则a→=(35,45)或a→=(-35,-45)
D. |a→-b→|的最小值为4
11.（5分）如图，设α∈(0,π)，且α≠π2，当∠xOy=α时，定义平面坐标系xOy为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设e1→，e2→是分别与x轴，y轴正方向相同的单位向量，若OP→=xe1→+ye2→，记OP→=(x,y)，则下列结论中正确的是()
A. 设a→=(m,n)，b→=(s,t)，若a→=b→，则m=s，n=t
B. 设a→=(m,n)，则|a→|=m2+n2
C. 设a→=(m,n)，b→=(s,t)，若a→//b→，则mt-ns=0
D. 设a→=(1,2)，b=(2,1)，若a→与b→的夹角为π3，则α=2π3
12.（5分）若向量u→=(3,-6)，v→=(4,2)，w→=(-12,-6)，则下列结论中正确的是( )
A. u→⊥v→
B. v→//w→
C. w→=u→-3v→
D. 在同一平面内，对任一向量AB→，存在实数a，b，使AB→=au→+bv→
13.（5分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(b+c)︰(c+a)︰(a+b)=4︰5︰6，则下列结论正确的是( )
A. sin A︰sin B︰sin C=7︰5︰3
B. AB→.AC→>0
C. 若c=6，则ΔABC的面积是153
D. 若b+c=8，则ΔABC的外接圆半径是733
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知两个向量a→，b→对应的复数是z1=3和z2=5+5i，求向量a→与b→的夹角 ______ ．
15.（5分）已知在ΔABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=2a，3cosB=2cosA，c=3+1，则ΔABC的面积为__________.
16.（5分）已知点A，B，C在半径为2的球面上，满足AB=AC=1，BC=3，若S是球面上任意一点，则三棱锥S-ABC体积的最大值为________.
17.（5分）在ΔABC中，M为AB的中点，AN→=2NC→，若MN→=xAB→+yAC→，则x+y=______
18.（5分）已知e1，e2是两个单位向量，且e1+e2=3，则e1-e2=____________________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数f(x)=23sin2x+2sinxcosx-3+1.
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间；
(2)ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B2)=3+1，c=2，角A的平分线AD=3，求AC边的长.
20.（12分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac.
(Ⅰ)求cosB的值；
(Ⅱ)若b=3，求ΔABC的面积．
21.（12分）已知ΔABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，3a=2csinA．
(1)求角C的值；
(2)求2a-b的取值．
22.（12分）已知函数f(x)=23sinxcosx-cos2x，x∈R．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在ΔABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f(A)=2，C=π4，c=2，求ΔABC的面积SΔABC的值．
23.（12分）在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b+c=2a，5csinB=7asinC．
(1)求cosB的值；
(2)设f(x)=sin(x+B)，解不等式f(x)⩾12．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：a→.b→=|a→|⋅|b→|cos=1×1×cos2π3=-12.
故选：D.
根据平面向量数量积的运算法则，即可得解．
此题主要考查平面向量数量积的运算法则，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：∵ΔABC中，b=7，a=8，B=60°，
∴由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，
即49=c2+64-2×c×8×cos60°，
整理得c2-8c+15=0，
∴解得c=3或c=5，
∴ΔABC的面积为S=12acsinB=63或103．
故选：C．
根据题意，利用余弦定理算出c的值，再由三角形的面积公式即可算出ΔABC的面积．
这道题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】
此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用正弦定理即可解得a的值.
解：∵b=26，B=60°，A=45°，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得a22=2632，解得a=4，
故选C.
4.【答案】A;
【解析】解：根据题意，AB→=(2,8)，AC→=(-3,4)，则BC→=(-5,-4)，
若BM→=MC→，则BM→=12BC→=(-52,-2)，
则AM→=AB→+BM→=(-12,6)；
故选：A.
根据题意，求出向量BC→的坐标，又由BM→=MC→，可得BM→=12BC→，即可得BM→的坐标，又由AM→=AB→+BM→，计算可得答案．
此题主要考查平面向量的坐标计算，关键是分析M为BC的中点，属于基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12，
解得A=120°．
故选：C．
利用余弦定理即可得出．
该题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：要使三角形有两解，则需a>b，且0
即sinA=asinBb=2x6，
∴x>30<2x6<1，
解得3
要使三角形有两解，则需a>b，且0
7.【答案】B;
【解析】【分析】
考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．
【解答】
解：不妨设正方形边长为2，以AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，
则A(0,0)，D(0,2)，N(1,2)，C(2,2)，M(2,1)，AC→=(2,2)=λ(1,2)+μ(2,-1)，
即{&λ+2μ=2&2λ-μ=2，
解得{&λ=65&μ=25，
故选B.
8.【答案】D;
【解析】解：AG→=12(AB→+AE→)
=12AB→+12×12(AC→+AD→)
=12AB→+14AC→+14AD→
∴x+y+z=1
故选：D．
只需对左边向量做简单的转换就可解决．
该题考查了向量的转换，属容易题．
9.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查平面向量的数量积，平面向量的模，属于中档题.
令t=2øverrightarrowa.b→，得出t的取值范围，令S=|a→+b→|+|a→-b→|，用t的代数式表示S，通过对S平方得出S的取值范围即可；
解：由题意，令t=2øverrightarrowa.b→，S=|a→+b→|+|a→-b→|，
则t=2øverrightarrowa.b→=2a→.b→.cos∈-4,4，
故S=|a→+b→|+|a→-b→|=|a→+b→|2+|a→-b→|2
=5+t+5-t，
故S2=10+225-t2，因为t∈-4,4，所以S2∈16,20，
即S∈4,25，
故选ABD.
10.【答案】BCD;
【解析】【分析】
本题考查平面向量的共线与垂直的充要条件以及向量模的求法，考查平面向量的数量积，属于中档题.
先根据向量的平行关系，可得a→=(35,45)或a→=(-35,-45)，从而可知A错误，C正确，再根据性质|a→|2=a→2可判断B、D，从而得解.
【解答】
解：对于A，设a→=(x,y)，由|a→|=1，所以x2+y2=1，
由a→//b→，所以3y-4x=0，由{x2+y2=13y-4x=0，解得{x=35y=45或{x=-35y=-45，
所以a→=(35,45)或a→=(-35,-45)，
当a→=(35,45)时，|a→+b→|=|(185,245)|=6，
当a→=(-35,-45)时，|a→+b→|=|(125,165)|=4，故A错误；
对于B，由|a→+b→|=|a→-b→|得，即(a→+b→)2=(a→-b→)2，
所以a→2+b→2+2a→·b→=a→2+b→2-2a→·b→，
可得a→·b→=0，所以a→⊥b→，故B正确；
对于C，由A得，a→=(35,45)或a→=(-35,-45)，故C正确；
对于D，|a→-b→|=(a→-b→)2=a→2+b→2-2a→·b→
=1+25-2×1×5cos⩾26-10=4，
当且仅当a→与b→共线且同向时取等号，
所以|a→-b→|的最小值为4，故D正确，
故选BCD.
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查向量的坐标运算，向量的模长，向量平行的条件，向量的夹角，属于难题.
由向量相关概念、性质逐一判断即可.解：因为a→=(m,n)，b→=(s,t)，
则a→=me1→+ne→2,b→=se1→+te→2，
又a→=b→，
所以m=s，n=t，故A正确；
|a→|=|me1→+ne→2|=m2+n2+2mncosα，
因为α∈(0,π)，且α≠π2，
所以mncosα≠0，
所以|a→|≠m2+n2，故B错误；
因为a→//b→，
所以b→=λa→(λ∈R)，
即s=λm,t=λn，
所以mt-ns=0，故C正确；
因为a→=(1,2)，b→=(2,1)，
所以a→=e→1+2e→2，b→=2e→1+e→2，
所以|a→|=|b→|=5+4e1→·e→2,
a→·b→=4+5e1→·e→2，
因为a→与b→的夹角为π3，
所以4+5e1→·e→2=(5+4e1→·e→2)cosπ3，
解得e→1·e→2=-12，即cosα=-12，
所以α=2π3，故D正确.
故选ACD.
12.【答案】ABD;
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，解题时要认真审题，属于基础题.
结合题设条件，利用向量的坐标形式的运算法则，进行判断，能够求出正确结果．
【解答】
解：∵向量u→=(3,-6)，v→=(4,2)，w→=(-12,-6)，
∴u→·v→=3×4+(-6)×2=0，
∴u→⊥v→，故A正确；
∵4-12=2-6，
∴v→//w→，故B正确；
∵w→=(-12,-6)，u→-3v→=(-9,-12)，
∴w→≠u→-3v→，故C不正确；
∵u→和v→不平行，∴对任一向量AB→，存在实数a，b使AB→=au→+bv→，
故选ABD.
13.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查正弦定理、余弦定理，及三角形的面积公式，属于中档题.
由已知可设b+c=4k， c+a=5k， a+b=6k (k>0)，得出a、b、c，由正弦定理判断A；利用余弦定理求出角A的余弦值，从而可分析B；根据三角形面积公式即可分析C.根据外接圆半径与正弦定理的关系判断D.
解：由已知可设b+c=4k， c+a=5k， a+b=6k (k>0)，
则a=72k,b=52k,c=32k，所以a:b:c=7:5:3，
由正弦定理得sinA:sinB:sinC=7:5:3，故A正确；
由余弦定理结合A中求出的数值可得
cosA=254k2+94k2-494k22×52×32k2=-12<0，AB→⋅AC→=AB→AC→cosA<0，故B错误；
若c=6时，则b=10，由B分析可知cosA=-12，又0
若b+c=8时，由a:b:c=7:5:3可得a=7，所以ΔABC的外接圆半径是R=a2sinA=72×32=733，故D正确；
故选ACD.
14.【答案】π4;
【解析】解：设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0,π]，由题意可得a→=(3,0)，b→=(5,5)，
∴a→.b→=3⋅5+0=15=3⋅52⋅cosθ，∴cosθ=22，∴θ=π4，
故答案为：π4．
利用两个向量的数量积公式以及两个向量的数量积的定义，求得cosθ的值，可得向量a→与b→的夹角θ的值．
这道题主要考查两个向量的数量积公式以及两个向量的数量积的定义，属于基础题．
15.【答案】3+12;
【解析】
此题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由已知可求sinB=2sinA，cosB=23cosA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，cosB，进而可求A，B，C的值，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
解：∵由b=2a，可得：sinB=2sinA，
由3cosB=2cosA，可得：cosB=23cosA，
∴(2sinA)2+(23cosA)2=1，解得：sin2A+13cos2A=12，
∴结合sin2A+cos2A=1，可得：cosA=32，cosB=22，
∴A=π6，B=π4，可得：C=π-A-B=7π12，
∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
可得：(3+1)2=a2+(2a)2-2a×2a×cos7π12，
∴解得：a=2，
∴SΔABC=12acsinB=12×2×(3+1)×22=3+12.
故答案为：3+12.
16.【答案】3+2312
;
【解析】此题主要考查的知识点是三棱锥的体积，属于中档题．
求出ΔABC外接圆半径，底面积SΔABC不变，高最大时体积最大，可得SQ与面ABC垂直时体积最大，即可求解.
解：根据题意知，A、B、C三点均在球O的表面上，
且AB=AC=1，BC=3，
由余弦定理可得cos∠BAC=1²+1²-3²2×1×1=-12，
故∠BAC=120°，
∴ΔABC外接圆半径r=BC2sin∠BAC=1，
∴SΔABC=12×1×1×sin120∘=34，
设ΔABC的外接圆圆心为Q，
由于底面积SΔABC不变，高最大时三棱锥S-ABC体积最大，
所以，SQ与面ABC垂直时体积最大，
此时在直角ΔAQO中，OA2=AQ2+OQ2，
即22=12+OQ2，∴OQ=3，
∴SQ=2+3，
∴三棱锥体积的最大值为13×34(2+3)=3+2312，
故答案为3+2312.
17.【答案】16;
【解析】解：∵M为AB的中点，AN→=2NC→，∴MN→=AN→-AM→=23AC→-12AB→，⇒x=-12，y=23，∴x+y=16；
故答案为：16
用AB→、AC→表示MN→即可求出x、y．
该题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
18.【答案】1;
【解析】方法一 由e1+e2=3，两边平方，得e12+2e1·e2+e22=3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2=1.所以e1-e22=e12-2e1·e2+e22=1，所以e1-e2=1.
方法二 如图，设AB→=e1，AD→=e2，又e1，e2是单位向量，所以AB→=AD→=1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以AC→=e1+e2，DB→=e1-e2，因为e1+e2=3，即AC→=3，所以∠ABC=120°，则∠DAB=60°，所以DB→=1，e1-e2=1.
19.【答案】解：（1）f(x)=23sin2x+2sinxcosx-3+1
=sin2x-3cos2x+1=2sin(2x-π3)+1
令2kπ-π2⩽2x-π3⩽2kπ+π2得：kπ-π12⩽x⩽kπ+5π12.
∴函数y=f(x)的单调递增区间为kπ-π12,kπ+5π12,k∈z
（2）∵f(B2)=3+1∴2sin(B-π3)+1=3+1,sin(B-π3)=32∵0
∴sin∠ADB=22∵∠ADB为锐角∴∠ADB=π4,∠BAD=π12.
∵AD为角A的平分线∴A=π6.
在等腰ΔABC中，由余弦定理b2=2+2-2.2.2cos2π3=6.
∴b=6.;
【解析】(1)由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=2sin(2x-π3)+1，由正弦函数单调性即可得解．
(2)根据 f(B2)=3+1解出B，然后根据正弦定理A，再利用余弦定理求出结果.
此题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数单调性，正弦定理以及余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为sinA=2sinC，利用正弦定理化简得：a=2c，
∵b2=ac=2c2，
∴cosB=a2+c2-b22ac=4c2+c2-2c24c2=34；
(Ⅱ)由b=3得，c=32=62，a=6，
又sinB=1-cos2B=74，
则SΔABC=12acsinB=378.;
【解析】此题主要考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简得到a=2c，代入第二个等式表示出b2，利用余弦定理表示出cosB，把各自的值代入计算即可求出cosB的值；
(Ⅱ)由b的值求出a与c的值，由cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
21.【答案】解：（1）由正弦定理得：asinA=csinC，
又∵3a=2csinA，
∴3sinA=2sinCsinA，
∵锐角三角形ABC，
∴A∈(0，π2)，C∈(0，π2)，B∈(0，π2)，
∴sinA＞0，
∴3=2sinC，即：sinC=32，
∴C=π3．
（2）由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC，
∵c=3，sinC=sinπ3=32，
∴asinA=bsinB=332=23，
∴2a-b=43sinA-23sinB，
∵A+B+C=π，且C=π3，
∴A+B=2π3，
∴2a-b=23.[2sinA-sin(2π3-A)]=23(2sinA-sin2π3cosA+cos2π3sinA)=23(32sinA-32cosA)，
=6(32sinA-12cosA)=6(sinAcosπ6-cosAsinπ6)=6sin(A-π6)，
∵三角形为锐角三角形，且A+B=2π3，
∴0＜A＜12π0＜2π3-A＜12π
∴π6＜A＜π2，
∴0＜A-π6＜π3，
∴sin(A-π6)∈(0，32)，
∴2a-b∈(0，33)．;
【解析】
(1)由已知结合正弦定理进行化简可求sinC，进而可求C；
(2)由已知结合正弦定理及和差角公式及辅助角公式进行化简即可求值．
这道题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
22.【答案】解：（1）∵f（x）=23sinxcosx-cos2x=3sin2x-cos2x=2sin（2x-π6），
∴令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z可解得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
即有函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-π6，kπ+π3]，k∈Z，
（2）∵f（A）=2sin（2A-π6）=2，
∴2A-π6=2kπ+π2，k∈Z，即有A=kπ+π3，k∈Z，
∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，
∴k=0时，A=π3，B=π-A-C=5π12，
故由正弦定理可得：222=a32，解得a=6，
∴S△ABC=12acsinB=6sin5π12=3+32．;
【解析】
(1)由二倍角公式化简可得f(x)=2sin(2x-π6)，令2kπ-π2⩽2x-π6⩽2kπ+π2，k∈Z可解得函数f(x)的单调递增区间．
(2)由f(A)=2sin(2A-π6)=2，可得A的值，由正弦定理可解得a=6，从而可求SΔABC的值．
这道题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．
23.【答案】解：（1）∵5csinB=7asinC，
∴由正弦定理可得5bc=7ac，即b=75a，
∵b+c=2a，
∴c=2a-b=2a-75a=35a，
∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+(35a)2-(75a)22×a×35a=-12．
（2）∵cosB=-12，B∈（0，π），
∴B=2π3，
∴f（x）=sin（x+2π3），
∵f(x)≥12，即sin（x+2π3）≥12，
∴2kπ+π6≤x+2π3≤2kπ+5π6，k∈Z，解得2kπ-π2≤x≤2kπ+π6，k∈Z，
∴不等式f(x)≥12的解集为[2kπ-π2，2kπ+π6]，k∈Z．;
【解析】
(1)由已知利用正弦定理可得b=75a，c=35a，利用余弦定理可求cosB的值．
(2)由cosB=-12，B∈(0,π)，可求B=2π3，可得解析式f(x)=sin(x+2π3)，进而根据正弦函数的图象和性质即可解得sin(x+2π3)⩾12的解集，从而得解．
这道题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
人教A版（2019）必修第二册《第六章 平面向量及应用》单元测试2
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知a→，b→均为单位向量，若a→，b→的夹角为2π3，则a→.b→=( )
A. 7 B. 6 C. 12 D. -12
2.（5分）在ΔABC中，内角B=60°，边长a=8，b=7，则此三角形的面积为( )
A. 63 B. 93 C. 63或103 D. 93或103
3.（5分）在ΔABC中，b=26，B=60°，A=45°，则a=( )
A. 3 B. 72 C. 4 D. 92
4.（5分）已知ΔABC中，AB→=(2,8)，AC→=(-3,4)，若BM→=MC→，则AM→的坐标为( )
A. (-12,6) B. (52,2)
C. (-1,12) D. (5,4)
5.（5分）在ΔABC中，a2=b2+c2+bc，则角A为( )
A. 30° B. 45° C. 120° D. 150°
6.（5分）已知在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=x，b=3，B=45°.若此三角形有两解，则实数x的取值范围是( )
A. x>3 B. 3
A. 2 B. 85 C. 65 D. 1
8.（5分）如图，在四面体A-BCD中，点E是CD的中点，点G是BE的中点，若AC→=xAB→+yAC→+zAD→，则x+y+z=( )
A. 12 B. 14 C. 13 D. 1
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知向量a→,b→满足|a→|=1,|b→|=2，则|a→+b→|+|a→-b→|的可能结果为( )
A. 4 B. 25 C. 2 D. 32
10.（5分）已知|a→|=1，b→=(3,4)，则以下结论正确的是()
A. 若a→//b→，则|a→+b→|=6
B. 若|a→+b→|=|a→-b→|，则a→⊥b→
C. 若a→//b→，则a→=(35,45)或a→=(-35,-45)
D. |a→-b→|的最小值为4
11.（5分）如图，设α∈(0,π)，且α≠π2，当∠xOy=α时，定义平面坐标系xOy为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设e1→，e2→是分别与x轴，y轴正方向相同的单位向量，若OP→=xe1→+ye2→，记OP→=(x,y)，则下列结论中正确的是()
A. 设a→=(m,n)，b→=(s,t)，若a→=b→，则m=s，n=t
B. 设a→=(m,n)，则|a→|=m2+n2
C. 设a→=(m,n)，b→=(s,t)，若a→//b→，则mt-ns=0
D. 设a→=(1,2)，b=(2,1)，若a→与b→的夹角为π3，则α=2π3
12.（5分）若向量u→=(3,-6)，v→=(4,2)，w→=(-12,-6)，则下列结论中正确的是( )
A. u→⊥v→
B. v→//w→
C. w→=u→-3v→
D. 在同一平面内，对任一向量AB→，存在实数a，b，使AB→=au→+bv→
13.（5分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(b+c)︰(c+a)︰(a+b)=4︰5︰6，则下列结论正确的是( )
A. sin A︰sin B︰sin C=7︰5︰3
B. AB→.AC→>0
C. 若c=6，则ΔABC的面积是153
D. 若b+c=8，则ΔABC的外接圆半径是733
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知两个向量a→，b→对应的复数是z1=3和z2=5+5i，求向量a→与b→的夹角 ______ ．
15.（5分）已知在ΔABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=2a，3cosB=2cosA，c=3+1，则ΔABC的面积为__________.
16.（5分）已知点A，B，C在半径为2的球面上，满足AB=AC=1，BC=3，若S是球面上任意一点，则三棱锥S-ABC体积的最大值为________.
17.（5分）在ΔABC中，M为AB的中点，AN→=2NC→，若MN→=xAB→+yAC→，则x+y=______
18.（5分）已知e1，e2是两个单位向量，且e1+e2=3，则e1-e2=____________________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数f(x)=23sin2x+2sinxcosx-3+1.
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间；
(2)ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B2)=3+1，c=2，角A的平分线AD=3，求AC边的长.
20.（12分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac.
(Ⅰ)求cosB的值；
(Ⅱ)若b=3，求ΔABC的面积．
21.（12分）已知ΔABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，3a=2csinA．
(1)求角C的值；
(2)求2a-b的取值．
22.（12分）已知函数f(x)=23sinxcosx-cos2x，x∈R．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在ΔABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f(A)=2，C=π4，c=2，求ΔABC的面积SΔABC的值．
23.（12分）在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b+c=2a，5csinB=7asinC．
(1)求cosB的值；
(2)设f(x)=sin(x+B)，解不等式f(x)⩾12．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：a→.b→=|a→|⋅|b→|cos
故选：D.
根据平面向量数量积的运算法则，即可得解．
此题主要考查平面向量数量积的运算法则，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：∵ΔABC中，b=7，a=8，B=60°，
∴由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，
即49=c2+64-2×c×8×cos60°，
整理得c2-8c+15=0，
∴解得c=3或c=5，
∴ΔABC的面积为S=12acsinB=63或103．
故选：C．
根据题意，利用余弦定理算出c的值，再由三角形的面积公式即可算出ΔABC的面积．
这道题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】
此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用正弦定理即可解得a的值.
解：∵b=26，B=60°，A=45°，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得a22=2632，解得a=4，
故选C.
4.【答案】A;
【解析】解：根据题意，AB→=(2,8)，AC→=(-3,4)，则BC→=(-5,-4)，
若BM→=MC→，则BM→=12BC→=(-52,-2)，
则AM→=AB→+BM→=(-12,6)；
故选：A.
根据题意，求出向量BC→的坐标，又由BM→=MC→，可得BM→=12BC→，即可得BM→的坐标，又由AM→=AB→+BM→，计算可得答案．
此题主要考查平面向量的坐标计算，关键是分析M为BC的中点，属于基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12，
解得A=120°．
故选：C．
利用余弦定理即可得出．
该题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：要使三角形有两解，则需a>b，且0
即sinA=asinBb=2x6，
∴x>30<2x6<1，
解得3
要使三角形有两解，则需a>b，且0
7.【答案】B;
【解析】【分析】
考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．
【解答】
解：不妨设正方形边长为2，以AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，
则A(0,0)，D(0,2)，N(1,2)，C(2,2)，M(2,1)，AC→=(2,2)=λ(1,2)+μ(2,-1)，
即{&λ+2μ=2&2λ-μ=2，
解得{&λ=65&μ=25，
故选B.
8.【答案】D;
【解析】解：AG→=12(AB→+AE→)
=12AB→+12×12(AC→+AD→)
=12AB→+14AC→+14AD→
∴x+y+z=1
故选：D．
只需对左边向量做简单的转换就可解决．
该题考查了向量的转换，属容易题．
9.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查平面向量的数量积，平面向量的模，属于中档题.
令t=2øverrightarrowa.b→，得出t的取值范围，令S=|a→+b→|+|a→-b→|，用t的代数式表示S，通过对S平方得出S的取值范围即可；
解：由题意，令t=2øverrightarrowa.b→，S=|a→+b→|+|a→-b→|，
则t=2øverrightarrowa.b→=2a→.b→.cos
故S=|a→+b→|+|a→-b→|=|a→+b→|2+|a→-b→|2
=5+t+5-t，
故S2=10+225-t2，因为t∈-4,4，所以S2∈16,20，
即S∈4,25，
故选ABD.
10.【答案】BCD;
【解析】【分析】
本题考查平面向量的共线与垂直的充要条件以及向量模的求法，考查平面向量的数量积，属于中档题.
先根据向量的平行关系，可得a→=(35,45)或a→=(-35,-45)，从而可知A错误，C正确，再根据性质|a→|2=a→2可判断B、D，从而得解.
【解答】
解：对于A，设a→=(x,y)，由|a→|=1，所以x2+y2=1，
由a→//b→，所以3y-4x=0，由{x2+y2=13y-4x=0，解得{x=35y=45或{x=-35y=-45，
所以a→=(35,45)或a→=(-35,-45)，
当a→=(35,45)时，|a→+b→|=|(185,245)|=6，
当a→=(-35,-45)时，|a→+b→|=|(125,165)|=4，故A错误；
对于B，由|a→+b→|=|a→-b→|得，即(a→+b→)2=(a→-b→)2，
所以a→2+b→2+2a→·b→=a→2+b→2-2a→·b→，
可得a→·b→=0，所以a→⊥b→，故B正确；
对于C，由A得，a→=(35,45)或a→=(-35,-45)，故C正确；
对于D，|a→-b→|=(a→-b→)2=a→2+b→2-2a→·b→
=1+25-2×1×5cos
当且仅当a→与b→共线且同向时取等号，
所以|a→-b→|的最小值为4，故D正确，
故选BCD.
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查向量的坐标运算，向量的模长，向量平行的条件，向量的夹角，属于难题.
由向量相关概念、性质逐一判断即可.解：因为a→=(m,n)，b→=(s,t)，
则a→=me1→+ne→2,b→=se1→+te→2，
又a→=b→，
所以m=s，n=t，故A正确；
|a→|=|me1→+ne→2|=m2+n2+2mncosα，
因为α∈(0,π)，且α≠π2，
所以mncosα≠0，
所以|a→|≠m2+n2，故B错误；
因为a→//b→，
所以b→=λa→(λ∈R)，
即s=λm,t=λn，
所以mt-ns=0，故C正确；
因为a→=(1,2)，b→=(2,1)，
所以a→=e→1+2e→2，b→=2e→1+e→2，
所以|a→|=|b→|=5+4e1→·e→2,
a→·b→=4+5e1→·e→2，
因为a→与b→的夹角为π3，
所以4+5e1→·e→2=(5+4e1→·e→2)cosπ3，
解得e→1·e→2=-12，即cosα=-12，
所以α=2π3，故D正确.
故选ACD.
12.【答案】ABD;
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，解题时要认真审题，属于基础题.
结合题设条件，利用向量的坐标形式的运算法则，进行判断，能够求出正确结果．
【解答】
解：∵向量u→=(3,-6)，v→=(4,2)，w→=(-12,-6)，
∴u→·v→=3×4+(-6)×2=0，
∴u→⊥v→，故A正确；
∵4-12=2-6，
∴v→//w→，故B正确；
∵w→=(-12,-6)，u→-3v→=(-9,-12)，
∴w→≠u→-3v→，故C不正确；
∵u→和v→不平行，∴对任一向量AB→，存在实数a，b使AB→=au→+bv→，
故选ABD.
13.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查正弦定理、余弦定理，及三角形的面积公式，属于中档题.
由已知可设b+c=4k， c+a=5k， a+b=6k (k>0)，得出a、b、c，由正弦定理判断A；利用余弦定理求出角A的余弦值，从而可分析B；根据三角形面积公式即可分析C.根据外接圆半径与正弦定理的关系判断D.
解：由已知可设b+c=4k， c+a=5k， a+b=6k (k>0)，
则a=72k,b=52k,c=32k，所以a:b:c=7:5:3，
由正弦定理得sinA:sinB:sinC=7:5:3，故A正确；
由余弦定理结合A中求出的数值可得
cosA=254k2+94k2-494k22×52×32k2=-12<0，AB→⋅AC→=AB→AC→cosA<0，故B错误；
若c=6时，则b=10，由B分析可知cosA=-12，又0
若b+c=8时，由a:b:c=7:5:3可得a=7，所以ΔABC的外接圆半径是R=a2sinA=72×32=733，故D正确；
故选ACD.
14.【答案】π4;
【解析】解：设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0,π]，由题意可得a→=(3,0)，b→=(5,5)，
∴a→.b→=3⋅5+0=15=3⋅52⋅cosθ，∴cosθ=22，∴θ=π4，
故答案为：π4．
利用两个向量的数量积公式以及两个向量的数量积的定义，求得cosθ的值，可得向量a→与b→的夹角θ的值．
这道题主要考查两个向量的数量积公式以及两个向量的数量积的定义，属于基础题．
15.【答案】3+12;
【解析】
此题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由已知可求sinB=2sinA，cosB=23cosA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，cosB，进而可求A，B，C的值，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
解：∵由b=2a，可得：sinB=2sinA，
由3cosB=2cosA，可得：cosB=23cosA，
∴(2sinA)2+(23cosA)2=1，解得：sin2A+13cos2A=12，
∴结合sin2A+cos2A=1，可得：cosA=32，cosB=22，
∴A=π6，B=π4，可得：C=π-A-B=7π12，
∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
可得：(3+1)2=a2+(2a)2-2a×2a×cos7π12，
∴解得：a=2，
∴SΔABC=12acsinB=12×2×(3+1)×22=3+12.
故答案为：3+12.
16.【答案】3+2312
;
【解析】此题主要考查的知识点是三棱锥的体积，属于中档题．
求出ΔABC外接圆半径，底面积SΔABC不变，高最大时体积最大，可得SQ与面ABC垂直时体积最大，即可求解.
解：根据题意知，A、B、C三点均在球O的表面上，
且AB=AC=1，BC=3，
由余弦定理可得cos∠BAC=1²+1²-3²2×1×1=-12，
故∠BAC=120°，
∴ΔABC外接圆半径r=BC2sin∠BAC=1，
∴SΔABC=12×1×1×sin120∘=34，
设ΔABC的外接圆圆心为Q，
由于底面积SΔABC不变，高最大时三棱锥S-ABC体积最大，
所以，SQ与面ABC垂直时体积最大，
此时在直角ΔAQO中，OA2=AQ2+OQ2，
即22=12+OQ2，∴OQ=3，
∴SQ=2+3，
∴三棱锥体积的最大值为13×34(2+3)=3+2312，
故答案为3+2312.
17.【答案】16;
【解析】解：∵M为AB的中点，AN→=2NC→，∴MN→=AN→-AM→=23AC→-12AB→，⇒x=-12，y=23，∴x+y=16；
故答案为：16
用AB→、AC→表示MN→即可求出x、y．
该题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
18.【答案】1;
【解析】方法一 由e1+e2=3，两边平方，得e12+2e1·e2+e22=3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2=1.所以e1-e22=e12-2e1·e2+e22=1，所以e1-e2=1.
方法二 如图，设AB→=e1，AD→=e2，又e1，e2是单位向量，所以AB→=AD→=1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以AC→=e1+e2，DB→=e1-e2，因为e1+e2=3，即AC→=3，所以∠ABC=120°，则∠DAB=60°，所以DB→=1，e1-e2=1.
19.【答案】解：（1）f(x)=23sin2x+2sinxcosx-3+1
=sin2x-3cos2x+1=2sin(2x-π3)+1
令2kπ-π2⩽2x-π3⩽2kπ+π2得：kπ-π12⩽x⩽kπ+5π12.
∴函数y=f(x)的单调递增区间为kπ-π12,kπ+5π12,k∈z
（2）∵f(B2)=3+1∴2sin(B-π3)+1=3+1,sin(B-π3)=32∵0
∴sin∠ADB=22∵∠ADB为锐角∴∠ADB=π4,∠BAD=π12.
∵AD为角A的平分线∴A=π6.
在等腰ΔABC中，由余弦定理b2=2+2-2.2.2cos2π3=6.
∴b=6.;
【解析】(1)由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=2sin(2x-π3)+1，由正弦函数单调性即可得解．
(2)根据 f(B2)=3+1解出B，然后根据正弦定理A，再利用余弦定理求出结果.
此题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数单调性，正弦定理以及余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为sinA=2sinC，利用正弦定理化简得：a=2c，
∵b2=ac=2c2，
∴cosB=a2+c2-b22ac=4c2+c2-2c24c2=34；
(Ⅱ)由b=3得，c=32=62，a=6，
又sinB=1-cos2B=74，
则SΔABC=12acsinB=378.;
【解析】此题主要考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简得到a=2c，代入第二个等式表示出b2，利用余弦定理表示出cosB，把各自的值代入计算即可求出cosB的值；
(Ⅱ)由b的值求出a与c的值，由cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
21.【答案】解：（1）由正弦定理得：asinA=csinC，
又∵3a=2csinA，
∴3sinA=2sinCsinA，
∵锐角三角形ABC，
∴A∈(0，π2)，C∈(0，π2)，B∈(0，π2)，
∴sinA＞0，
∴3=2sinC，即：sinC=32，
∴C=π3．
（2）由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC，
∵c=3，sinC=sinπ3=32，
∴asinA=bsinB=332=23，
∴2a-b=43sinA-23sinB，
∵A+B+C=π，且C=π3，
∴A+B=2π3，
∴2a-b=23.[2sinA-sin(2π3-A)]=23(2sinA-sin2π3cosA+cos2π3sinA)=23(32sinA-32cosA)，
=6(32sinA-12cosA)=6(sinAcosπ6-cosAsinπ6)=6sin(A-π6)，
∵三角形为锐角三角形，且A+B=2π3，
∴0＜A＜12π0＜2π3-A＜12π
∴π6＜A＜π2，
∴0＜A-π6＜π3，
∴sin(A-π6)∈(0，32)，
∴2a-b∈(0，33)．;
【解析】
(1)由已知结合正弦定理进行化简可求sinC，进而可求C；
(2)由已知结合正弦定理及和差角公式及辅助角公式进行化简即可求值．
这道题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
22.【答案】解：（1）∵f（x）=23sinxcosx-cos2x=3sin2x-cos2x=2sin（2x-π6），
∴令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z可解得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
即有函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-π6，kπ+π3]，k∈Z，
（2）∵f（A）=2sin（2A-π6）=2，
∴2A-π6=2kπ+π2，k∈Z，即有A=kπ+π3，k∈Z，
∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，
∴k=0时，A=π3，B=π-A-C=5π12，
故由正弦定理可得：222=a32，解得a=6，
∴S△ABC=12acsinB=6sin5π12=3+32．;
【解析】
(1)由二倍角公式化简可得f(x)=2sin(2x-π6)，令2kπ-π2⩽2x-π6⩽2kπ+π2，k∈Z可解得函数f(x)的单调递增区间．
(2)由f(A)=2sin(2A-π6)=2，可得A的值，由正弦定理可解得a=6，从而可求SΔABC的值．
这道题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．
23.【答案】解：（1）∵5csinB=7asinC，
∴由正弦定理可得5bc=7ac，即b=75a，
∵b+c=2a，
∴c=2a-b=2a-75a=35a，
∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+(35a)2-(75a)22×a×35a=-12．
（2）∵cosB=-12，B∈（0，π），
∴B=2π3，
∴f（x）=sin（x+2π3），
∵f(x)≥12，即sin（x+2π3）≥12，
∴2kπ+π6≤x+2π3≤2kπ+5π6，k∈Z，解得2kπ-π2≤x≤2kπ+π6，k∈Z，
∴不等式f(x)≥12的解集为[2kπ-π2，2kπ+π6]，k∈Z．;
【解析】
(1)由已知利用正弦定理可得b=75a，c=35a，利用余弦定理可求cosB的值．
(2)由cosB=-12，B∈(0,π)，可求B=2π3，可得解析式f(x)=sin(x+2π3)，进而根据正弦函数的图象和性质即可解得sin(x+2π3)⩾12的解集，从而得解．
这道题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
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