2023版新教材高中数学单元素养测评卷一第六章平面向量及其应用新人教A版必修第二册

这是一份2023版新教材高中数学单元素养测评卷一第六章平面向量及其应用新人教A版必修第二册，共11页。

单元素养测评卷(一)时间：120分钟　满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题正确的是(　　)A.若a，b都是单位向量，则a＝bB.若向量a∥b，b∥c，则a∥cC.与非零向量a共线的单位向量是唯一的D.已知λ，μ为非零实数，若λa＝μb，则a与b共线2．下列等式中一定成立的是(　　)A. eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→)) B． eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))C. eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BA,\s\up6(→))＝0 D． eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝03．在△ABC中，若c2＝a2＋b2＋ab，则∠C＝(　　)A.60° B．120°C.135° D．150°4．已知点A(1，2)，B(3，2)，C(3，4)，则向量 eq \o(AB,\s\up6(→))在 eq \o(AC,\s\up6(→))方向上的投影向量为(　　)A.( eq \f(\r(2),2)， eq \f(\r(2),2)) B．(1，1)C.(2，2) D．( eq \r(2)， eq \r(2))5．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶12∶13，则△ABC是(　　)A.钝角三角形 B．直角三角形C.等边三角形 D．等腰直角三角形6．如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则 eq \o(OM,\s\up6(→))＝(　　)A. eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))B. eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up6(→))C. eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→))D. eq \o(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up6(→))7．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝(a，cos  eq \f(A,2))，n＝(b，cos  eq \f(B,2))，p＝(c，cos  eq \f(C,2))共线，则△ABC形状为(　　)A.等边三角形 B．等腰三角形C.直角三角形 D．等腰直角三角形8．如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且 eq \o(BD,\s\up6(→))＝3 eq \o(DC,\s\up6(→))， eq \o(OD,\s\up6(→))＝λ eq \o(AB,\s\up6(→))＋μ eq \o(AC,\s\up6(→))，则 eq \f(λ,μ)＝(　　)A.－ eq \f(1,5) B．－ eq \f(1,4)C. eq \f(1,5) D． eq \f(1,4)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，3)，则(　　)A.a·b＝4 B．(a＋b)2＝ eq \r(26)C.(a＋b)·(a－b)＝－8 D．(a－b)2＝1010．已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　)A.a∥bB．a与b垂直C.a与a－b的夹角为 eq \f(π,4)D．|a－b|＝111．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，下列说法正确的是(　　)A.若A为锐角，则b2＋c2>a2B.若A为锐角，则b＋c2sin B，则A>BD.若sin A>sin B，则A与B大小不能确定12．在△ABC中，下列正确的是(　　)A.若 eq \o(AC,\s\up6(→))· eq \o(BA,\s\up6(→))<0，则△ABC为钝角三角形B.若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))，则△ABC为直角三角形C.若( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))·( eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形D.已知 eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|，则△ABC为等边三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，若(2a＋b)⊥c，则实数m＝________．14．已知|a|＝ eq \r(2)，|b|＝1，a·(a－b)＝1，则向量a与向量b的夹角为________．15．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是边BC上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB＝________．16．在△ABC中，AB＝AC＝ eq \r(3)， eq \o(AD,\s\up6(→))＝2 eq \o(BD,\s\up6(→))，2 eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))， eq \o(AF,\s\up6(→))· eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(9,2)，则BC＝________，若点P在线段CF上，则 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)已知a＝(1，0)，b＝(2，1).(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若 eq \o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b， eq \o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．18．(本小题12分)设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2b－a)cos C＝c cos A．(1)求角C的大小；(2)若c＝2 eq \r(3)，且________，求△ABC的周长．请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答．①△ABC的面积为 eq \f(\r(3),3)；② eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)；③sin A sin B＝ eq \f(1,12).注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分．19．(本小题12分)已知四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ADC＝90°，AB＝2，BD＝2 eq \r(6)，DC＝4 eq \r(3).(1)求sin ∠ADB；(2)求BC.20．(本小题12分)已知向量a＝( eq \r(3)，1)，a·b＝4.(1)当|b|＝4时，求 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))；(2)求|b|的最小值，并求此时向量a，b的夹角大小．21.(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c－b＝a cos B－b cos A．(1)求A；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．22．(本小题12分)为迎接冬奥会，石家庄准备进行城市绿化升级，在矩形街心广场ABCD中，如图，其中AB＝400 m，BC＝300 m，现将在其内部挖掘一个三角形空地DPQ进行盆景造型设计，其中点P在BC边上，点Q在AB边上，要求∠PDQ＝ eq \f(π,3).(1)若AQ＝CP＝100 m，判断△DPQ是否符合要求，并说明理由；(2)设∠CDP＝θ，写出△DPQ的面积S关于θ的表达式，并求S的最小值．单元素养测评卷(一)1．答案：D解析：单位向量的方向不一定相同，故A错误；当b＝0时，显然a与c不一定平行，故B错误；非零向量a共线的单位向量有± eq \f(a,|a|)，故C错误；由共线定理可知，若存在非零实数λ，μ，使得λa＝μb，则a与b共线，故D正确．故选D.2．答案：D解析： eq \o(BA,\s\up6(→))＝ eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))，则 eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→))不一定成立．选项A判断错误； eq \o(OA,\s\up6(→))－ eq \o(OB,\s\up6(→))＝ eq \o(BA,\s\up6(→)).选项B判断错误； eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BA,\s\up6(→))＝0.选项C判断错误； eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(BC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CA,\s\up6(→))＝0.选项D判断正确．故选D.3．答案：B解析：由c2＝a2＋b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－ab，cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(－ab,2ab)＝－ eq \f(1,2)，由于0°0，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos Asin B>0，由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，故 eq \f(b,a)＝ eq \f(sin B,sin A)<1，故b0，即| eq \o(AC,\s\up6(→))|·| eq \o(AB,\s\up6(→))|·cos A>0，可得cos A>0，不能证明△ABC为钝角三角形，故A错误；对B，| eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→))|＝| eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))|即 eq \o(AB,\s\up6(→))2＋ eq \o(AC,\s\up6(→))2＋2 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \o(AB,\s\up6(→))2＋ eq \o(AC,\s\up6(→))2－2 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))，解得 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝0，故∠A＝90°，故B正确；对C，若( eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \o(AC,\s\up6(→)))·( eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \x\to(AC))＝0，则 eq \o(AB,\s\up6(→))2－ eq \o(AC,\s\up6(→))2＝0，故| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝| eq \o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC为等腰三角形，故C正确；对D，因为 eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))＋ eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，故| eq \o(OA,\s\up6(→))＋ eq \o(OB,\s\up6(→))|2＝|－ eq \o(OC,\s\up6(→))|2，即| eq \o(OA,\s\up6(→))|2＋| eq \o(OB,\s\up6(→))|2＋2 eq \o(OA,\s\up6(→))· eq \o(OB,\s\up6(→))＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|2，又| eq \o(OA,\s\up6(→))|＝| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|，所以| eq \o(OA,\s\up6(→))|2＋2| eq \o(OA,\s\up6(→))|·| eq \o(OB,\s\up6(→))|cos ∠AOB＝0，故cos ∠AOB＝－ eq \f(1,2)，故∠AOB＝120°，同理∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，结合| eq \o(OA,\s\up6(→))|＝| eq \o(OB,\s\up6(→))|＝| eq \o(OC,\s\up6(→))|可得| eq \o(AB,\s\up6(→))|＝| eq \o(AC,\s\up6(→))|＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|，故△ABC为等边三角形，故D正确．故选BCD.13．答案：3解析：因为a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，所以2a＋b＝(2m＋1，3m－2)，又(2a＋b)⊥c，故(2a＋b)·c＝0，即－(2m＋1)＋(3m－2)＝0，解得m＝3.14．答案： eq \f(π,4)解析：设向量a与向量b的夹角为θ，因为|a|＝ eq \r(2)，|b|＝1，a·(a－b)＝1，所以a2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝2－ eq \r(2)cos θ＝1，得cos θ＝ eq \f(\r(2),2)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(π,4).15．答案：5 eq \r(6)解析：由题，在△ADC中，cos C＝ eq \f(AC2＋DC2－AD2,2AC·DC)＝ eq \f(142＋62－102,2×14×6)＝ eq \f(11,14)，所以sin C＝ eq \r(1－cos2C)＝ eq \f(5\r(3),14)，在△ABC中， eq \f(AB,sinC)＝ eq \f(AC,sin B)，即 eq \f(AB,\f(5\r(3),14))＝ eq \f(14,\f(\r(2),2))，所以AB＝5 eq \r(6).16．答案： eq \r(3)　 eq \f(3,2)解析：由题，因为 eq \o(AD,\s\up6(→))＝2 eq \o(BD,\s\up6(→))，所以 eq \o(AD,\s\up6(→))＝2 eq \o(AB,\s\up6(→))，又2 eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))，则 eq \o(AB,\s\up6(→))＝ eq \o(CF,\s\up6(→))，因为 eq \o(AF,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→))， eq \o(CD,\s\up6(→))＝ eq \o(AD,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))＝2 eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→))，则 eq \o(AF,\s\up6(→))· eq \o(CD,\s\up6(→))＝( eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(AB,\s\up6(→)))·(2 eq \o(AB,\s\up6(→))－ eq \o(AC,\s\up6(→)))＝2 eq \o(AB,\s\up6(→))2－ eq \o(AC,\s\up6(→))2＋ eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(9,2)，因为AB＝AC＝ eq \r(3)，则2×( eq \r(3))2－( eq \r(3))2＋ eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(9,2)，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2)，所以BC＝| eq \o(BC,\s\up6(→))|＝ eq \r(（\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))）\o(2,\s\up6(　)) )＝ eq \r(\o(AC,\s\up6(→))2＋\o(AB,\s\up6(→))2－2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))\o(,\s\up6(　)) )＝ eq \r(3)；因为点P在线段CF上，所以设 eq \o(CP,\s\up6(→))＝λ eq \o(CF,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，因为 eq \o(AP,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋ eq \o(CP,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋λ eq \o(CF,\s\up6(→))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))＋λ eq \o(AB,\s\up6(→))，所以 eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))＝( eq \o(AC,\s\up6(→))＋λ eq \o(AB,\s\up6(→)))·( eq \o(AC,\s\up6(→))－ eq \o(AB,\s\up6(→)))＝ eq \o(AC,\s\up6(→))2＋(λ－1) eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))－λ eq \o(AB,\s\up6(→))2＝－ eq \f(3,2)λ＋ eq \f(3,2)，所以当λ＝0时， eq \o(AP,\s\up6(→))· eq \o(BC,\s\up6(→))的最大值为 eq \f(3,2).17．解析：(1)由a＝(1，0)，b＝(2，1)，可得ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，解得k＝－ eq \f(1,2).(2)因为A，B，C三点共线，所以 eq \o(AB,\s\up6(→))＝λ eq \o(BC,\s\up6(→))，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ,3＝mλ))，解得m＝ eq \f(3,2).18．解析：(1)因为(2b－a)cos C＝c cos A，由正弦定理可得(2sin B－sin A)cos C＝sin C cos A，所以2sin B cos C＝sin (A＋C)＝sin B，在△ABC中，sin B>0，所以cos C＝ eq \f(1,2)，因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,3).(2)若选①，因为△ABC的面积为 eq \f(\r(3),3)，所以 eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)ab sin  eq \f(π,3)＝ eq \f(\r(3),4)ab＝ eq \f(\r(3),3)，所以ab＝ eq \f(4,3).若选②，因为 eq \o(CA,\s\up6(→))· eq \o(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)，所以ab cos C＝ab cos  eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)ab＝ eq \f(2,3)，所以ab＝ eq \f(4,3).若选③，由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝ eq \f(2\r(3),sin 60°)＝4，所以sin A＝ eq \f(a,4)，sin B＝ eq \f(b,4)，因为sin A sin B＝ eq \f(1,12).所以ab＝ eq \f(4,3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos 60°＝a2＋b2－ab，即(a＋b)2－3ab＝12，所以(a＋b)2＝16，则a＋b＝4或a＋b＝－4(舍去)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2 eq \r(3).19．解析：(1)在△ABD中，由正弦定理可知 eq \f(BD,sin A)＝ eq \f(AB,sin ∠ADB)，即 eq \f(2\r(6),sin 60°)＝ eq \f(2,sin ∠ADB)，解得sin ∠ADB＝ eq \f(\r(2),4).(2)由∠ADC＝90°，故cos ∠BDC＝cos (90°－∠ADB)＝sin ∠ADB＝ eq \f(\r(2),4)，在△CBD中，由余弦定理得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BD cos ∠BDC，即BC2＝(4 eq \r(3))2＋(2 eq \r(6))2－2×4 eq \r(3)×2 eq \r(6)× eq \f(\r(2),4)＝48，所以BC＝4 eq \r(3).20．解析：(1)因为a＝( eq \r(3)，1)⇒|a|＝ eq \r(3＋1)＝2.因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋8＋16＝28，所以|a＋b|＝2 eq \r(7).(2)解法1：设〈a，b〉＝θ，因为a·b＝4>0，所以θ∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，由a·b＝|a||b|cos θ＝4⇔|b|＝ eq \f(4,|a|cos θ)＝ eq \f(2,cos θ)≥2，当且仅当cos θ＝1即θ＝0时取等；所以|b|最小值为2，此时a，b夹角大小为0.解法2：设b＝(x，y)，由a·b＝4⇒ eq \r(3)x＋y＝4，所以|b|＝ eq \r(x2＋y2)＝  eq \r(x2＋（4－\r(3)x）2)＝ eq \r(4x2－8\r(3)x＋16)＝  eq \r(4（x－\r(3)）2＋4)；故当x＝ eq \r(3)，y＝1时|b|最小值为2，此时cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝1⇒〈a，b〉＝0.21．解析：(1)∵c－b＝a cos B－b cos A，∴sin C－sin B＝sin A cos B－sin B cos A，则sin A cos B＋sin B cos A－sin B＝sin A cos B－sin B cos A，即2sin B cos A＝sin B.因为sin B≠0，所以cos A＝ eq \f(1,2)，又∵0