2021学年第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教学设计

这是一份2021学年第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教学设计，共7页。
教学设计（人教A版）
向量概念有明确的几何背景：有向线段，可以说向量概念是从几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
课程目标
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐
标法；
2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的
积极主动的探究意识，培养创新精神.
数学学科素养
1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；
2.数学运算：坐标运算证明几何问题；
3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；
4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.
重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；
难点：如何将几何问题化归为向量问题.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
提问：（1）若O为重心,则++= .
（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形
为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本38-39页，思考并完成以下问题
1、利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1.向量在几何中的应用
(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 向量的线性运算及数量积 表示出来．
(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面 几何问题转化成向量问题 ；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
四、典例分析、举一反三
题型 向量在几何中的应用
例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证：．
【答案】见解析．
【解析】证明：不妨设a，b，则
a+b，a-b，|a|2，|b|2．
得 ( a+b)·( a+b)
= a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2． ①
同理 |a|2-2a·b+|b|2． ②
①+②得 2(|a|2+|b|2)=2()．
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
例2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【答案】见解析．
【解析】证明 法一：设eq \(AD,\s\up17(―→))＝a，eq \(AB,\s\up17(―→))＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又eq \(DE,\s\up17(―→))＝eq \(DA,\s\up17(―→))＋eq \(AE,\s\up17(―→))＝－a＋eq \f(1,2)b，
eq \(AF,\s\up17(―→))＝eq \(AB,\s\up17(―→))＋eq \(BF,\s\up17(―→))＝b＋eq \f(1,2)a，
所以eq \(AF,\s\up17(―→))·eq \(DE,\s\up17(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,2)b))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(1,2)b2＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0.
故eq \(AF,\s\up17(―→))⊥eq \(DE,\s\up17(―→))，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \(AF,\s\up17(―→))＝(2,1)，eq \(DE,\s\up17(―→))＝(1，－2)．
因为eq \(AF,\s\up17(―→))·eq \(DE,\s\up17(―→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以eq \(AF,\s\up17(―→))⊥eq \(DE,\s\up17(―→))，即AF⊥DE.
解题技巧（用向量解决平面解析几何的步骤）
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．
跟踪训练
1．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2).
求证：点E，O，F在同一直线上．
【答案】见解析．
【解析】证明：设eq \(AB,\s\up17(―→))＝m，eq \(AD,\s\up17(―→))＝n，
由eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴eq \(FO,\s\up17(―→))＝eq \(FA,\s\up17(―→))＋eq \(AO,\s\up17(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up17(―→))
＝－eq \f(1,3)m＋eq \f(1,2)(m＋n)＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n，
eq \(OE,\s\up17(―→))＝eq \(OC,\s\up17(―→))＋eq \(CE,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up17(―→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up17(―→))
＝eq \f(1,2)(m＋n)－eq \f(1,3)m＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n.
∴eq \(FO,\s\up17(―→))＝eq \(OE,\s\up17(―→)).
又O为eq \(FO,\s\up17(―→))和eq \(OE,\s\up17(―→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
2、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，求证：AC⊥BC.
【答案】见解析．
【解析】证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，
故可设eq \(AD,\s\up16(→))＝e1，eq \(DC,\s\up16(→))＝e2，|e1|＝|e2|，则eq \(AB,\s\up16(→))＝2e2.
∴eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(DC,\s\up16(→))＝e1＋e2，
eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.
而eq \(AC,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝|e1|2－|e2|2＝0，∴eq \(AC,\s\up16(→))⊥eq \(BC,\s\up16(→))，即AC⊥BC.
证法二：如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴eq \(BC,\s\up16(→))＝(－1,1)，eq \(AC,\s\up16(→))＝(1,1)．
∴eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝(－1,1)·(1,1)
＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
6.4.1 平面几何中的向量方法
1、向量在几何中的应用 例1 例2

七、作业
课本39页练习，52页习题6.4的1-3题.
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.