第6章平面向量及其应用6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示学案含解析

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6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为505 km．问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：贝贝：505＋505＋505＋505＝1 010＋505＋505＝1 515＋505＝2 020(km)．晶晶：505×4＝2 020(km)．可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给这类问题的解决带来了很大的方便．问题：(1)当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？(2)λa与a的坐标有什么关系？知识点　平面向量数乘运算的坐标表示1．数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．2．平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)吗？[提示]　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)． (　　)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线． (　　)(3)若A，B，C三点共线，则向量eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))，eq \o(CA,\s\up7(→))都是共线向量． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2 ．已知P(2,6)，Q(－4,0)，则PQ的中点坐标为________．(－1,3)　[根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1,3)．]3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．－4　[∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．]4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________．－9　[eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－8,8)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(AC,\s\up7(→))，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9．] 类型1　向量数乘的坐标运算【例1】　(对接教材P31例6)(1)已知A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up7(→))＝(　　)A．(2，－3)　　　　　　 B．(－2，－3)C．(－2,3) D．(2,3)(2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)则a＋2b－3c的坐标是________．(1)A　(2)(－11，－1)　[(1)因为A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝(1，－6)，eq \o(BA,\s\up7(→))＝(3,9)，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up7(→))＝(2，－3)．(2)因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)，所以a＋2b－3c＝(－3,2)＋2(－1,0)－3(2,1)＝(－11，－1)．]向量数乘坐标运算的三个关注点(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用．(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题．(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．eq \o([跟进训练])1．如图，已知|eq \o(OA,\s\up7(→))|＝|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq \o(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(3)，eq \o(OC,\s\up7(→))⊥eq \o(OB,\s\up7(→))，∠AOC＝30°，若eq \o(OC,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))，则x＋y＝(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4C　[建立如图所示的平面直角坐标系，根据条件不妨设A(1,0)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，则由eq \o(OC,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝x(1,0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)y＝\f(3,2)，,\f(\r(3),2)y＝\f(\r(3),2)，))解得x＝2，y＝1，所以x＋y＝3．] 类型2　向量共线的坐标表示及应用　向量共线的判定与证明【例2】　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量eq \o(AB,\s\up7(→))与eq \o(CD,\s\up7(→))平行吗？直线AB平行于直线CD吗？(1)D　[A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0．故选D．](2)[解]　∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，eq \o(CD,\s\up7(→))＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又2×2－4×1＝0，∴eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))．又eq \o(AC,\s\up7(→))＝(2,6)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD．向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．　已知平面向量共线求参数【例3】　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解]　法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq \f(1,3)．当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq \f(1,3)a＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)，因为λ＝－eq \f(1,3)