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    高中数学新教材必修第二册课件PPT 第6章 §6.3 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
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    高中数学新教材必修第二册课件PPT 第6章 §6.3 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

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    这是一份高中数学新教材必修第二册课件PPT 第6章 §6.3 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示,共54页。

    6.3.5 平面向量数量积的坐标表示第六章  §6.3 平面向量基本定理及坐标表示1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.学习目标同学们,前面我们学习了平面向量数量积及其性质,我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算,那么,我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢?导语随堂演练课时对点练一、平面向量数量积的坐标表示二、平面向量的模三、平面向量的夹角、垂直问题内容索引一、平面向量数量积的坐标表示问题 在平面直角坐标系中,设i,j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量,你能计算出i·i,j·j,i·j的值吗?若设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能给出a·b的值吗?提示 i·i=1,j·j=1,i·j=0.∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2.又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,∴a·b=x1x2+y1y2.设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= .x1x2+y1y2例1 (1)已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)等于A.10 B.-10 C.3 D.-3√解析 a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.(2)已知a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),若(8a-b)·c=30,则x等于A.6 B.5 C.4 D.3√解析 由题意可得,8a-b=(6,3),又(8a-b)·c=30,c=(3,x),∴18+3x=30,解得x=4.反思感悟 进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2=a·a.(2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.解析 建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),二、平面向量的模1.若a=(x,y),则|a|2= 或|a|= .2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= .x2+y2例2 设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|3a+b|等于√解析 ∵a∥b,∴1×y-2×(-2)=0,反思感悟 求向量a=(x,y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方,即a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方.√解析 ∵a=(2,1),∴a2=5,即a2+2a·b+b2=50,∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.三、平面向量的夹角、垂直问题设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.x1x2+y1y2=02.a⊥b⇔ .注意点:(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆.(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角.例3 已知a=(4,3),b=(-1,2).(1)求a与b夹角的余弦值;解 因为a·b=4×(-1)+3×2=2,(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.解 因为a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),又(a-λb)⊥(2a+b),反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项(2)注意事项:利用三角函数值cos θ求θ的值时,应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ= 判断θ的值时,要注意cos θ<0时,有两种情况:一是θ是钝角,二是θ为180°;cos θ>0时,也有两种情况:一是θ是锐角,二是θ为0°.√(2)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=_____.解析 ∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3).又a+b与a垂直,∴(a+b)·a=0,即(m-1)×(-1)+3×2=0,解得m=7.71.知识清单:(1)平面向量数量积的坐标表示.(2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b为非零向量).课堂小结2.方法归纳:化归与转化.3.常见误区:两向量夹角的余弦公式易记错.随堂演练1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x等于√1234解析 a·b=-x+6=3,故x=3.2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为√1234a·b=3×5+4×12=63.3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于√1234解析 ∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,71234课时对点练1.(多选)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是A.|a|=b2 B.a·b=0C.a∥b D.(a-b)⊥b√解析 |a|=b2=2,故A正确,B,C显然错误,a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0,所以(a-b)⊥b.故D正确.基础巩固12345678910111213141516√2.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于√解析 由题意可得a·b=x·1+1×(-2)=x-2=0,解得x=2.再由a+b=(x+1,-1)=(3,-1),123456789101112131415163.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形√12345678910111213141516所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.4.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于√解析 a=(2,0),|b|=1,∴|a|=2,a·b=2×1×cos 60°=1.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析 ∵四边形OABC是平行四边形,123456789101112131415166.若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|= 则b等于A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)√解析 由题意,设b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),12345678910111213141516又λ<0,∴λ=-3,故b=(-3,6).7.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)=____.4解析 ∵a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4.123456789101112131415168.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=_____.-1解析 由题意得ma-b=(m+1,-m),根据向量垂直的充要条件可得1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m=-1.123456789101112131415169.已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,-1).12345678910111213141516故c=(-3,3)或c=(3,-3).(2)若b是单位向量,且a⊥(a-2b),求a与b的夹角θ.12345678910111213141516即a2-2a·b=0,所以a·b=1,因为θ∈[0,π],(1)求a-b的坐标以及a-b与a之间的夹角;12345678910111213141516设a-b与a之间的夹角为θ,(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.12345678910111213141516易知当t∈[-1,1]时,|a-tb|2∈[3,12],11.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于A.-4 B.-3 C.-2 D.-1√解析 由m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),(m+n)⊥(m-n),可得(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.12345678910111213141516综合运用√12345678910111213141516√√12345678910111213141516=x2-6x+10=(x-3)2+1,12345678910111213141516A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)√此时点P的坐标为(3,0).12345678910111213141516解析 以A为原点,AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.1234567891011121314151615.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则p与q的夹角是A.锐角 B.钝角C.直角 D.不确定√拓广探究12345678910111213141516所以p·q=sin A-cos B>0,12345678910111213141516又因为p与q不共线,所以p与q的夹角是锐角.∴x(2-y)-y(-x-4)=0,即x+2y=0.1234567891011121314151612345678910111213141516即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.由(1)知x+2y=0,与上式联立,化简得y2-2y-3=0,解得y=3或y=-1.当y=3时,x=-6,12345678910111213141516
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