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    第6章平面向量及其应用章末综合提升学案含解析
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试优秀导学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试优秀导学案,共11页。

    第六章 平面向量及其应用




    类型1 平面向量的线性运算
    (1)本考点多为基础题,一般出现在选择题的第4~6题的位置,主要考查平面向量的线性运算及几何意义,平面向量基本定理及坐标运算,难度较小.考查分析能力,运算求解能力.核心素养是直观想象、数学运算.
    (2)用几个向量表示某个向量的技巧:①观察各个向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.
    【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(  )
    A.-       B.-
    C.+ D.+
    A [法一:如图所示,=+=+=×(+)+(-)=-,故选A.

    法二:=-=-=-×(+)=-,故选A.]

    1.如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.

     [设=λ,
    则=+=-+m+=(m-1)+.
    =+=-+.
    ∵与共线,∴(m-1)+=0,
    ∴m=.]
    类型2 平面向量数量积的运算
    (1)本考点多为基础题,一般出现在选择题的第5~8题的位置,主要考查平面向量的数量积、模、夹角运算,难度中等及以下.考查分析能力,想象能力及运算求解能力.
    (2)在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2,上述两公式以及(a+b)·(a-b)=a2-b2,这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.
    【例2】 (2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则A·A的取值范围是(  )
    A.(-2,6) B.(-6,2)
    C.(-2,4) D.(-4,6)
    A [·=||·||·cos∠PAB=2||·cos∠PAB,又||·cos∠PAB表示在方向上的投影,所以结合图形可知,当P与C重合时投影最大,当P与F重合时投影最小.又·=2×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=-2,故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时,·∈(-2,6),故选A.]

    2.(2020·天津高考)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为________,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为________.
      [依题意得AD∥BC,∠BAD=120°,由·=||·||·cos∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ==.取MN的中点E,连接DE(图略),则+=2,·=[(+)2-(-)2]=2-2=2-.注意到线段MN在线
    段BC上运动时,DE的最小值等于点D到直线BC的距离,即AB·sin B=,因此2-的最小值为-=,即·的最小值为.]
    类型3 平面向量的共线
    (1)高考对平面向量的共线的考查主要是在选择题或填空题中,难度较小,一般有两类题型:一是已知两个向量共线求参数的值;二是根据条件证明向量共线,再得出其他的结论.
    (2)平面向量共线问题常用的方法
    ①向量a,b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ,使b=λa.
    ②向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0.
    ③向量a与b共线⇔|a·b|=|a||b|.
    ④向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.
    【例3】 (2018·全国卷Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=________.
     [2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以1×2=4λ,即λ=.]

    3.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.
     [∵a与b不平行,∴a+2b≠0.
    ∵λa+b与a+2b平行,
    ∴λa+b=t(a+2b).
    ∴∴t=λ=.]
    类型4 平面向量的夹角与垂直
    (1)向量的夹角与垂直问题是高考的重点题型,一般出现在选择题或填空题中,难度中等以下,当出现在解答题中时也会与其他知识结合考查,难度较小.
    (2)设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ==.
    (3)平面向量垂直问题的常用方法
    a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,
    其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).
    【例4】 (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos〈a,a+b〉=(  )
    A.-    B.-    C.    D.
    (2)(2020·全国卷Ⅰ)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=________.
    (1)D (2)5 [(1)由题意,得a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|===7,所以cos〈a,a+b〉===,故选D.
    (2)因为a⊥b,所以a·b=m+1-(2m-4)=0,所以m=5.]

    4.设a=(2,0),b=(1,).
    (1)若(λa-b)⊥b,求λ的值;
    (2)若m=λa+μb,且|m|=2,〈m,b〉=,求λ,μ的值.
    [解] (1)因为a=(2,0),b=(1,),
    所以λa-b=(2λ,0)-(1,)=(2λ-1,-).
    又(λa-b)⊥b,
    所以(λa-b)·b=0,即(2λ-1,-)·(1,)=0,
    所以2λ-1-3=0,所以λ=2.
    (2)因为a=(2,0),b=(1,),
    所以m=λa+μb=λ(2,0)+μ(1,)=(2λ+μ,μ).
    因为|m|=2,〈m,b〉=,
    所以
    即解得或
    所以λ=1,μ=1或λ=-1,μ=2.
    类型5 向量的模与距离
    (1)向量的模不仅是研究向量的一个重要的量,而且是利用向量方法解决几何问题的一个“交汇点”,一般在选择题或填空题中考查,难度中等.
    (2)向量的模的计算方法有几何法和坐标法两种,有时两种方法均可使用.
    【例5】 (2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||=________;·=________.
     -1 [法一:如图,由题意及平面向量的平行四边形法则可知,点P为BC的中点,在三角形PCD中,||=.cos∠DPB=-cos∠DPC=-,∴·=||·||cos∠DPB=1××=-1.
    法二:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),∴=(+)=(2,1),P(2,1),∴=(-2,1),=(0,-1),∴||=,·=(0,-1)·(-2,1)=-1.
    ]

    5.(2020·全国卷Ⅰ)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=________.
     [∵a,b为单位向量,且|a+b|=1,∴(a+b)2=1,
    ∴1+1+2a·b=1,∴a·b=-,∴|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+1-2×=3,∴|a-b|=.]
    类型6 利用正、余弦定理解三角形
    (1)高考对正、余弦定理的考查既有选择、填空题,也有解答题,常以正弦定理、余弦定理的应用为背景,融合三角形面积公式、三角恒等变换等,体现了高考命题的交汇性.
    (2)求解此类问题的关键是正、余弦定理及其变形的灵活应用.
    【例6】 (2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac=,②csinA=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
    问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,________?
    [解] 方案一:选条件①.
    由C=和余弦定理得=.
    由sin A=sin B及正弦定理得a=b.
    于是=,由此可得b=c.
    由①ac=,解得a=,b=c=1.
    因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.
    方案二:选条件②.
    由C=和余弦定理得=.
    由sin A=sin B及正弦定理得a=b.
    于是=,由此可得b=c,B=C=,A=.
    由②csin A=3,所以c=b=2,a=6.
    因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2.
    方案三:选条件③.
    由C=和余弦定理得=.
    由sin A=sin B及正弦定理得a=b.
    于是=,由此可得b=c.
    由③c=b,与b=c矛盾.
    因此,选条件③时问题中的三角形不存在.

    6.(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
    (1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;
    (2)若sin A+sin C=,求C.
    [解] (1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos 150°.
    解得c=-2(舍去)或c=2,从而a=2.
    所以△ABC的面积为×2×2×sin 150°=.
    (2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,
    所以sin A+sin C=sin(30°-C)+sin C=sin(30°+C).
    故sin(30°+C)=.
    而0°
    1.(2019·全国卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·=(  )
    A.-3    B.-2    C.2    D.3
    C [因为=-=(1,t-3),所以||==1,解得t=3,所以=(1,0),所以·=2×1+3×0=2,故选C.]
    2.(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(  )
    A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
    D [法一:由题意,得a·b=|a|·|b|cos 60°=.对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=+2=≠0,故A不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=1+1=2≠0,故B不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-2=-≠0,故C不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=1-1=0,所以(2a-b)⊥b.故选D.
    法二:不妨设a=,b=(1,0),则a+2b=,2a+b=(2,),a-2b=,2a-b=(0,),易知,只有(2a-b)·b=0,即(2a-b)⊥b,故选D.]

    3.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B=(  )
    A. B.2 C.4 D.8
    C [法一:在△ABC中,cos C=,则sin C=>,所以C∈.由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=16+9-2×4×3×=9,所以AB=3.由正弦定理=,得sin B=,易知B∈,所以cos B=,tan B==4.故选C.
    法二:在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,所以由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=16+9-2×4×3×=9,所以AB=3,所以△ABC是等腰三角形.过点B作BD⊥AC于点D(图略),则BD===,tan ==,所以tan B==4.故选C.]
    4.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+cos A=.
    (1)求A;
    (2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.
    [解] (1)由已知得sin2A+cos A=,即cos2A-cos A+=0.所以=0,cos A=.
    由于0 (2)证明:由正弦定理及已知条件可得sin B-sin C=sin A.
    由(1)知B+C=,所以sin B-sin=sin .
    即sin B-cos B=,sin=.
    由于0 从而△ABC是直角三角形.
    5.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
    (1)求A;
    (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.
    [解] (1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.①
    由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A. ②
    由①②得cos A=-.
    因为0 (2)由正弦定理及(1)得===2,从而AC=2sin B,AB=2sin(π-A-B)=3cos B-sin B.
    故BC+AC+AB=3+sin B+3cos B=3+2sin.
    又0 6.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.
    (1)求B;
    (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
    [解] (1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.
    因为sin A≠0,所以sin=sin B.
    由A+B+C=180°,可得sin=cos,
    故cos=2sincos.
    因为cos≠0,故sin=,因此B=60°.
    (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.
    由正弦定理得a===+.
    由于△ABC为锐角三角形,故0° 因此,△ABC面积的取值范围是.


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