人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系疑难规律方法 Word版含答案

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1　破解立体几何中的三共问题平面的基本性质是研究立体几何的基础，应用基本性质研究空间中的共点、共线、共面是立体几何中不容忽视的问题，下面就这类问题进行例析．1．点共线问题例1　如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C与截面DBC1交于点O，AC与BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线．证明　因为C1∈平面DBC1，且C1∈平面A1ACC1，所以C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1，因为M∈BD，所以M∈平面DBC1，所以M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，所以C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．因为O为平面A1ACC1与平面DBC1的交点，所以O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是两个平面的公共点，所以O∈C1M，即C1、M、O三点共线．说明　证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．2．线共点问题例2　如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝2，求证：EG，FH，AC相交于同一点P.证明　因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝eq \f(1,2)BD.又因为eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝2，所以GH∥BD，且GH＝eq \f(1,3)BD，所以EF∥GH，且EF>GH.所以四边形EFHG是梯形，其两腰必相交，设两腰EG、FH相交于一点P，因为EG⊂平面 ABC，FH⊂平面ACD，所以P∈平面ABC，且P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故EG、FH、AC相交于同一点P.说明　证明线共点的主要理论依据是公理3，解答思路是首先确定一平面上的两条相交直线及交点位置；其次判断交点在另一条直线上，此种方法可以推广到多种直线共点问题．3．点共面问题例3　正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别是CD、DD1、A1D1、A1B1、BB1、BC的中点．求证：这六点共面．证明　连接BD、B1D1和KF，因为E，L是CD，BC的中点，所以EL∥BD.又矩形BDD1B1中KF∥BD，所以KF∥EL，所以KF、EL可确定平面α，所以E、F、K、L在平面α内，同理EH∥KL，故E、H、K、L都在平面β内．又平面α与平面β都经过不共线的三点E、K、L，故平面α与平面β重合，所以E、F、H、K、L都在平面α内．同理可证G∈α，所以E、F、G、H、K、L六点共面．说明　证明共面问题常有如下两个方法：①直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；②间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．通过上面的三例，同学们对这三类问题有所了解．在今后解决同类问题时，需要根据问题的具体情况，进行逻辑划分，即分类讨论，运用平面的基本性质来求证．2　异面直线解题攻略异面直线是空间中直线与直线之间的位置关系中一类最重要的问题，它在立体几何中占有重要的地位，是历年考查的重点和热点，现介绍有关异面直线问题的常见题型及解法，供同学们参考．1．概念辨析异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交，也不平行．要注意把握异面直线的这种不共面特性．应该明确分别在不同平面内的两条直线不一定是异面直线，在某一平面内的一条直线与这个平面外的一条直线也不一定是异面直线．例1　下列命题中，正确的是(　　)A．a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线C．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线D．异面直线所成的角的范围是[0°，90°]分析　根据异面直线有关概念进行判断，将错误的选项逐一排除．解析　选项A中，a，b的位置关系有可能相交、平行或异面；选项B中，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线；选项D中，两条平行或重合的直线所成的角为0°，因此异面直线所成角的范围是(0°，90°]，故答案选C.答案　C点评　异面直线的定义强调的是这两条直线不同在任何一个平面内，而不是指在某特定平面内．2．异面直线的判定与证明异面直线的判定方法有：①定义法，由定义判断两直线不可能在同一平面内；②反证法，用此方法可以证明两直线是异面直线．例2　 M、N、E、F、G、H、P、Q是正方体ABCD－A1B1C1D1所在棱的中点，则PQ、EF、GH中与直线MN异面的直线是________．分析　要判定两条直线的位置关系可以根据定义及相关知识进行判断．解析　首先，我们不难看出PQ∥MN；其次，根据平面的基本性质，可得MN、EF交于一点，即MN与EF共面；最后，我们可直观地得到GH与MN异面．答案　GH点评　判断两条直线是不是异面直线，除了根据定义及平面的基本性质外，直观上的感知也是十分重要的一方面．3．求异面直线所成的角求异面直线所成的角的解题思路是：把空间两异面直线通过平移，转化为平面内相交直线所成的角，具体的平移过程应视题而定．主要有以下四种平移途径：①利用三角形的中位线平移；②利用平行线分线段成比例的推论平移；③利用平行四边形平移；④利用补形平移．例3　如图，在每个面都为等边三角形的四面体S－ABC中，若点E、F分别为SC、AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角．分析　要求异面直线EF与SA所成的角，首先依定义作出其所成角，为此取SB的中点D，连接ED、FD，根据三角形中位线性质知∠EFD是异面直线EF与SA所成的角．解　如图，连接CF、SF，设四面体S－ABC的棱长为a，则SF＝CF＝eq \f(\r(3),2)a.因为E为SC的中点，所以EF⊥SC.在Rt△SEF中，SE＝eq \f(1,2)SC＝eq \f(1,2)a，所以EF＝eq \r(SF2－SE2)＝eq \f(\r(2),2)a.取SB的中点为D，连接ED、FD.因为BC＝SA＝a，而FD∥SA且FD＝eq \f(1,2)SA，ED∥CB且ED＝eq \f(1,2)CB，所以FD＝ED＝eq \f(1,2)a，于是FD2＋ED2＝EF2.故△DEF是等腰直角三角形，可得∠EFD＝45°，即异面直线EF与SA所成的角是45°.点评　本题以正四面体为依托，通过求异面直线所成的角，考查了异面直线的有关概念，明确了求异面直线所成角的具体求解方法，即“作—证—求”．3　巧用辅助线(面)证明平行关系在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来解决问题．1．作辅助线来解题例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D.证明　如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.因为OF綊eq \f(1,2)B1C1，BE綊eq \f(1,2)B1C1，所以OF綊BE，即四边形OFEB为平行四边形．所以EF∥BO.又EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.评注　将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键是选择或添加适当的直线．而本题通过巧作平行线，利用“有困难，找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一．2．作辅助面来解题例2　如图，已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，求证：a∥b.分析　要证明线线平行，我们可以通过线面平行，或者面面平行来解决．条件里没有提到面面平行，所以，我们利用线面平行来突破．证明　过a作平面γ，δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d.因为γ∩α＝c，直线a∥平面α，a⊂γ，所以a∥c.同理可证a∥d.所以c∥d.由d⊂β，c⊄β，得c∥β.因为c⊂α，α∩β＝b，所以c∥b.又a∥c，所以a∥b.评注　本题要使用线面平行的性质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以便使用性质定理，因此常作辅助面．3．同时作辅助线与辅助面来解题例3　如图，已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在这两个平面之间的线段，且AE＝EB，CG＝GD，AB与CD不平行，求证：EG∥平面α，EG∥平面β.分析　有些综合性的题目需要同时作出辅助线与辅助面，通过面面之间的关系来解题．题目条件中出现了两个中点，一般可直接取某线段的中点，也可通过连线所得交点间接地取中点，本题是直接找中点．证明　过点A作AH∥CD交平面β于点H，设F是AH的中点，连接EF，FG和BH，HD.因为E，F分别是AB，AH的中点，所以EF∥BH，且BH⊂平面β.所以EF∥平面β.又F，G分别是AH，CD的中点，且AH∥CD，所以FG∥HD.又HD⊂平面β，所以FG∥平面β.因为EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面β，又平面α∥平面β，所以平面EFG∥平面α.因为EG⊂平面EFG，所以EG∥平面α，EG∥平面β.评注　本题是通过先作辅助线AH，再作辅助面EFG，借助平面几何里三角形中位线的结论来解决问题的．4　在转化中证明空间垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系．1．证明线面垂直证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直．例1　如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.证明　因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BM.因为M是圆周上一点，所以BM⊥AM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.所以BM⊥AN.又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.评注　本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化．2．证明面面垂直证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直．例2　如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA.证明　(1)如图，取EC的中点F，连接DF，易知DF∥BC.因为EC⊥BC，所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因为EF＝eq \f(1,2)EC＝BD，FD＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA.所以DE＝DA.(2)如图，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，且MN＝eq \f(1,2)EC.又EC∥BD，且BD＝eq \f(1,2)EC，所以MN∥BD，且MN＝BD.所以四边形BDMN是平行四边形．所以点N在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN.又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.因为BN⊂平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA.评注　在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题．3．证明线线垂直证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直．例3　如图，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分别为A，B，求证：CD⊥AB.证明　因为EA⊥α，CD⊂α，所以CD⊥EA.又因为EB⊥β，CD⊂β，所以EB⊥CD.又因为EA∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE.因为AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，所以CD⊥AB.评注　证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到化归与转化的数学思想，主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中．其转化关系如下：5　几何法求空间角空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画．利用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体，能达到综合考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力．下面就利用几何法求空间角的策略进行分析．1．求线面角求线面角，要找出斜线在平面上的射影，其关键是作垂线找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解例1　如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．(1)求证：PE⊥AC；(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．(1)证明　设AC交BD于O，∵S－ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，又AC⊂平面ABCD，∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，F，G分别为BC，SC，CD的中点，∴FG∥SD，BD∥EG.又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，∴平面EFG∥平面BSD，∴AC⊥平面GEF.又∵PE⊂平面GEF，∴PE⊥AC.(2)解　过B作BH⊥GE于H，连接PH，∵BD⊥AC，BD∥GH，∴BH∥AC，由(1)知AC⊥平面GEF，则BH⊥平面GEF.∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角．在Rt△BHP中，BH＝eq \f(\r(2),2)，PH＝eq \f(\r(13),2)，PB＝eq \f(\r(15),2)，故cos∠BPH＝eq \f(PH,PB)＝eq \f(\r(195),15).2．求二面角求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强调“垂直”，其常见途径：(1)利用共底的两个等腰三角形；(2)利用共公共边的两个全等三角形；(3)利用线面垂直和面面垂直的性质；(4)对于“无棱”二面角一般须先确定棱，然后再利用上述方法作出平面角．例2　在三棱锥S－ABC中，已知△ABC是边长为a的等边三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝eq \f(1,2)a，求二面角A－BC－S的大小．解　如图所示，因为AB＝AC＝a，∠BAS＝∠CAS＝90°，所以SB＝SC.取BC的中点为D，连接AD，SD，则由等腰三角形的性质，可得SD⊥BC，AD⊥BC.于是由二面角的平面角的定义可知，∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．因为AS＝eq \f(1,2)a，AD＝eq \f(\r(3),2)BC＝eq \f(\r(3),2)a，所以在Rt△ASD中，tan∠ADS＝eq \f(\f(1,2)a,\f(\r(3),2)a)＝eq \f(\r(3),3).所以∠ADS＝30°，即所求二面角A－BC－S的大小为30°.评注　应用二面角的定义时，常常要先在二面角的棱上取一个适当的点(常取中点)，然后再过这一点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线，找出二面角的平面角，然后通过解三角形求得二面角的大小．