人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念同步测试题

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc187681925" 1 【思维导图】 PAGEREF _Tc187681925 \h 2
\l "_Tc187681926" 2 【本节知识讲解】 PAGEREF _Tc187681926 \h 2
\l "_Tc187681927" 2.1 知识点一、复数的概念 PAGEREF _Tc187681927 \h 2
\l "_Tc187681928" 2.2 知识点二、复数的分类 PAGEREF _Tc187681928 \h 3
\l "_Tc187681929" 2.3 知识点三、复数相等的充要条件 PAGEREF _Tc187681929 \h 4
\l "_Tc187681930" 2.4 知识点四、复平面 PAGEREF _Tc187681930 \h 4
\l "_Tc187681931" 2.5 知识点五、复数的几何意义 PAGEREF _Tc187681931 \h 5
\l "_Tc187681932" 2.6 知识点六、复数的模 PAGEREF _Tc187681932 \h 5
\l "_Tc187681933" 3 【典型例题】 PAGEREF _Tc187681933 \h 6
\l "_Tc187681934" 3.1 题型一、复数的概念 PAGEREF _Tc187681934 \h 6
\l "_Tc187681935" 3.2 题型二、复数的分类 PAGEREF _Tc187681935 \h 7
\l "_Tc187681936" 3.3 题型三、复数相等的充要条件 PAGEREF _Tc187681936 \h 8
\l "_Tc187681937" 3.4 题型四、复数与复平面内的点、向量的关系 PAGEREF _Tc187681937 \h 8
\l "_Tc187681938" 3.5 题型五、复数的模 PAGEREF _Tc187681938 \h 9
【思维导图】
【本节知识讲解】
知识点一、复数的概念
复数
= 1 \* GB3 ①定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数.
= 2 \* GB3 ② a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.，i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
= 3 \* GB3 ③ 表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R).
= 4 \* GB3 ④复数不能直接比较大小
复数集
= 1 \* GB3 ①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.
= 2 \* GB3 ②表示：通常用大写字母C表示.
特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
知识点二、复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间包含的关系.
解决复数分类问题的方法与步骤
= 1 \* GB3 ① 化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
= 2 \* GB3 ② 定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
= 3 \* GB3 ③ 常考结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
z为实数⇔b＝0.
z为虚数⇔b≠0.
z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.
知识点三、复数相等的充要条件
复数z1=a+bⅈ，z2=c+dⅈ
= 1 \* GB3 ① a，b，c，d都是实数
= 2 \* GB3 ② a+bⅈ=c+dⅈ ⇔a＝c且b＝d
知识点四、复平面
如图所示
= 1 \* GB3 ① 复平面的本质是平面直角坐标系
= 2 \* GB3 ② 其中x轴变为实轴，y轴变为虚轴
复数相等问题的解题技巧
= 1 \* GB3 ①必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
= 2 \* GB3 ②根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
= 3 \* GB3 ③如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
知识点五、复数的几何意义
复数z=a+bⅈ (a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
复数z=a+bⅈ (a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
利用复数与点的对应关系解题的步骤
= 1 \* GB3 ①找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据.
= 2 \* GB3 ②列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
复数与平面向量的对应关系
= 1 \* GB3 ①根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
= 2 \* GB3 ②解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
知识点六、复数的模
定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数 z=a+bⅈ (a，b∈R)的模或绝对值.
记法：复数z=a+bⅈ的模记为z或a+bⅈ
公式：z=a+bⅈ=a2+b2
‌复数不能直接比较大小‌。这是因为复数包括实部和虚部，实部可以在数轴上比较，但虚部需要在复平面上比较，这使得复数不具备直观的大小比较方式。复数的大小比较依赖于复数的模和实虚部的比较。‌
复数模的计算
= 1 \* GB3 ①计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.
= 2 \* GB3 ②虽然两个复数不能比较大小，但它们的模长可以比较大小.
= 3 \* GB3 ③设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
【典型例题】
题型一、复数的概念
（2024高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．的平方根是
C．是纯虚数
D．若，则复数没有虚部
（2024高一下·江苏盐城·期中）复数的实部是（ ）
A．2B．C．2＋D．0
（2024高一下·河北邢台·阶段练习）若复数，则实数m的值为 .
（2024高一·江苏·课时练习）若复数，则实数的值为 .
（2024高一下·福建莆田·期末）若复数，则z的虚部是（ ）
A．B．C．2D．
（2024高一下·湖南株洲·期中）已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （ ）
A．B．C．D．
题型二、复数的分类
（2024高一下·河南信阳·期末）已知复数为纯虚数，则 .
（2024高一下·山东青岛·期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2B．－2C．D．4
（2024高一·全国·单元测试）实数a分别取什么值时，复数是
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数？
（2024高一下·安徽池州·阶段练习）已知复数.
(1)若复数是虚数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
题型三、复数相等的充要条件
（2024高一下·山西运城·期中）已知，则 .
（2024高一·全国·专题练习）已知，，其中均为实数，且，求.
（2024高二下·河南南阳·期末）已知(i是虚数单位)，则实数x的值为 ．
（2024高一下·湖南岳阳·期末）关于的方程有实根，则实数的值为 ．
题型四、复数与复平面内的点、向量的关系
（2024高一·全国·课时练习）在正方形OMNP中，若对应的复数为，则对应的复数为 ．
（2024高一·全国·课后作业）在复平面上，对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则对应的复数为 ．
（2024高一·全国·课时练习）在复平面上向量所对应的复数，与垂直，且，则对应的复数可以为 ．
（2024高二上·广东东莞·阶段练习）已知复数在复平面上对应的点为Z，
求点Z在实轴上时，实数m的取值；
求点Z在虚轴上时，实数m的取值；
求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.
（2024高一下·河南信阳·阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，-i+e3i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题型五、复数的模
（2024高一下·北京西城·阶段练习）若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
（2024高一下·北京延庆·期末）设复数在复平面内对应的点分别为，则两点之间距离的最大值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
（2024高一下·河南商丘·阶段练习）已知复数、(i为虚数单位)、在复平面上对应的点分别为A、B、C，若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A．B．C．2D．5