高中人教B版 (2019)1.1.3 集合的基本运算精品第1课时同步训练题

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一、单选题
1．（2022秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，且集合B={2,3,5}，A∪B={1,2,3,4,5,8}，A∩B={5}，则集合A等于（ ）
A．{1,2,3,4,8}B．{1,4,5,6,8}
C．{1,4,5,8}D．{1,4,8}
【答案】C
【分析】画出Venn图，即可得出答案.
【详解】画出Venn图，如下，

所以集合A=1,4,5,8.
故选：C.
2．（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知集合M=xx≤1，B=xx>t，若M∩P=∅，则（ ）
A．B．C．t<1D．t≤1
【答案】B
【分析】利用已知条件可得出t的取值范围.
【详解】因为集合M=xx≤1，B=xx>t，且M∩P=∅，则t≥1.
故选：B.
3．（2022春·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知集合E=xx=n+12,n∈Z，F=xx=n2+1,n∈Z，则下列表述正确的是（ ）
A．E⊆FB．F⊆EC．E∩F=∅D．E∪F=R
【答案】A
【分析】化简E，F，根据集合间的关系判断.
【详解】E=xx=n+12,n∈Z=xx=2n+12,n∈Z，F=xx=n2+1,n∈Z=xx=n+22,n∈Z，
所以E⊆F，故A正确；B、C、D均不正确.
故选：A
4．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）设集合M=x−3A．t≤13B．13【答案】C
【分析】根据M∪N=M，可得N⊆M，再分N=∅和N≠∅两种情况讨论即可.
【详解】因为M∪N=M，所以N⊆M，
当2−t≥2t+1，即t≤13时，N=∅⊆M，符合题意；
当N≠∅时，
则2t+1≤72−t≥−32t+1>2−t，解得13综上所述实数t的取值范围为t≤3.
故选：C.
5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知集合A=1,3,5,7，B=x−1A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根据并集定义可得A∪B，由此可得元素个数.
【详解】∵B=x−1故选：B.
6．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70％B．56％C．40％D．30％
【答案】C
【分析】根据公式cardA∪B=cardA+cardB−cardA∩B列方程求解即可.
【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，
这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，
设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x，
则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56％＋74％－x，
所以56％＋74％－x＝90％，
解得x=40％，
故选：C.
二、多选题
7．（2021秋·高一课时练习）已知集合P={x|x=m2+3m+1}，T={x|x=n2−3n+1}，下列判断正确的是（ ）
A．P∩T={y|y≥−54}
B．P∪T={y|y≥−54}
C．P∩T=∅
D．P=T
【答案】ABD
【分析】根据题意求出集合P,T的取值范围，然后结合交集，并集和集合相等的知识逐项验证即可求解.
【详解】因为集合P={x|x=m2+3m+1}={x|x=(m+32)2−54}={x|x≥−54}，
集合T={x|x=n2−3n+1}={x|x=(n−32)2−54}={x|x≥−54}，
所以P∩T={y|y≥−54}，P∪T={y|y≥−54}，P=T，
故选：ABD.
8．（2022秋·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）设集合A=xx2−3x+2=0，B=xax−1=0，若A∩B=B，则实数a的值可以为（ ）
A．12B．0C．1D．3
【答案】ABC
【分析】解方程可求得集合A，根据交集结果可知B⊆A，分别在a=0和a≠0的情况下讨论即可求得a所有可能的取值.
【详解】由x2−3x+2=0得：x=1或，即A=1,2；
∵A∩B=B，∴B⊆A；
当a=0时，B=∅，满足题意；
当a≠0时，B=1a，则1a=1或1a=2，解得：a=1或a=12；
综上所述：实数a的取值集合为0,12,1.
故选：ABC.
三、填空题
9．（2023·高一课时练习）设A、B是两个非空集合，定义AΔB={x∣x∈A∪B且x∉A∩B}，已知集合A=[0,2],B=(1,+∞)，则AΔB= ．
【答案】0,1∪2,+∞
【分析】分别求出A∩B 和A∪B再根据新运算的定义求解.
【详解】A∩B=1,2,A∪B=0,+∞，∴AΔB=0,1∪2,+∞；
故答案为：0,1∪2,+∞.
10．（2023春·重庆·高二统考期末）设集合M=xx2−2x−8=0，N=xax−2=0，若M∪N=M，则实数a所有取值组成的集合的子集个数为 .
【答案】8
【分析】解出集合M，分N=∅、N≠∅两种情况讨论，结合N⊆M可得出实数a的取值集合，进而可得子集个数.
【详解】因为M=xx2−2x−8=0=−2,4，N=xax−2=0，M∪N=M，则N⊆M.
当a=0时，N=∅⊆M，合乎题意；
当a≠0时，N=xax−2=0=2a⊆M，则2a=−2或2a=4，解得a=−1或a=12.
综上所述，实数a的取值构成的集合为0,−1,12，该集合子集个数为23=8.
故答案为：8.
11．（2022·高一单元测试）当x∈A时，若有x−1∉A且x+1∉A，则称x是集合A的一个“孤元”，由A的所有孤元组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M=1,2,3的孤星集是M'，集合P=1,3,4的孤星集是P'，则M'∩P'= .
【答案】∅
【分析】根据集合的新定义求解出集合M'和P'，再求解交集可得出答案.
【详解】根据“孤星集”的定义，1∈A,1+1=2,2∈A 所以1不是集合M'的元素
同理2，3也都不是集合M'的元素
∴M'=∅，同理可得 P'=1
所以M'∩P'=∅.
故答案为：∅.
四、解答题
12．（2021秋·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1．
（1）若m=4，求A∪B；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
【答案】（1）x−2≤x≤7；（2）mm<2或m>4.
【分析】（1）当m=4时，求出集合B，利用并集的定义可求得集合A∪B；
（2）分B=∅、B≠∅两种情况讨论，结合A∩B=∅可得出关于实数m的不等式，综合可求得实数m的取值范围.
【详解】（1）当m=4时，B=x5≤x≤7，故A∪B=x−2≤x≤7；
（2）当m+1>2m−1时，即当m<2时，B=∅，则A∩B=∅；
当m+1≤2m−1时，即当m≥2时，B≠∅，
因为A∩B=∅，则2m−1<−2或m+1>5，解得或m>4，此时有m>4.
综上所述，实数m的取值范围是mm<2或m>4.
13．（2022秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）已知集合A=x−33}，C=x−2−3．
(1)求A∩B；
(2)若A∪B∩C=C，求实数m的取值范围．
【答案】(1)x−3(2)m−3【分析】（1）根据交集的定义计算；
（2）求出A∪B，由A∪B∩C=C得C⊆A∪B，根据集合的包含关系可得结论．
【详解】（1）因为A=x−33}，
所以A∩B=x−3（2）由题意，得A∪B={x|x<1或x>3}．
因为A∪B∩C=C，所以C⊆A∪B．
因为m>−3，所以C≠∅，所以m+1≤1，解得m≤0，
所以实数m的取值范围是m−314．（2022秋·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）已知集合A=x−5(1)若B=xx≥m，A∪B=B，求实数m的取值范围；
(2)若B={x|xm}，A∪B=R，求实数m的取值范围．
【答案】(1)mm≤−5
(2)m−3【分析】（1）由A∪B=B，得A⊆B，再由集合包含关系得结论．
（2）由并集的结果可得参数范围．
【详解】（1）由A∪B=B，知A⊆B，所以m≤−5，即实数m的取值范围为mm≤−5．
（2）由题意，得m−2>−5m≤2，解得−31．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）对于非空实数集A，记A∗={y∀x∈A,y≥x}.设非空实数集合M⊆P，若m>1时，则.现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有P∗⊆M∗；
②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有M∗∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有M∩P∗=∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数a，使得对任意的b∈M∗，恒有a+b∈P∗，
其中正确的命题是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】根据集合定义得A∗为不小于集合A中最大值的所有数构成的集合.利用集合定义得到新集合，利用集合关系判断①，利用特殊集合判断②③，利用特例法结合集合定义判断④.
【详解】由已知，A∗为不小于集合A中最大值的所有数构成的集合.
①因为M⊆P，设集合M和P中最大值分别为m和p，则p≥m，故有P∗⊆M∗，正确；
②设M=P=x0③设M=P=x0④令，则对任意的b∈M∗，，故恒有a+b∈P∗，正确.
故选：B
2．（2022秋·甘肃兰州·高一校考阶段练习）设集合A=x−2≤x≤5,B=xm+1≤x≤2m−1，则A∩B=B，则实数m的取值范围是（ ）
A．2,3B．−∞,3C．2,3D．−∞,2
【答案】B
【分析】根据A∪B=A可得B⊆A，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出m的范围即可
【详解】∵A∩B=B，
∴B⊆A，
①B=∅时，m+1>2m−1，解得m<2；
②B≠∅时，m≥2m+1≥−22m−1≤5，解得2≤m≤3，
∴实数m的取值范围是−∞,3．
故选：B．
3．（2022秋·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）（多选）下列选项正确的是（ ）
A．若集合A=xax2+4x+4=0,x∈R有2个子集，则a<1
B．若集合0,1,a=−1,c,1b，则a+b+c=0
C．若集合A=xx<5，B=xx5
D．若集合A=xx2∈Z，B=yy−12∈Z，则A∪B=Z
【答案】BD
【分析】分析可知集合A只有一个元素，求出a的值，可判断A选项；利用集合相等求出a、b、c的值，可判断B选项；利用几何的包含关系求出参数a的取值范围，可判断C选项；利用并集的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，若集合A有2个子集，则关于x的方程ax2+4x+4=0只有一个实数解.
当a=0时，则有4x+4=0，解得x=−1，合乎题意，
当a≠0时，则Δ=16−16a=0，解得a=1.
因此，若集合A=xax2+4x+4=0,x∈R有2个子集，则a=0或1，A错；
对于B选项，若集合0,1,a=−1,c,1b，则c=0a=−11b=1，即a=−1b=1c=0，故a+b+c=0，B对；
对于C选项，集合A=xx<5，B=xx对于D选项，因为集合A=xx2∈Z=xx=2k,k∈Z，
B=yy−12∈Z=yy=2k+1,k∈Z，
所以，集合A是所有偶数构成的集合，集合B是所有奇数构成的集合，故A∪B=Z，D对.
故选：BD.
4．（2022秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）已知A=a1,a2,a3,a4,B=a2∣a∈A，其中a1【答案】14
【分析】通过分析得到a12=a32=a4，而162=256<270,172=289>270，又a4为某整数的平方，故a4最大值为16，当a4=16时，通过推理可得当A=−4,−2,4,16时满足要求，当a4取其他值时，均不合题意，从而求出A中所有元素之和.
【详解】因为a1+a3=0，所以a12=a32，
又因为a1所以a12=a32=a4，
因为A∪B中的所有元素之和为270，而162=256<270,172=289>270，
又a4为某整数的平方，故a4最大值为16，
当a4=16时，则a1=−4,a3=4，
因为A∩B=a3,a4，故a22=4，
解得：a2=±2，
当a2=2时，A=−4,2,4,16,B=4,16,256，则A∪B=−4,2,4,16,256，
A∪B中的所有元素之和为274，不合题意，舍去；
当a2=−2时，A=−4,−2,4,16,B=4,16,256，则A∪B=−4,−2,4,16,256，
A∪B中的所有元素之和为270，满足题意，
此时集合A中所有元素之和为−4−2+4+16=14；
当a4=9，此时a3=3，但3不是某个整数的平方，故不合题意，舍去；
同理可知，当a4为其他整数时，均不合要求.
故答案为：14
5．（2021秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考阶段练习）设集合A={r1,r2,⋯rn}⊆1,2,3,⋯37,且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为
【答案】17
【分析】由已知中A⊆{1，2，3，…，37}，且A中任意两数之和不能被5整除，我们可根据1～37中各数除以5的余数将数分为5类，进而分析出集合A中元素的最多个数，得到答案
【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组：
A0＝{5，10，15，20，25，30，35}，则card(A0)＝7
A1＝{1，6，11，16，21，26，31，36}，则card(A1)＝8
A2＝{2，7，12，17，22，27，32，37}，则card(A2)＝8
A3＝{3，8，13，18，23，28，33}，则card(A3)＝7
A4＝{4，9，14，19，24，29，34}，则card(A4)＝7
A中的任何两个数之和不能被5整除，故A1和A4，A2和A3中不能同时取数，且A0中最多取一个
∴最多的取法是取A1∪A2和A0中的一个元素，card(A)max
故n的最大值为17
故答案为：17
【点睛】本题考查了集合的并集运算并求元素个数，应用抽屉原理结合余数对集合元素作分类，进而通过不同的取数组合，讨论在任意两数之和不可被5整除的条件下使目标集合元素最多的情况，并应用集合运算求集合，并确定元素个数
6．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）已知集合A=x2a−1≤x≤a+1，．
(1)若a=1，求A∪B；
(2)在①A∪B=B，②A∩B=A中任选一个，补充到横线上，并求解问题．
若______，求实数a的取值范围．
【答案】(1)A∪B=x0≤x≤3
(2)条件选择见解析，12,+∞
【分析】（1）当a=1时，集合A=x1≤x≤2，则可求出A∪B；
（2）任选一个条件都可得A⊆B，讨论集合A是否为空集，即可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）当a=1时，集合A=x1≤x≤2，
又，
所以A∪B=x0≤x≤3；
（2）方案一 选择条件①．
由A∪B=B，得A⊆B．
当A=∅时，2a−1>a+1，得a>2，此时A⊆B，符合题意；
当A≠∅时，得2a−1≥0a+1≤32a−1≤a+1，解得12≤a≤2．
综上，实数a的取值范围是12,+∞．
方案二 选择条件②．
由A∩B=A，得A⊆B．
当A=∅时，2a−1>a+1，得a>2，此时A⊆B，符合题意．
当A≠∅时，得2a−1≥0a+1≤32a−1≤a+1，解得12≤a≤2．
综上，实数a的取值范围是12,+∞．