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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词优秀巩固练习
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词优秀巩固练习，文件包含人教B版数学高一必修第一册121命题与量词分层练习原卷版docx、人教B版数学高一必修第一册121命题与量词分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022秋·广西桂林·高一校考阶段练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．矩形的两条对角线垂直B．对任意a，b，都有a2 + b2 ≥ 2（a﹣b﹣1）
C．x， |x| + x = 0D．至少有一个x，使得x2 ≤ 2成立
【答案】B
【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.
【详解】A选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A错误.
C,D选项是特称量词命题，故错误.
B选项是全称量词命题，用反证法证明，
因为
所以对,,故B正确.
故选:B.
2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）小文是一个酒水店的管理人员，负责监督保证每个喝酒的人必须年满20岁，也就是要保证“如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁”这个命题为真．现在店里有下列四个人，那么小文为了确认规则成立，必须至少检查的人（检查他们的年龄或者正在饮用的饮品）有（ ）
①一位正在喝酒的男性；
②一位正在喝果汁的女性；
③一位正在饮用待检测饮料的32岁男性；
④一位正在饮用待检测饮料的15岁女性．
A．②③B．①③C．①④D．①③④
【答案】C
【分析】由题可知需检测喝酒的人是否年满20岁，或检测未满20岁的人是否在喝酒，据此可得答案.
【详解】要检验命题，需要保证喝酒的人已经年满20岁，因此需要检测①；同时要保证未满20岁的人没有在喝酒，因此需要检查④．
故选：C．
3．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（ ）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误；
②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B
4．（2021秋·广西贺州·高一校考阶段练习）下列命题中假命题的个数是（ ）
（1）有四个实数解
（2）设a，b，c是实数，若二次方程 无实根，则ac≥0
（3）若 ，则x≠2
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】在（1）中先求得后再求解； 在（2）中由可得出ac≥0成立；在（3）中由且可推出x≠2成立.
【详解】在（1）中，得或，故，只有两解，故（1）错误；
在（2）中无实根，则，即，所以ac≥0是正确的，故（2）正确；
在（3）中若 ，则且，即x≠2成立，故（3）正确；
故选：C.
5．（2021秋·陕西西安·高二校考期末）若命题：，是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据命题为真命题，转化为，恒成立求解.
【详解】因为命题为真命题，即，恒成立，
即，恒成立，
而，当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：B
6．（2021秋·高一课时练习）给出命题：方程没有实数根，若该命题为真命题，则的一个值可以是（ ）
A．4B．2C．0D．
【答案】C
【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可
【详解】解：由方程无实数根得，应满足，解得，故当时符合条件.
故选：C.
【点睛】本题考查根据命题的真假求参数问题，是简单题.
二、多选题
7．（2022·江苏·高一专题练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（ ）
A．命题“若互为相反数，则”
B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”
C．命题“若，则有实根”
D．命题“若是正整数，则都是正整数”
【答案】ABC
【分析】显然AB正确，当时，代入判断，即可判断选项C，取代入计算，即可判断选项D.
【详解】显然选项A正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为，所以选项B正确；当时，，所以方程有实根，C正确；取，则是正整数，但不是正整数，故D错误.
故选：ABC
8．（2022·全国·高一期末）已知，如果是假命题，是真命题，则实数可取（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据题目条件列不等式计算即可.
【详解】依题意，，
∴，
∴实数的取值范围是，
故选：BC.
三、填空题
9．（2021·高一单元测试）关于的方程，给出下列结论：①是该方程的根；②是该方程的根；③该方程两根之和为2；④该方程两根异号.以上四个结论有且仅有一个结论是错误的.则 .
【答案】13
【分析】分别假定①、②、③、④是假命题，可求出答案.
【详解】若②是假命题，则其余三个是真命题，则，，两根不异号，不符合.
若③是假命题，则其余三个是真命题，则两根不异号，不符合.
若④是假命题，则其余三个是真命题，则两根和不为2，不符合.
若①是假命题，则其余三个是真命题，则，，符合.此时，，所以.
故答案为：
10．（2023·高一课时练习）下列四个命题，其中真命题是 ．（填序号）
①若，则x，y互为相反数； ②面积相等的三角形全等；
③若，则有实数解； ④若，则．
【答案】①③
【分析】①叙述正确，为真命题，面积相等的三角形不一定全等，②为假命题；，则③为真命题；若，则，故④为假命题.
【详解】若，则x，y互为相反数，叙述正确，故①为真命题；
面积相等的三角形不一定全等，故②为假命题；
若，则，故有实数解，则③为真命题；
若，则，故④为假命题.
故答案为：①③.
11．（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考一模）已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据p是真命题可得，再分析当q是真命题时，进而求得q是假命题时a的取值范围即可
【详解】命题p：恒成立，若p是真命题，
则：，
命题q：，使得成立，
若命题q为真命题，
则.
所以命题q是假命题时，，
综上，参数a的取值范围为：，
即
故答案为：
四、解答题
12．（2021·江苏·高一专题练习）判断下列语句是不是命题，并说明理由.
（1）是有理数；
（2）年夏季奥运会的举办城市是日本的东京；
（3）；
（4）梯形是不是平面图形呢？
（5）；
（6）请勿喧哗；
（7）.
【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析；（4）不是，理由见解析；（5）是，理由见解析；（6）不是，理由见解析；（7）是，理由见解析
【分析】结合命题的概念，对题中语句逐个分析，可得出答案.
【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能判断它是假的，所以它是命题；
（2）“2020年夏季奥运会的举办城市是日本的东京”是陈述句，并且能判断它是真的，所以它是命题；
（3）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题；
（4）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题；
（5）因为“”中，所以“”是真的，所以它是命题；
（6）“请勿喧哗”是祈使句，不是陈述句，所以它不是命题；
（7）“”是假的，所以它是命题.
【点睛】①一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题；
②语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题；
③对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题.
13．（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知，．，．
(1)若p为真命题，求m的取值范围．
(2)若p，q至少有一个是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)或
【分析】（1）根据方程有实数根，即可根据判别式求解；
（2）分别求出命题p，q为真命题，解出m的取值范围，然后得两者均为假命题的m的取值范围，即可解出至少一个为真命题的范围．
【详解】（1）命题p为真，则方程有实数根即可，故，解得或，
故p为真命题，求m的取值范围为或
（2）q是真命题，则对恒成立，故 ，
故命题p，q均为假命题时，满足，解得 ，
因此p，q至少有一个是真命题时，或
14．（2023秋·江苏扬州·高一期末）在①，，②这两句话中任选一个，补充到本题中第（2）问横线处，求解下列问题．
设全集是实数集R,，，
(1)当时，求、；
(2)已知命题p： ，且p为真命题，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)若选①；若选②
【分析】（1）基本的集合的交集，并集运算；
（2）若选①，即，则；
若选②，即，，则．
【详解】（1），．
当时，
则，．
（2）若选①，即，则，
若选②，则，则，，
则．
1．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解；
（2）关于，的方程有正有理数解；
（3）关于，的方程没有正有理数解；
（4）当整数时关于，，的方程有正实数解
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】当整数时方程没有正整数解，（1）错误，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确，当，满足条件，（4）正确，得到答案.
【详解】当整数时，关于，，的方程没有正整数解，故方程没有正整数解，（1）错误；
没有正整数解.即，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；
方程，当，满足条件，故有正实数解，（4）正确.
故选：C
2．（2020秋·江西南昌·高二进贤县第二中学校考阶段练习）若命题“，”是假命题，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求真命题时的x的范围，再求它的补集，将不等式转化成关于a的函数，通过单调性端点值的函数值都大于零即可求解.
【详解】若命题为真命题时，不等式变为：，
设函数，，单调增，
解得：，
即或.
所以命题为假命题时的实数x的取值范围是：.
故选：A.
【点睛】本题考查不等式转化函数，再用函数的主参换位的单调性来求x的取值范围，属于常考题.
3．（2020秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选题）若“”为假命题，“”为真命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】求出”为假命题，对应的的范围，“”为真命题，对应的的范围，求交集即可.
【详解】因为”为假命题，
所以为真命题，
所以，，
若“”为真命题，
所以的范围是
集合可以是的子集，
故选：AB
【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.
4．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为
【答案】3
【分析】根据新定义逐一判断即可求解
【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，
（2）若数域有非零元素，则，
从而，故（2）正确；
（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，
（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3.
故答案为：3
5．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知两个命题，：关于的方程至多有一个实数根；：关于的方程有两个不相等实数根，如果、有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是
【答案】.
【分析】结合已知条件，分别求出命题和对应的的取值范围，利用补集关系分别讨论“真假”和“假真”时的取值范围即可求解.
【详解】对于命题：当时，关于的方程只有一个实数根，满足题意；
当时，因为关于的方程至多有一个实数根，
所以，即，
故命题对应的的范围；
对于命题：因为关于的方程有两个不相等实数根，
所以其判别式，
故命题对应的的范围为，
由、有且仅有一个是真命题，讨论以下两种情况：
①当真假时，
故，即时，满足题意；
②当假真时，
故；
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
6．（2022秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）已知集合，，.
(1)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或.
(2)或.
【分析】（1）由题设有、，讨论、分别判断是否符合题设，并确定的值；
（2）由题设有，讨论集合，并利用一元二次方程根与系数关系、判别式求的取值范围.
【详解】（1），
因为命题：“，都有”是真命题，所以，
因为，
所以当时，，则，即；
当时，，显然是的真子集.
综上，或.
（2）由可得，
当时，，即；
当时，，无解；
当时，，无解；
当时，，解得；
综上，的取值范围或.
一、单选题
1．（2022秋·广西桂林·高一校考阶段练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．矩形的两条对角线垂直B．对任意a，b，都有a2 + b2 ≥ 2（a﹣b﹣1）
C．x， |x| + x = 0D．至少有一个x，使得x2 ≤ 2成立
【答案】B
【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.
【详解】A选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A错误.
C,D选项是特称量词命题，故错误.
B选项是全称量词命题，用反证法证明，
因为
所以对,,故B正确.
故选:B.
2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）小文是一个酒水店的管理人员，负责监督保证每个喝酒的人必须年满20岁，也就是要保证“如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁”这个命题为真．现在店里有下列四个人，那么小文为了确认规则成立，必须至少检查的人（检查他们的年龄或者正在饮用的饮品）有（ ）
①一位正在喝酒的男性；
②一位正在喝果汁的女性；
③一位正在饮用待检测饮料的32岁男性；
④一位正在饮用待检测饮料的15岁女性．
A．②③B．①③C．①④D．①③④
【答案】C
【分析】由题可知需检测喝酒的人是否年满20岁，或检测未满20岁的人是否在喝酒，据此可得答案.
【详解】要检验命题，需要保证喝酒的人已经年满20岁，因此需要检测①；同时要保证未满20岁的人没有在喝酒，因此需要检查④．
故选：C．
3．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（ ）
①是一元二次方程；
②函数的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.
【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误；
②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；
④中，空集不是本身的真子集，④错误．
故选：B
4．（2021秋·广西贺州·高一校考阶段练习）下列命题中假命题的个数是（ ）
（1）有四个实数解
（2）设a，b，c是实数，若二次方程 无实根，则ac≥0
（3）若 ，则x≠2
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】在（1）中先求得后再求解； 在（2）中由可得出ac≥0成立；在（3）中由且可推出x≠2成立.
【详解】在（1）中，得或，故，只有两解，故（1）错误；
在（2）中无实根，则，即，所以ac≥0是正确的，故（2）正确；
在（3）中若 ，则且，即x≠2成立，故（3）正确；
故选：C.
5．（2021秋·陕西西安·高二校考期末）若命题：，是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据命题为真命题，转化为，恒成立求解.
【详解】因为命题为真命题，即，恒成立，
即，恒成立，
而，当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：B
6．（2021秋·高一课时练习）给出命题：方程没有实数根，若该命题为真命题，则的一个值可以是（ ）
A．4B．2C．0D．
【答案】C
【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可
【详解】解：由方程无实数根得，应满足，解得，故当时符合条件.
故选：C.
【点睛】本题考查根据命题的真假求参数问题，是简单题.
二、多选题
7．（2022·江苏·高一专题练习）给出以下四个命题，其中真命题是:（ ）
A．命题“若互为相反数，则”
B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”
C．命题“若，则有实根”
D．命题“若是正整数，则都是正整数”
【答案】ABC
【分析】显然AB正确，当时，代入判断，即可判断选项C，取代入计算，即可判断选项D.
【详解】显然选项A正确，两个全等三角形的面积比与周长的平方比均为，所以选项B正确；当时，，所以方程有实根，C正确；取，则是正整数，但不是正整数，故D错误.
故选：ABC
8．（2022·全国·高一期末）已知，如果是假命题，是真命题，则实数可取（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据题目条件列不等式计算即可.
【详解】依题意，，
∴，
∴实数的取值范围是，
故选：BC.
三、填空题
9．（2021·高一单元测试）关于的方程，给出下列结论：①是该方程的根；②是该方程的根；③该方程两根之和为2；④该方程两根异号.以上四个结论有且仅有一个结论是错误的.则 .
【答案】13
【分析】分别假定①、②、③、④是假命题，可求出答案.
【详解】若②是假命题，则其余三个是真命题，则，，两根不异号，不符合.
若③是假命题，则其余三个是真命题，则两根不异号，不符合.
若④是假命题，则其余三个是真命题，则两根和不为2，不符合.
若①是假命题，则其余三个是真命题，则，，符合.此时，，所以.
故答案为：
10．（2023·高一课时练习）下列四个命题，其中真命题是 ．（填序号）
①若，则x，y互为相反数； ②面积相等的三角形全等；
③若，则有实数解； ④若，则．
【答案】①③
【分析】①叙述正确，为真命题，面积相等的三角形不一定全等，②为假命题；，则③为真命题；若，则，故④为假命题.
【详解】若，则x，y互为相反数，叙述正确，故①为真命题；
面积相等的三角形不一定全等，故②为假命题；
若，则，故有实数解，则③为真命题；
若，则，故④为假命题.
故答案为：①③.
11．（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考一模）已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据p是真命题可得，再分析当q是真命题时，进而求得q是假命题时a的取值范围即可
【详解】命题p：恒成立，若p是真命题，
则：，
命题q：，使得成立，
若命题q为真命题，
则.
所以命题q是假命题时，，
综上，参数a的取值范围为：，
即
故答案为：
四、解答题
12．（2021·江苏·高一专题练习）判断下列语句是不是命题，并说明理由.
（1）是有理数；
（2）年夏季奥运会的举办城市是日本的东京；
（3）；
（4）梯形是不是平面图形呢？
（5）；
（6）请勿喧哗；
（7）.
【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析；（4）不是，理由见解析；（5）是，理由见解析；（6）不是，理由见解析；（7）是，理由见解析
【分析】结合命题的概念，对题中语句逐个分析，可得出答案.
【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能判断它是假的，所以它是命题；
（2）“2020年夏季奥运会的举办城市是日本的东京”是陈述句，并且能判断它是真的，所以它是命题；
（3）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题；
（4）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题；
（5）因为“”中，所以“”是真的，所以它是命题；
（6）“请勿喧哗”是祈使句，不是陈述句，所以它不是命题；
（7）“”是假的，所以它是命题.
【点睛】①一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题；
②语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题；
③对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题.
13．（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知，．，．
(1)若p为真命题，求m的取值范围．
(2)若p，q至少有一个是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)或
【分析】（1）根据方程有实数根，即可根据判别式求解；
（2）分别求出命题p，q为真命题，解出m的取值范围，然后得两者均为假命题的m的取值范围，即可解出至少一个为真命题的范围．
【详解】（1）命题p为真，则方程有实数根即可，故，解得或，
故p为真命题，求m的取值范围为或
（2）q是真命题，则对恒成立，故 ，
故命题p，q均为假命题时，满足，解得 ，
因此p，q至少有一个是真命题时，或
14．（2023秋·江苏扬州·高一期末）在①，，②这两句话中任选一个，补充到本题中第（2）问横线处，求解下列问题．
设全集是实数集R,，，
(1)当时，求、；
(2)已知命题p： ，且p为真命题，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)若选①；若选②
【分析】（1）基本的集合的交集，并集运算；
（2）若选①，即，则；
若选②，即，，则．
【详解】（1），．
当时，
则，．
（2）若选①，即，则，
若选②，则，则，，
则．
1．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解；
（2）关于，的方程有正有理数解；
（3）关于，的方程没有正有理数解；
（4）当整数时关于，，的方程有正实数解
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】当整数时方程没有正整数解，（1）错误，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确，当，满足条件，（4）正确，得到答案.
【详解】当整数时，关于，，的方程没有正整数解，故方程没有正整数解，（1）错误；
没有正整数解.即，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；
方程，当，满足条件，故有正实数解，（4）正确.
故选：C
2．（2020秋·江西南昌·高二进贤县第二中学校考阶段练习）若命题“，”是假命题，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求真命题时的x的范围，再求它的补集，将不等式转化成关于a的函数，通过单调性端点值的函数值都大于零即可求解.
【详解】若命题为真命题时，不等式变为：，
设函数，，单调增，
解得：，
即或.
所以命题为假命题时的实数x的取值范围是：.
故选：A.
【点睛】本题考查不等式转化函数，再用函数的主参换位的单调性来求x的取值范围，属于常考题.
3．（2020秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选题）若“”为假命题，“”为真命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】求出”为假命题，对应的的范围，“”为真命题，对应的的范围，求交集即可.
【详解】因为”为假命题，
所以为真命题，
所以，，
若“”为真命题，
所以的范围是
集合可以是的子集，
故选：AB
【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.
4．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为
【答案】3
【分析】根据新定义逐一判断即可求解
【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，
（2）若数域有非零元素，则，
从而，故（2）正确；
（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，
（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3.
故答案为：3
5．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知两个命题，：关于的方程至多有一个实数根；：关于的方程有两个不相等实数根，如果、有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是
【答案】.
【分析】结合已知条件，分别求出命题和对应的的取值范围，利用补集关系分别讨论“真假”和“假真”时的取值范围即可求解.
【详解】对于命题：当时，关于的方程只有一个实数根，满足题意；
当时，因为关于的方程至多有一个实数根，
所以，即，
故命题对应的的范围；
对于命题：因为关于的方程有两个不相等实数根，
所以其判别式，
故命题对应的的范围为，
由、有且仅有一个是真命题，讨论以下两种情况：
①当真假时，
故，即时，满足题意；
②当假真时，
故；
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
6．（2022秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）已知集合，，.
(1)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或.
(2)或.
【分析】（1）由题设有、，讨论、分别判断是否符合题设，并确定的值；
（2）由题设有，讨论集合，并利用一元二次方程根与系数关系、判别式求的取值范围.
【详解】（1），
因为命题：“，都有”是真命题，所以，
因为，
所以当时，，则，即；
当时，，显然是的真子集.
综上，或.
（2）由可得，
当时，，即；
当时，，无解；
当时，，无解；
当时，，解得；
综上，的取值范围或.
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