人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数当堂检测题，文件包含443《不同函数增长的差异》专题练习参考答案docx、443《不同函数增长的差异》专题练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。

1.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A.y＝0.2x B.y＝110(x2＋2x) C.y＝2x10 D.y＝0.2＋lg16x
解析:C 将x＝1,2,3,y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算.
2.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:
对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( )
A.y＝2x-2 B.y＝12x C.y＝lg2x D.y＝12(x2-1)
解析:D 法一:相邻的自变量之差从左到右依次大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐渐增加的,抛物线拟合程度最好,故选D.
法二:可以采用特殊值代入法,取某个x的值代入,再比较函数值是否与表中数据相符.可取x＝4,经检验易知选D.
3.有一组实验数据如表所示:
则下列所给函数模型适合的是( )
A.y＝lgax(a＞1) B.y＝ax＋b(a＞1)
C.y＝ax2＋b(a＞0) D.y＝lgax＋b(a＞1)
解析:C 由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A、D中的函数模型增长速度越来越慢,B中的函数模型增长速度保持不变,故选C.
4.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析:C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A;因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D;后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.
5.y1＝2x,y2＝x2,y3＝lg2x,当2＜x＜4时,有( )
A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y3＞y2 D.y2＞y3＞y1
解析:B 由题意可知,三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的,所以4＜y1＜16,4＜y2＜16,1＜y3＜2,所以y3最小,由函数y1,y2的图象可知,在区间(2,4)上,函数y2的图象恒在函数y1的图象上方,所以y2＞y1＞y3.
6.(多选)下面对函数f(x)＝lg12x与g(x)＝12x在区间(0,＋∞)上的衰减情况的说法中正确的有( )
A.f(x)的衰减速度越来越慢
B.f(x)的衰减速度越来越快
C.g(x)的衰减速度越来越慢
D.g(x)的衰减速度越来越快
解析:AC 在平面直角坐标系中画出y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示.由图象可知,f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度也越来越慢.故选A、C.
7.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1,＋∞)上增长较快的一个是 .
解析:当x变大时,x比ln x增长要快,∴x2要比xln x增长的要快.
答案:y＝x2
8.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2022年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年.(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
解析:设2022年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元,则y＝130(1＋12%)n.由130(1＋12%)n＞200,得1.12n＞2013,两边取对数,得n·lg 1.12＞lg 2-lg 1.3,∴n＞lg2-≈0.30-＝3.8,又n∈N*,∴n≥4,∴从2026年开始,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
答案:2026
9.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应 ;B对应 ;C对应 ;D对应 .
解析:A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器水高度变化快,与(3)对应,D容器水高度变化慢,与(2)对应.
答案:(4) (1) (3) (2)
10.某快捷酒店有150间标准客房,经过一段时间的试营业,得到每间标准客房的价格和客房的入住率的数据如下:
根据这些数据,要使该快捷酒店每天的营业额最高(入住率越高,营业额越高),应如何定价?
解:设入住率为y%,标准客房价格是x元,根据已知数据,得y＝kx＋b,
由160k＋b=55,100k＋b=85,解得k＝-12,b=135,即y＝-12x＋135,经检验,x＝140或x＝120时也符合.
令y＝100,-12x＋135＝100,x＝70,
此时入住率是100%,营业额最高.标准客房的定价为70元.
11.下列函数图象中,估计有可能用函数y＝a＋blg x(b＞0)来模拟的是( )
解析:C 由于函数y＝lg x在定义域内单调递增,且是上凸的,又b＞0,所以当x＞0时,y＝a＋blg x(b＞0)的图象是单调递增且上凸的.
12.如图所示,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽,水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是( )
解析:B 开始的一段时间,水槽底部没有水,烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢,与B图象相吻合.
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A,B两点,过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C.若AC平行于y轴,则点A的坐标是 .
解析:由题意设A(n,3n),B(m,3m),由9n＝32n＝3m得m＝2n,解得n＝m2,则Cm2,3m,Am2,3m2.又因为A,B,O三点共线,设直线AB对应的解析式为y＝kx(k＞0),则3m2＝k·m2,3m＝k·m,解得m＝2lg32,所以n＝lg32.所以点A的坐标为(lg32,2).
答案:(lg32,2)
14.假设有一套住房的房价从2012年的20万元上涨到2022年的40万元.下表给出了两种价格增长方式,其中P1是按直线上升的房价,P2是按指数增长的房价,t是2012年以来经过的年数.
(1)求函数P1＝f(t)的解析式;
(2)求函数P2＝g(t)的解析式;
(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.
解:(1)设f(t)＝kt＋b(k≠0),
则b=20,10k＋b=40⇒b=20,k=2.
∴P1＝f(t)＝2t＋20.
(2)设g(t)＝mat(a＞0,且a≠1),
则m=20,ma10=40⇒m=20,a＝102.
∴P2＝g(t)＝20×(102)t＝20×2t10.
(3)图象如图.
表格中的数据如下表所示:
由图象可以看出,在前10年,按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格,但10年后,P2价格增长速度很快,远远超出P1的价格并且时间越长,差别越大.
15.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y＝at(t≥0,a＞0且a≠1)的图象.
有以下叙述:①第4个月时,残留量就会低于15;②每月减少的有害物质质量都相等;③若残留量为12,14,18时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是 .
解析:根据题意,函数的图象经过点2,49,故函数解析式为y＝23t.当t＝4时,y＝1681＜15,故①正确;当t＝1时,y＝23,减少了13,当t＝2时,y＝49,减少了29,每月减少的有害物质质量不相等,故②不正确;分别令y＝12,14,18,解得t1＝lg2312,t2＝lg2314,t3＝lg2318,则t1＋t2＝t3,故③正确.
答案:①③
16.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标,准备制订一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3 000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)＝0.03x＋8,②f(x)＝0.8x＋200,③f(x)＝100lg20x＋50,x∈[3 000,9 000],试分析这三个函数模型是否符合公司要求;
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?
解:(1)由题意符合公司要求的函数f(x)在[3 000,9 000]上单调递增,且∀x∈[3 000,9 000],恒有f(x)≥100且f(x)≤x5.
对于①,函数f(x)＝0.03x＋8,当x＝3 000时,f(3 000)＝98＜100,不符合要求;
对于②,函数f(x)＝0.8x＋200为减函数,不符合要求;
对于③,函数f(x)＝100lg20x＋50在[3 000,9 000]上单调递增,且当x＝3 000时,f(3 000)＞100×lg203 000＋50≥100,
又因为f(x)≤f(9 000)＝100lg209 000＋50＜100·lg20160 000＋50＝450,而x5≥3 0005＝600,
所以当x∈[3 000,9 000]时,f(x)max≤（x5）min,所以f(x)≤x5恒成立.
因此,f(x)＝100lg20x＋50为满足条件的函数模型.
(2)由100lg20x＋50≥350得lg20x≥3,所以x≥8 000,
所以要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到8 000万元.
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
标准客房的价格/元
160
140
120
100
客房的入住率
55%
65%
75%
85%
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
40
P2/万元
20
40
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
30
40
50
60
P2/万元
20
202
40
402
80