2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.4.3　不同函数增长的差异

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)4.4.3　不同函数增长的差异，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
则下列函数中，与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)( B )
A．y＝a＋bx
B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b
D．y＝a＋eq \f(b,x)
解析：在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.
2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1
A B C D
3．若三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
则关于x分别呈函数y＝mlgax＋n，y＝pax＋q，y＝kxa＋t变化的变量依次是( B )
A．y1，y2，y3B． y3，y2，y1
C．y1，y3，y2D． y3，y1，y2
解析：对数型函数的增长速度越来越慢，y3随着变量x的变化符合此规律；指数型函数的增长速度越来越快，y2随着变量x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随着变量x的变化符合此规律．故选B．
4．若 y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，当2A．y1>y2>y3B． y2>y1>y3
C．y1>y3>y2D． y2>y3>y1
解析：由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，所以4y1>y3.
5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( C )

A B C D
解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B．
二、多项选择题
6．已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝x3，下列关于这三个函数的描述中，当x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上逐渐增大时，下列说法正确的是( BD )
A．y1的增长速度越来越快
B．y2的增长速度越来越快
C．y3的增长速度一直快于y1
D．y3的增长速度有时慢于y2
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x，y2＝x2，y3＝x3的图象，如图所示，
由图可知y1＝x的增长速度没有变，所以A错误，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上y2＝x2的增长速度越来越快，所以B正确，由图可知在(0，1)上y3的增长速度最慢，而在(1，＋∞)上y3的增长速度最快，所以C错误，D正确，故选BD．
7．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，g(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x，h(x)＝x－eq \f(1,2)，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上( ABC )
A．f(x)递减速度越来越慢
B．g(x)递减速度越来越慢
C．h(x)递减速度越来越慢
D．g(x)的递减速度慢于h(x)递减速度
解析：根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x递减速度越来越慢，故A正确；g(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x递减速度越来越慢，故B正确；h(x)＝x－eq \f(1,2)递减速度越来越慢，故C正确；h(x)的递减速度慢于g(x)递减速度，故D错误．故选ABC．
三、填空题
8．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝eq \f(1,2)(x2－1)；③y＝lg2x；④y＝2x.其中最接近的一个是④.(只填序号)
解析：
由表格数据可知其中最接近的一个是④y＝2x.
9．函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的是y＝x2.
解析：作出y＝x2与y＝ln x的图象(图略)，通过比较图象可得．
10．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年总产量增长的速度越来越快；
②前三年总产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后年产量保持不变．
其中说法正确的序号是②③.
解析：由图可知，前三年总产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的总产量保持不变，即第三年后停产，故④错误，③正确．
四、解答题
11．下图1为世界各洲在一段时间内人口数量随时间变化的曲线，这些曲线描述的人口变化规律与图2中的曲线有何不同？试分析原因．
解：图1中除欧洲外人口数量随时间都是呈增长趋势，非洲增长较快，与图中相对应的直线比较，除欧洲、非洲外人口数量随时间增长缓慢；但图2人口数量随时间呈陡增趋势，与实际人口数量变化情况相差较大，说明图2是预测的人口数量变化情况，原因是由于受实际经济和资源等各方面的原因，世界实际人口数都在受到主观控制．
12．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，要求如下：(1)函数的图象接近图示；(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0))；②y＝k•1.2x＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0))；③y＝klg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,15)＋2))＋neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0)).
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟．(结果保留整数)
解：(1)对于模型①，当k>0时，匀速增长；
对于模型②，当k>0时，先慢后快增长；
对于模型③，当k>0时，先快后慢增长．
从题图可知应选择先快后慢增长的函数模型，故选y＝klg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,15)＋2))＋n.
(2)将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30，3))代入解析式得到
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋n＝0，,klg24＋n＝3，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋n＝0，,2k＋n＝3，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝3，,n＝－3，))
即y＝3lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,15)＋2))－3.
当x＝90时，y＝3lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋2))－3＝6，满足每天得分最高不超过6分的条件．
所以函数的解析式为y＝
3lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,15)＋2))－3(0≤x≤90)．
(3)由y＝3lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,15)＋2))－3≥4.5，lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,15)＋2))≥2.5＝lg22eq \s\up6(\f(5,2))，得eq \f(x,15)＋2≥2eq \s\up6(\f(5,2))＝4eq \r(2)≈5.657，得x≥54.855，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟．
13．在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由实验数据得到下面散点图．由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是( B )
A．y＝a＋bxB． y＝a＋bx
C．y＝a＋lgbxD． y＝a＋eq \f(b,x)
解析：由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．故选B．
14．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为③④⑤.
解析：f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)的图象如图：
当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，∴①不正确；
当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，∴②不正确；
对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当01时，丁走在最后面，∴③正确；
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，④正确．
指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴⑤正确．
15．某汽车制造商在2023年年初公告：公司计划2023年生产汽车43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：
如果我们分别将2020，2021，2022，2023定义为第1，2，3，4年．现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a•bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y(万辆)与第x年的关系？
解：建立年产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．
①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝7，,c＝0，))
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1万辆．
②构造指数函数模型g(x)＝a•bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点的坐标代入，可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(125,3)，,b＝\f(6,5)，,c＝－42，))
则g(x)＝eq \f(125,3)•eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))eq \s\up12(x)－42，
故g(4)＝eq \f(125,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))eq \s\up12(4)－42＝44.4，
与计划误差为1.4万辆．
由①②可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系．
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
x
2
2.99
4
5
6.002
y
4
8.02
15.99
32
64.01
x
2
2.99
4
5
6.002
y
4
8.02
15.99
32
64.01
①y＝2x
4
5.98
8
10
12.004
②y＝eq \f(1,2)(x2－1)
1.5
3.97
7.5
12
17.51
③y＝lg2x
1
1.58
2
2.32
2.59
④y＝2x
4
7.94
16
32
64.09
年份(年)
2020
2021
2022
产量(万辆)
8
18
30