高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数导学案及答案

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一．学习目标
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义（重点）
3.能根据具体问题选择合适的函数模型（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习不同函数增长的差异
三．课堂导学
1859年,有人从欧洲带进澳大利亚几只兔子,由于澳大利亚有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已.他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气.
问题 想想看,澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只?

知识点 三种常见函数模型的增长差异
提醒 三种函数模型的再理解:①当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型;②当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型.
1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝2x D.y＝e-x
答案:A
2.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更有前途的生意是( )
A.y＝10×1.05x B.y＝20＋x1.5 C.y＝30＋lg(x-1) D.y＝50
解析:A 由于给出的指数型函数的底数大于1,且系数为正数,则其增长速度随着时间的推移越来越快,所以y＝10×1.05x是更有前途的生意.故选A.
四．典例分析、举一反三
题型一 几类函数模型增长的差异
【例1】(1)下列函数中,增长速度最快的是( )
A.y＝2 023x B.y＝x2 023 C.y＝lg2 023x D.y＝2 023x
(2)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2
解析 (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快.
(2)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较,指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格可知,y1是幂函数型函数,y2是指数型函数,y3是对数型函数,故选C.
答案 (1)A (2)C
练1-1. 下列函数中,增长速度越来越慢的是( )
A.y＝6x B.y＝lg6x C.y＝x2 D.y＝6x
解析:B D中一次函数的增长速度不变;A、C中函数的增长速度越来越快;只有B中对数函数的增长速度越来越慢,符合题意.
题型二 几类函数模型的比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1＜x2.
(1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)结合函数图象示意图,判断f(6),g(6),f(2 023),g(2 023)的大小.
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3,C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10),
所以1＜x1＜2,9＜x2＜10,所以x1＜6＜x2,2 023＞x2,
从图象上可以看出当x1＜x＜x2时,f(x)＜g(x),所以f(6)＜g(6);
当x＞x2时,f(x)＞g(x),所以f(2 023)＞g(2 023);
又因为g(2 023)＞g(6),所以f(2 023)＞g(2 023)＞g(6)＞f(6).
练2-1. 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x-1的图象如图所示:
(1)指出曲线C1,C2分别对应题中哪一个函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
解:(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x-1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0,x1)时,g(x)＞f(x);当x∈(x1,x2)时,g(x)＜f(x);当x∈(x2,＋∞)时,g(x)＞f(x).
题型三 函数模型的选择问题
某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?
解 根据题意可列方程组
f(1)＝a＋b＋c=100,f(2)=4a+2b＋c=120,f(3)=9a+3b＋c=130.解得a＝-5,b=35,c=70.所以y＝f(x)＝-5x2＋35x＋70. ①
同理y＝g(x)＝-80×0.5x＋140. ②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝-5×42＋35×4＋70＝130(t),g(4)＝-80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比①式更好,故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.
练3-1. 某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a,b为常数,a＞0且a≠1)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.
解:将(1,50),(2,52)分别代入两解析式得
50=a＋b,52=2a＋b,50=a＋b,52=a2＋b.(a＞0且a≠1)解得a=2,b=48(两方程组的解相同).
所以两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时,对于y＝2x＋48有y＝54;
对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大,所以选函数y＝ax＋b模拟较好.
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.下列函数中,在(0,＋∞)上增长速度最快的是( D )
A.y＝x2 B.y＝lg2x C.y＝2x D.y＝2x
2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:
则对x,y最适合的拟合函数是( )
A.y＝2x B.y＝x2-1 C.y＝2x-2 D.y＝lg2x
解析:D 将x＝0.50代入计算,可以排除A;将x＝2.01代入计算,可以排除B、C.故选D.
3.某人投资x元,获利y元,有以下三种方案:甲:y＝0.2x,乙:y＝lg2x＋100,丙:y＝1.005x,则投资500元,1 000元,1 500元时,应分别选择 方案.
解析:将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出.
答案:乙、甲、丙
4.已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为 .
解析:在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)＞g(x).
答案:f(x)＞g(x)
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字 函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝lgax(a＞1)
y＝kx(k＞0)
在(0,＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
增长速度不变
形象描述
指数爆炸
对数增长
直线上升
增长速度
y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过 y＝kx(k＞0) 的增长速度;总存在一个x0,当x＞x0时,恒有lgax＜kx
增长结果
存在一个x0,当x＞x0时,有 ax＞kx＞lgax
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 635
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
月份
1
2
3
月产量(千件)
50
52
53.9
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00