数学必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）达标测试

课时素养评价  三十六

不同函数增长的差异

(15分钟　30分)

1.以下四种说法中，正确的是 (　　)

A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B.对任意的x>0，xn>logax

C.对任意的x>0，ax>logax

D.不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax

【解析】选D.对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B、C，当0<a<1时，显然不成立；对于D，当a>1，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立.

2.向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为              (　　)

【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长，后不变，符合B中容器的形状.

【补偿训练】

　　某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的大致图象是图中的              (　　)

【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%；经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2；…；经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0)，即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1，根据指数函数的图象，可知D选项正确.

3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：t)的影响，对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1，2，…，6)进行整理，得数据如表所示：

根据表中数据，下列函数中，适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是              (　　)

A.y=0.5(x+1)    B.y=log3x+1.5

C.y=2x-1      D.y=2

【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略)，观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数，代入数值验证，也较为符合.

4.某学校开展研究性学习活动，一组同学得到表中的实验数据：

现有如下4个模拟函数：

①y=0.58x-0.16；②y=2x-3.02；

③y=x2-5.5x+8；④y=log2x.

请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_______. 

【解析】画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.

答案：④

5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象，并比较两者在[0，+∞)上的大小关系.

【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.

根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；

当x=4时，f(x)=g(x)；

当x>4时，f(x)<g(x).

(20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是              (　　)

A.一次函数模型 

B.二次函数模型

C.指数函数模型 

D.对数函数模型

【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型.

2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是              (　　)

A.y=ax+b    B.y=ax2+bx+c

C.y=a·ex+b   D.y=aln x+b

【解析】选B.由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.

3.下面对函数f(x)=lox，g(x)=与h(x)=-2x在区间(0，+∞)上的递减情况说法正确的是              (　　)

A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢

B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快

C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变

D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快

【解析】选C.观察函数f(x)=lox，g(x)=与h(x)=-2x在区间(0，+∞)上的图象(如图)可知：

函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，+∞)上，递减较慢，且越来越慢；函数g(x)的图象在区间(0，+∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有              (　　)

【解析】选BCD.由题图知，当t=6时，C(t)=0，故C不正确；

当t=12时，C(t)=10，故D不正确；

在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃，故B不正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y=at(t≥0，a>0且a≠1)的图象.

有以下说法：

①第4个月时，残留量就会低于；

②每月减少的有害物质质量都相等；

③当残留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3.

其中所有正确说法的序号是_______. 

【解析】由于函数的图象经过点，

故函数的解析式为y=.

当t=4时，y=<，故①正确；

当t=1时，y=，减少，

当t=2时，y=，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；

分别令y=，，，

解得t1=，t2=，t3=，t1+t2=t3，故③正确.

答案：①③

6.某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系，你认为符合的函数模型是_______，根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为_____米. 

【解析】据表中数据作出散点图如图：

由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理.

将(2，1)代入到h=loga(t+1)中，得1=loga3，解得a=3，即h=log3(t+1).

当t=8时，h=log3(8+1)=2，

故可预测第8年松树的高度为2米.

答案：h=loga(t+1)　2

四、解答题

7.(10分)若不等式3x2<logax在x∈内恒成立，求实数a的取值范围.

【解题指南】原不等式等价于3x2<logax，将不等式两边分别看成两个函数，作出它们的图象，研究a的取值范围.

【解析】由题意，知3x2<logax在x∈内恒成立，

当x∈时，若a>1，则函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方，所以a>1不成立；

当0<a<1时，y=logax的图象必过点A或在这个点的上方，则loga≥，

所以a≥，所以≤a<1.

综上，a的取值范围是.

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