人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案设计

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1.结合学过的函数图象与性质,了解函数零点与方程解的关系（重点）
2.了解函数零点存在定理,会判断函数零点的个数（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习函数的零点与方程的解
三．课堂导学
路边有一条河,小明从A点走到了B点.
问题 观察两组图,并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河?
知识点一 函数的零点
1.概念:使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的实数解的关系:
提醒 (1)函数的零点是实数,而不是点.如函数f(x)＝x＋1的零点是-1,而不是(-1,0);(2)并不是所有的函数都有零点,如函数f(x)＝1x,y＝x2＋1均没有零点;(3)若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.
知识点二 函数零点存在定理
1.条件:函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 f(a)f(b)＜0 .
2.结论:函数y＝f(x)在区间(a,b)内 至少有一个 零点,即 存在c∈(a,b) ,使f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解.
1.函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,f(a)f(b)＜0时,能否判断函数在区间(a,b)上的零点个数?
提示:只能判断有无零点,不能判断零点的个数.
2.函数y＝f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有f(a)·f(b)＜0?
提示:不一定,如f(x)＝x2在区间(-1,1)上有零点0,但是f(-1)f(1)＝1×1＝1＞0.
1.函数f(x)＝2x2-3x＋1的零点是( )
A.-12,-1 B.12,1 C.12,-1 D.-12,1
解析:B 方程2x2-3x＋1＝0的两根分别为x1＝1,x2＝12,所以函数f(x)＝2x2-3x＋1的零点是12,1,故选B.
2.函数f(x)＝x3-3x-3有零点的区间是( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
解析:D 因为f(2)＝8-6-3＝-1＜0,f(3)＝27-9-3＝15＞0,所以f(2)f(3)＜0,所以D正确.
3.已知函数f(x)＝-2x＋m的零点为4,则实数m的值为 .
解析:f(x)＝-2x＋m的零点为4,所以-2×4＋m＝0,m＝8.
答案:8
四．典例分析、举一反三
题型一 求函数的零点
【例1】(1)求函数f(x)＝x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零点;
(2)已知函数f(x)＝ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)＝bx2＋ax的零点.
解 (1)当x≤0时,令x2＋2x-3＝0,解得x＝-3;
当x＞0时,令-2＋ln x＝0,解得x＝e2.
所以函数f(x)＝x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零点为-3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0,即3a-b＝0,则b＝3a,
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).
令g(x)＝0,即ax(3x＋1)＝0,
解得x＝0或x＝-13.
所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和-13.
练1-1. 函数f(x)＝x+1,x≤0,lg2x,x>0的所有零点构成的集合为( )
A.{1} B.{-1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}
解析:C 当x≤0时,f(x)＝x＋1＝0⇒x＝-1;当x＞0时,f(x)＝lg2x＝0⇒x＝1,所以函数f(x)的所有零点构成的集合为{-1,1}.
题型二 函数零点所在区间问题
【例2】 f(x)＝ex＋x-2的零点所在的区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
解析 法一:∵f(0)＝-1＜0,f(1)＝e-1＞0,∴f(x)在(0,1)内有零点.
法二:ex＋x-2＝0,即ex＝2-x,∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2-x的图象交点的横坐标所在的区间.如图,由图象可得函数y＝ex和y＝2-x的图象交点所在的区间为(0,1).
答案 C
练2-1. (1)函数f(x)＝2x-1x的零点所在的区间是( )
A.0,12 B.12,1 C.1,32 D.32,2
解析:B ∵f12＝2-2＜0,f(1)＝2-1＝1＞0,∴f12f(1)＜0,∴函数的零点所在的区间是12,1.
(2).已知函数f(x)＝2ax-a＋3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)＝0,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(1,＋∞) B.(-∞,-3)
C.(-3,1) D.(1,＋∞)
解析:A 当a＝0时,f(x)＝3,不合题意,当a≠0时,由题意知f(-1)·f(1)＜0,即(-3a＋3)(a＋3)＜0,解得a＜-3或a＞1,故选A.
题型三 函数零点个数问题
【例3】函数f(x)＝x2+2x-3,x≤0,x-2+lnx,x>0的零点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析 当x≤0时,令f(x)＝0,即x2＋2x-3＝0,解得x1＝-3,x2＝1(舍去).当x＞0时,令f(x)＝0,即x-2＋ln x＝0,即ln x＝-x＋2.在同一直角坐标系中作出两函数y＝ln x与y＝-x＋2(x＞0)的图象,如图,由图可知两图象只有一个交点.综上可知,函数f(x)的零点个数为2.
【例4】 已知函数f(x)＝ex＋a,x≤0,3x-1,x>0(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,0) C.(-1,0) D.[-1,0)
解析 当x＞0时,f(x)＝3x-1有一个零点x＝13.因此当x≤0时,f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根,∴a＝-ex(x≤0),则-1≤a＜0.
答案 D
练3-1. 1.函数f(x)＝x+2,x<0,x2-1,x>0的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:C 方程x＋2＝0(x＜0)的根为x＝-2,方程x2-1＝0(x＞0)的根为x＝1,所以函数f(x)有2个零点:-2与1.
2.若函数f(x)＝｜2x-2｜-b有两个零点,则实数b的取值范围为 .
解析:由f(x)＝｜2x-2｜-b＝0,得｜2x-2｜＝b.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝｜2x-2｜与y＝b的图象,如图所示.则当0＜b＜2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)＝｜2x-2｜-b有两个零点.
答案:(0,2)
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.函数f(x)＝x2-8x＋16的零点是( )
A.(0,4) B.(4,0) C.4 D.8
解析:C 由f(x)＝x2-8x＋16＝0,得x＝4,所以函数f(x)＝x2-8x＋16的零点是4,故选C.
2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A.(-∞,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析:C 由表可知f(1)f(2)＞0,f(2)f(3)＜0,f(3)f(4)＞0,由函数零点存在定理可知f(x)一定存在零点的区间是(2,3).故选C.
3.对于函数f(x),若f(-1)f(3)＜0,则( )
A.方程f(x)＝0一定有一实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实根
D.方程f(x)＝0可能无实数解
解析:D ∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,故尽管有f(-1)f(3)＜0,但方程f(x)＝0在(-1,3)上可能无实数解.
4.函数f(x)＝(x-1)(x2＋3x-10)的零点有 个.
解析:∵f(x)＝(x-1)(x2＋3x-10)＝(x-1)·(x＋5)(x-2),∴由f(x)＝0得x＝-5或x＝1或x＝2.
答案:3
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字x
1
2
3
4
f(x)
6.1
2.9
-3.5
-1