数学必修 第一册4.4 对数函数随堂练习题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.4.3　不同函数增长的差异

1.B　[解析] 由题意得从2014年到2021年该地区农民的人均年收入的年平均增长率为6%,故2021年年底该地区农民的人均年收入为3000×1.067元.故选B.

2.B　[解析] 把x=1,2,3,4代入,只有y=2x的值最接近表格中的对应值,故选B.

3.D　[解析] 由图可知,投资3天以内(含3天)方案一的回报最多,故A中说法正确;由图可知投资4天,方案一、方案二的回报都比方案三多,故B中说法正确;投资6天,方案一的回报约为40×6=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元),所以方案一的回报比方案二多,由图可知方案一的回报比方案三多,故C中说法正确;投资12天,根据图像的变化可知,方案三的回报最多,所以采用方案三,故D中说法错误.故选D.

4.A　[解析] 根据指数函数的单调性得,当x∈(1,2)时,y=2x∈(2,4);根据幂函数的单调性得,当x∈(1,2)时,y=∈(1,);根据对数函数的单调性得,当x∈(1,2)时,y=lg x∈(0,lg 2).因为lg 2<lg 10=1,<2,所以2x>>lg x,故选A.

5.D　[解析] 当0<x<1或x>2时,y1>y2;当1<x<2时,y1<y2;当x=1或x=2时,y1=y2.

6.B　[解析] 由题意知符合公司要求的函数模型需满足以下条件:当x∈[4,10]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过2;③y≤0.5x.对于A,y=0.4x满足①,但当x>5时,y>2,不满足条件②;对于B,y=lg x+1满足条件①,当x=10时,y取得最大值2,满足条件②,作出函数y=lg x+1和函数y=0.5x的图像(图略),由图可知该函数满足条件③,故B符合题意;对于C,y=x0.5满足条件①,但当x>4时,y>2,不满足条件②;对于D,y=1.125x满足条件①,但当x>log1.1252时,y>2,不满足条件②.故选B.

7.D　[解析] 对于A,一次函数在变量x有相同增量时,函数值的增量不变,故A不符合题意;对于B,函数y=ax2+b在x增加时,y也增加,增长速度越来越快,故B不符合题意;对于C,指数型函数的函数值随着x的增加,增长速度越来越快,故C不符合题意;对于D,函数y=klogax+b,y随着x的增大而增大,而且函数值随着x的增加,增长速度越来越慢,故D符合题意.故选D.

8.BD　[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数y1=x2,y2=2x,y3=x的图像,如图所示.

在[0,+∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1,故A错误,B正确;对于C,当x∈(0,+∞)时,y1的增长速度不是一直快于y3的,故C错误;对于D,当x∈(0,+∞)时,y2的增长速度有时快于y1,故D正确.故选BD.

9.①　[解析] ①中指数函数的底数大于1,其增长速度随着时间的推移越来越快,当x足够大时,其余函数的增长速度都小于①中的函数的增长速度,所以更有前途的投资方案是①.

10.2ln 2　16　[解析] 设病菌原来有1个,则30分钟后繁殖为2个,则2=,解得k=2ln 2,所以y=et·2ln 2,则当t=2时,y=e4ln 2=(eln 2)4=24=16.

11.乙、甲、丙　[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数y=0.2x,y=log2x+100,y=1.005x的图像,如图所示,同时画出直线x=500,x=1000,x=1500,直线x=500,x=1000,x=1500与函数图像交点的纵坐标即为投资500元、1000元、1500元时的利润,由图可知,投资500元、1000元、1500元时应分别选择乙、甲、丙方案.

12.(1)(2)(3)　[解析] 观察图像,易知(1)正确;因为骑摩托车者运动的路程与时间的函数图像是直线,所以骑摩托车者是匀速运动的,故(2)正确;由图知两函数图像的交点的横坐标为4.5,故(3)正确.

13.解:由指数函数、对数函数、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.

由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x),

1对应的是g(x)和h(x)图像交点的横坐标;

当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x),

e对应的是f(x)和g(x)图像交点的横坐标;

当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x),

a对应的是f(x)和h(x)图像交点的横坐标;

当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x),

b对应的是g(x)和h(x)图像交点的横坐标;

当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x),

c对应的是f(x)和g(x)图像交点的横坐标;

当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x),

d对应的是f(x)和h(x)图像交点的横坐标;

当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).

14.解:(1)随着x的增大,各函数的函数值都在增大.

(2)随着x的增大,f1(x)=2x的增长速度越来越快;f2(x)=2x+7均匀增长;f3(x)=log2x的增长速度越来越慢.

15.BCD　[解析] 根据图像可知,函数图像过点(1,1),(2,3),所以解得所以y=×3t=3t-1.对于A,由y=3t-1可知,浮萍每月增加的面积不相等,故A错误;对于B,当t=4时,y=34-1=27>25,故B正确;对于C,当t=5时,y=35-1=81<100,当t=6时,y=36-1=243>100,故C正确;对于D,依题意得=10,=20,=40,所以t1-1=log310,t2-1=log320,t3-1=log340,所以t1=1+log310,t2=1+log320,t3=1+log340,所以t1+t3=2+log310+log340=2+log3400=2+log3202=2+2log320=2t2,故D正确.故选BCD.

16.④　①　③　②　[解析] A容器下粗上细,水的高度的变化先慢后快,故与图④对应;B容器由下到上,先变粗,再变细,水的高度的变化为快—慢—快,故与图①对应;C,D容器上下一样粗,水的高度的变化是均匀的,但C容器比较细,D容器比较粗,故水的高度的变化速度快的为C容器,与图③对应,变化速度慢的为D容器,与图②对应.

17.解:由题意得

即解得

所以甲得到的函数为y1=x2-x+52.

由题意得②-①得p·q2-p·q1=2④,③-②得p·q3-p·q2=4⑤,⑤÷④得q=2,

将q=2代入④,得p=1,

将q=2,p=1代入①,得r=50,

所以乙得到的函数为y2=2x+50.

当x=4时,y1=64,y2=66;

当x=5时,y1=72,y2=82;

当x=6时,y1=82,y2=114.

故乙选择的模型较好.