人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示优秀一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示优秀一课一练，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：eiθ=csθ+isinθθ∈R，其中i为虚数单位，e是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被兴为“数学中的天桥”.下列说法正确的是
( )
A. eix+1=0B. 12+ 32i3=1
C. eiπ 3+i的模长为12D. sinx=eix+e−ix2
2.棣莫弗公式csx+i⋅sinxn=csnx+i⋅sinnx(其中i为虚数单位，n为实数)是由法国数学家棣莫弗(1667−1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数csπ3+i⋅sinπ34在复平面内所对应的点位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下eiθ=csθ+isinθ，被誉为“数学中的天桥”，据此(csπ6+isinπ6)6( )
A. 1B. −1C. 0D. −i
4.欧拉公式eiθ=csθ+isinθ(其中e=2.718⋯，θ∈R，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是
( )
A. eiπ的实部为0B. e2i在复平面内对应的点在第一象限
C. |eiθ|=1D. eiπ的共轭复数为1
5.数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式eix=csx+isinx，(其中i是虚数单位，e是自然对数的底数，x∈R)，这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是( )
A. eiπ−1=0B. 2csx=e−ix+eix
C. 2sinx=eix−e−ixD. ( 22+ 22i)2022=−1
6.欧拉公式eiθ=csθ+isinθ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则eiθ−2i的最小值等于
( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
7.1748年瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并得到著名的“欧拉公式”:eix=csx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，给出下列四个结论： ①eiπ+1=0; ②(12+ 32i)2022=1; ③2csx=eix+e−ix; ④2sinx=eix−e−ix.其中所有正确结论的编号是( )
A. ① ② ③B. ② ④C. ① ②D. ① ③
8.关于复数的运算，错误的是( )
A. 1rcsθ+isinθ=1r−csθ−isinθB. z1z2=z1z2
C. z1+z22+z1−z22=2z12+2z22D. (z1z2)=z1z2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=12+ 32i，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是
( )
A. z+z=1B. z2=z
C. z是方程x2−x+1=0的一个根D. 满足zn∈R最小正整数n为3
10.欧拉公式eix=cs x+isin x(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数中占有非常重要的地位，它被誉为“数学中的天桥”，当x=π时，eπi+1=0被称为数学上的“优美公式”，根据此公式可知，下面结论中正确的是
( )
A. |eix|=1B. csx=eix+e−ix2
C. csx=eix−e−ix2D. e2i在复平面内对应的点位于第二象限
11.已知复数z=csθ+isinθ(−π2<θ<π2)(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. 复数z在复平面上对应的点可能落在第四象限
B. |z|=csθ
C. z⋅z=1
D. z+1z为实数
12.若复数z=1+i，则下列说法正确的是
( )
A. zz是纯虚数B. z的三角形式为 2csπ4+isinπ4
C. 复数1+3iz对应的点在第四象限D. z−2z= 10
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数csθ和sinθ联系在一起，得到公式eiθ=csθ+isinθ，这个公式被誉为“数学的天桥”，若θ∈[0,2π)，则θ称为复数eiθ的辐角主值．根据该公式，可得e3iπ的辐角主值为 ．
14.莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式，其中i是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把1+i化成指数式为 ．
15.(12+ 32i)÷[3(cs120∘−isin300∘)]= ．
16.复数z1=2−i，|z2|=2，则|z2−z1|的最大值是 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知复数z满足(z+1)(z+1)=|z|2，且z−1z+1是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z的辐角的主值．
18.(本小题12分)
把复数z1与z2对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，与向量OM重合且模相等，已知z2=−1− 3i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值．
19.(本小题12分)
已知复数z1的模为1，辐角θ1为锐角，且csθ1=35.复数z2的模为5，辐角θ2为0，且z=z1⋅z2．
(1)求复数z的代数形式;
(2)在复平面内，O为坐标原点，向量OA，OB对应的复数分别是z，c+(2−c)i，若∠AOB是直角，求实数c的值．
20.(本小题12分)
已知复数z= (m+3)−(m+1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位．
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m=−2时，求复数z的三角表示式;
(3)若在复平面内，向量OZ对应(2)中的复数z，把OZ绕点O顺时针方向旋转60∘得到OZ1，求向量OZ1对应的复数z1(结果用代数形式表示)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了复数的三角表示式及复数的乘法运算，复数的模及其几何意义，属于中档题．
根据欧拉公式，eix+1=csx+isinx+1不一定为0，可以判断A，结合复数的运算法则化简，可以判断B，eiπ 3+i=cs π+isin π 3+i，化简，结合复数的模的计算，可以判断C，eix+e−ix2=cs x+isin x+cs (−x)+isin (−x)2，化简可以判断D．
【解答】
解：对于A，由eiθ=csθ+isinθ，
得eix+1=csx+isinx+1不一定为0，故A错误；
对于B，12+ 32i3=12+ 32i212+ 32i=−12+ 32i12+ 32i= 32i2−14=−1，
故B错误；
对于C，eiπ 3+i=csπ+isinπ 3+i=−1 3+i=− 34+14i，
所以eiπ 3+i的模长为 − 342+142=12，故 C正确；
对于D，eix+e−ix2=csx+isinx+cs−x+isin−x2=csx，故 D错误．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的三角表示式，复数的代数表示及其几何意义，是中档题．
由棣莫弗公式对复数化简可得答案．
【解答】
解：由已知得 csπ3+i⋅sinπ34=cs4π3+i⋅sin4π3=−12− 32i ，
所以复数 csπ3+i⋅sinπ34 在复平面内所对应的点的坐标为 −12,− 32 ，位于第三象限．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的三角形式及其运算，是基础题．
由题意结合所给的公式，结合三角函数运算化简即可得出答案．
【解答】
解：(cs π6+isin π6)6=(eiπ6)6=eiπ=cs π+isin π=−1，
故选B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类，复数的模及其几何意义，共轭复数，复数的代数表示及其几何意义、复数的三角表示式，属于中档题．
根据题意写出复数的代数形式并运用任意角的三角函数及复数的几何意义，共轭复数，复数的模逐一判定各选项即可．
【解答】
解：对于A， eiπ=csπ+isinπ=−1，eiπ的实部为−1，故A错误;
对于B， e2i=cs2+isin2，因为π2<2<π，
所以 cs2<0， sin2>0，所以复数 e2i对应的点位于第二象限，故B错误；
对于C， eiθ=csθ+isinθ,eiθ=csθ+isinθ= cs2θ+sin2θ=1, 故C正确；
对于D，eiπ的共轭复数为−1，故D错误．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查欧拉公式，考查学生的运算能力，属于基础题．
根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解．
【解答】
解：对于A，eiπ=csπ+isinπ=−1，所以eiπ−1=−1−1=−2，故A不正确；
对于B，eix=csx+isinx，e−ix=cs(−x)+isin(−x)=csx−isinx，
所以e−ix+eix=2csx，故B正确；
对于C，eix=csx+isinx，e−ix=cs(−x)+isin(−x)=csx−isinx，
所以eix−e−ix=2isinx，故C不正确；
对于D,( 22+ 22i)2022=(csπ4+isinπ4)2022=(eπ4i)2022=cs2022π4+isin2022π4
=−csπ2−isinπ2=−i，故D不正确．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查复数的三角形式，欧拉公式，复数的模及其几何意义，考查计算能力，属于基础题．
根据复数的求模公式得出 eiθ−2i= 5−4sinθ ，结合 −1≤sinθ≤1 即可得解．
【解答】
解：由题意知 eiθ−2i=csθ+sinθ−2i= cs2θ+sinθ−22= 5−4sinθ ，
所以当 sinθ=1 时， eiθ−2i 取得最小值1．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，属于基础题．
根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项．
【解答】
解：由eix=csx+isinx，
①eiπ=csπ+isinπ=−1，所以eiπ+1=0，故①正确;
②(12+ 32i)2022=(cs π3+isin π3)2022=(eπ3i)2022=e674πi=cs674π+isin674π=1，故②正确;
③eix=csx+isinx，e−ix=cs(−x)+isin(−x)=csx−isinx，
所以eix+e−ix=2csx，故③正确;
④eix−e−ix=2isinx，故④错误．
故正确的为①②③．
故选A．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算以及共轭复数与模的计算公式，属于中档题．
运用复数的四则运算以及共轭复数与模的计算公式即可判断每个选项的正确性．
【解答】
解：对于A:1r(csθ+isinθ)=csθ−isinθr(cs2θ−i2sin2θ)=1r(csθ−isinθ)，故 A错误;
对于B:设z1=a+bi，z2=c+di，(a、b、c、d∈R)，
∴z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2=ac+dbc2+d2+bc−adc2+d2i，
∴|z1z2|= (ac+bdc2+d2)2+(bc−adc2+d2)2= a2c2+2acbd+b2d2+b2c2−2bcad+a2d2(c2+d2)2= (a2+b2)(c2+d2)(c2+d2)2= a2+b2c2+d2= a2+b2 c2+d2=|z1||z2|，故B正确;
对于C:设z1=a+bi，z2=c+di，(a、b、c、d∈R)，
|z1+z2|2+|z1−z2|2=(a+c)2+(b+d)2+(a−c)2+(b−d)2=2(a2+c2+b2+d2)=2(a2+c2)+2(b2+d2)=2|z1|2+2|z2|2，故C正确;
对于D:设z1=a+bi，z2=c+di，(a、b、c、d∈R)，
由z1z2=ac+dbc2+d2+bc−adc2+d2i，
∴(z1z2)=ac+dbc2+d2−bc−adc2+d2i，
z1z2=a−bic−di=(a−bi)(c+di)c2+d2=ac+bd−(bc−ad)ic2+d2=ac+dbc2+d2−bc−adc2+d2i，
∴(z1z2)=z1z2，故D正确．
故选A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查共轭复数的概念，考查复数的乘方运算，考查复数方程以及复数的三角表示，属于中档题．
由共轭复数的定义写出z，应用复数加法、乘方运算判断A、B；在复数域内求x2−x+1=0的根判断C；应用复数的三角表示有z=cs π3+isin π3，即可判断zn∈R最小正整数n判断D．
【解答】
解：由题设，z=12− 32i，则z+z=1，z2=(12+ 32i)2= 32i−12≠z，
所以A正确，B错误；
由x2−x+1=0可得x−122=−34=± 32i2，解得x=12± 32i，故z是该方程的一个根，C正确；
由z=12+ 32i=cs π3+isin π3，则zn=cs nπ3+isin nπ3，
故当n=2时，z2=−12+ 32i是虚数，
当n=3时，z3=−1∈R，所以满足zn为实数的最小整数n等于3，故D正确．
故选：ACD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查新定义和复数的代数表示及其几何意义、复数的模、复数的四则运算，属于中档题.
根据模的计算公式判断A；将−x代入，两个式子联立解方程判断BC；令x=2，则e2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cs2,sin2)，即可判断D．
【解答】
解：根据题意，|eix|=|cs x+isin x|=1，故A正确；
由 eix=cs x+isin x，
e−ix=cs(−x)+isin(−x)=csx−isinx，
∴ cs x=eix+e−ix2，故B正确，C错误；
依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为 (csx,sinx)，
故 e2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为 (cs2,sin2)，
因为 cs2<0,sin2>0，所以该点位于第二象限，故D正确．
故选：ABD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查复数的几何意义，复数模公式，以及共轭复数的概念，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
对于A，结合三角函数的取值，以及复数的几何意义，即可求解，对于B，结合复数模公式，即可求解，对于C，结合共轭复数的概念，以及复数的乘法法则，即可求解，对于D，结合复数的乘除法法则，即可求解．
【解答】
解：对于A，∵复数z=csθ+isinθ(−π2<θ<π2)(其中i为虚数单位)，
∴csθ>0，sin θ∈(−1,1)，
∴复数z在复平面上对应的点可能落在第四象限，故A正确，
对于B，∵z=csθ+isinθ，
∴|z|= cs2θ+sin2θ=1，故B错误，
对于C，z⋅z=(csθ+isinθ)(csθ−isinθ)=cs2θ+sin2θ=1，故C正确，
对于D，z+1z=csθ+isinθ+csθ−isinθ(csθ+isinθ)(csθ−sinθ)=csθ+isinθ+csθ−isinθ=2csθ为实数，故D正确．
故选：ACD．
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，共轭复数、复数的模，复数的三角形式，复数的几何意义，属于基础题．
由复数的运算和共轭复数判断A，根据 2(cs π4+isin π4)=1+i以及共轭复数判断B，根据复数的四则运算及复数的几何意义判断C，根据复数的模判断D．
【解答】
解：∵复数z=1+i，
∴zz=1+i1−i=1+i21−i1+i=2i2=i是纯虚数，故A正确，
2(cs π4+isin π4)=1+i，z=1−i，故B不正确，
复数1+3iz=1+3i1+i=1+3i1−i1+i1−i=4+2i2=2+i，对应的点为(2,1)，在第一象限，故C错误，
|z−2z|=1+i−21−i=−1+3i= −12+32= 10，故D正确．
故选AD．
13.【答案】π
【解析】【分析】
本题考查复数的三角表达式，属于中档题．
根据欧拉公式与复数的相关概念求解即可．
【解答】
解：因为 eiθ=csθ+isinθ ，
所以 e3iπ=cs3π+isin3π=csπ+isinπ ，
所以 e3iπ 的辐角主值为π ．
故答案为： π ．
14.【答案】 2eπ4i(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，属于中档题．
根据欧拉公式，由1+i化成指数式需满足tanθ=1求解．
【解答】
解：因为把1+i化成指数式需满足tanθ=1，
又eiθ=cs⁡θ+isin⁡θ，
如当θ=π4时，1+i= 2(cs⁡π4+isin⁡π4)= 2eπ4i，
故答案为： 2eπ4i(答案不唯一)
15.【答案】16− 36i
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，属于基础题．
由复数的四则运算结合三角函数的特殊值，计算可得结果．
【解答】
解：(12+ 32i)÷[3(cs120∘−isin300∘)]=(12+ 32i)÷[3( −12+ 32i)]
=1312+ 32i−12+ 32i=1312+ 32i(12+ 32i)(−12+ 32i)(12+ 32i)=13(14+ 32i−34)( 32i)2−(12)2=16− 36i．
16.【答案】 5+2
【解析】【分析】
本题考查了复数的几何意义及复数的基本运算，属于中档题．
将z2设为三角形式，结合复数z1的代数形式，代入|z2−z1|，化简后结合三角函数性质可求最大值即可．
【解答】
解：∵z1=2−i，|z2|=2，
设z2=2(csα+isinα)，
则z2−z1=(2csα−2)+(2sinα+1)i，
|z2−z1|2=(2csα−2)2+(2sinα+1)2
=4cs2α+4−8csα+4sin2α+4sinα+1
=9+4sinα−8csα=9+4 5sin(α−φ)，其中tanφ=2，
当sin(α−φ)=1时，|z2−z1|2取得最大值9+4 5，
从而得到|z2−z1|的最大值为 5+2．
故答案为 5+2．
17.【答案】解：(1)设z=x+yi(x,y∈R).
由(z+1)(z+1)=|z|2得zz+z+z+1=|z|2．
∵zz=|z|2，∴z+z+1=0，
∴z+z=−1，即2x=−1，解得x=−12.
由z−1z+1=−12+yi−1−12+yi+1=−32+yi12+yi=−32+yi12−yi14+y2=−34+y2+2yi14+y2是纯虚数，
得−34+y2=0且y≠0，
解得y=± 32， 所以z=−12± 32i．
(2)当z=−12+ 32i=cs⁡23π+isin⁡23π时，z的辐角的主值为2π3；
当z=−12− 32i=cs⁡43π+isin⁡43π时，z的辐角的主值为4π3．

【解析】本题考查复数运算，考查复数有关概念及复数的三角形式，属基础题，
(1)依题意，设z=x+yi(x,y∈R). 由(z+1)(z+1)=|z|2得z+z=−1，得x=−12．
由z−1z+1=−12+yi−1−12+yi+1=−34+y2+2yi14+y2是纯虚数得−34+y2=0，得y=± 32，即可求得z；
(2)将复数化为三角形式即可求得辐角的主值．
18.【答案】解：由复数的三角形式乘法的几何意义得
z1(csπ4+isinπ4)=z2(cs5π3+isin5π3)，
因为z2=−1− 3i=2(cs4π3+isin4π3)，
所以z1=2(cs4π3+isin4π3)⋅(cs5π3+isin5π3)csπ4+isinπ4
=2[cs(3π−π4)+isin(3π−π4)]
=2(cs3π4+isin3π4)=− 2+ 2i，
所以z1的辐角的主值为3π4．

【解析】本题考查复数的三角形式以及辐角有关概念及应用．
由题意得z1(csπ4+isinπ4)=z2(cs5π3+isin5π3)，结合z2=−1− 3i=2(cs4π3+isin4π3)，即可求得z1=− 2+ 2i，即可得解．
19.【答案】解：(1)∵复数z1的辐角θ1为锐角，且csθ1=35，
∴sinθ1=45．
又复数z1的模为1，
∴z1=csθ1+isinθ1=35+45i.
∵复数z2的模为5，辐角θ2为0，
∴z2=5(cs0+isin0)=5，
∵z=z1⋅z2，
∴z=5(35+45i)=3+4i．
(2)由题意，A，B，O的坐标分别为(3,4)，(c,2−c)，(0,0)，
∴OA=(3,4)，OB=(c,2−c)，
∵∠AOB是直角，
∴OA⋅OB=0，
∴3c+4(2−c)=0，
即c=8．

【解析】本题主要考查复数的几何意义以及运算，属于一般题．
(1)先求得z1=csθ1+isinθ1=35+45i，再得到z2=5(cs0+isin0)=5，然后求解即可;
(2)得到OA=(3,4)，OB=(c,2−c)，因为∠AOB是直角，所以OA⋅OB=0，即可求解c的值．
20.【答案】解：(1)因为复数z=(m+3)−(m+1)i在复平面内对应的点在第一象限，
所以m+3>0,−(m+1)>0,
解得−3所以实数m的取值范围为(−3,−1)．
(2)当m=−2时，z=1+i，所以r= 12+12= 2，csθ=sinθ=1 2= 22，
取θ=45∘，
所以z= 2(cs45∘+isin45∘).
(3)方法一(代数运算):根据题意得z= 1+i在复平面内对应的向量OZ=(1,1)，将其顺时针旋转60∘后得到向量OZ1，则z1=1+ics60∘+isin60∘=1+i1+ 3i2=1+ 32+1− 32i.
方法二(三角运算):根据题意得z=1+i在复平面内对应的向量OZ=(1,1)，将其顺时针旋转60∘后得到向量OZ1，
则z1= 2(cs45∘+isin45∘)cs60∘+isin60∘= 2[cs(45∘−60∘)+isin(45∘−60∘)]= 2(cs15∘− isin15∘).
又因为cs15∘= 6+ 24，sin15∘= 6− 24，
所以z1= 2( 6+ 24− 6− 24i)=1+ 32+1− 32i.

【解析】本题主要考查了复数的代数表示及其几何意义，复数的三角表示，复数的除法运算的三角表示及其几何意义的应用，
(1)根据已知及复数的代数表示及其几何意义的计算，求出实数m的取值范围;
(2)根据已知及复数的三角表示的计算，求出复数z的三角表示式;
(3)根据已知及复数的除法运算的三角表示及其几何意义的计算，求出向量OZ1对应的复数z1．