高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示精品课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示精品课堂检测，文件包含人教A版高中数学必修第二册同步培优讲义专题75复数的三角表示重难点题型精讲教师版doc、人教A版高中数学必修第二册同步培优讲义专题75复数的三角表示重难点题型精讲原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。


1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角 SKIPIF 1 < 0 来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )的形式.
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
SKIPIF 1 < 0 +2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 <2π范围内的辐角 SKIPIF 1 < 0 的值为辐角的主值.通常记作argz，即0 SKIPIF 1 < 0 argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 [ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )+i SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )]，
即 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 [ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )+i SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相乘时，可以像图那样，先分别画出与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后把向量 SKIPIF 1 < 0
绕点O按逆时针方向旋转角 SKIPIF 1 < 0 (如果 SKIPIF 1 < 0 <0，就要把 SKIPIF 1 < 0 绕点O按顺时针方向旋转角| SKIPIF 1 < 0 |)，再把它的模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示的复数就是积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .这是复数乘法的几何意义.

3．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )，且 SKIPIF 1 < 0 ≠ SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 [ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )+i SKIPIF 1 < 0
( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )]= SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 +i SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )，所以根据复数除法的定义，有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 [ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )+i SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相除时，先分别画出与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后把向量 SKIPIF 1 < 0 绕点O按
顺时针方向旋转角 SKIPIF 1 < 0 (如果 SKIPIF 1 < 0 <0，就要把 SKIPIF 1 < 0 绕点O按逆时针方向旋转角| SKIPIF 1 < 0 |)，再把它的模变为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示的复数就是商 SKIPIF 1 < 0 .这是复数除法的几何意义.
【题型1 求辅角主值】
【方法点拨】
求辅角主值时，要考虑角 SKIPIF 1 < 0 的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角
形式，再进行求解.
【例1】（2022秋·辽宁·高二开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·高一课时练习）的辐角主值为（ ）．
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·高一课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 复数的代数形式与三角形式的互化】
【方法点拨】
复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.
将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
【例2】（2022·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式
(1)；
(2)．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）化下列复数为三角形式．
(1)－1＋i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1．
【变式2-2】（2022·高一课时练习）将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)．
【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型3 三角形式下的复数的乘、除运算】
【方法点拨】
复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
【例3】（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3-1】（2023·高一课时练习）计算的值是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）
A．B．
C．－iD．＋i
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A．B．C．D．
【题型4 复数乘、除运算的几何意义的应用】
【方法点拨】
根据复数乘、除运算的几何意义，进行求解即可.
【例4】把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2022·高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．2iB．C．D．
【变式4-3】设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A．B．C．D．