数学必修 第二册8.2 立体图形的直观图精品当堂达标检测题

这是一份数学必修 第二册8.2 立体图形的直观图精品当堂达标检测题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.用斜二测画法画▵ABC的直观图如图所示，其中O′B′=B′C′=2，A′B′=A′C′= 2，则▵ABC中BC边上的中线长为
( )
A. 3B. 2 3C. 3D. 1
2.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′=2，则△AOB的边OB上的高为
( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 4 2
3.用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，如图所示，其中D′是△A′B′C′的B′C′边的中点，A′B′，B′C′分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AC，AD中
( )
A. 最长的是AB，最短的是ACB. 最长的是AC，最短的是AB
C. 最长的是AB，最短的是ADD. 最长的是AC，最短的是AD
4.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的水平放置的平面图形ABCD的直观图，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD的面积为( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 3 2
5.若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A′C′//O′B′，B′C′⊥O′B′，A′C′=1，O′B′=2，则原四边形AOBC的边BC的长度为
( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 4
6.如图正方形O′A′B′C′边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为
( )
A. 4cm2B. 8cm2C. 2 2cm2D. 4 2cm2
7.如图，△A​′B​′C​′是△ABC用斜二测画法画出的直观图且A′C′=4，A′D′=O′D′=1，B′D′=2，则△ABC的周长为
．( )
A. 12B. 2(2+ 5)C. 4(1+ 2)D. 2(2+ 2+ 5)
8.正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是
( )
A. 6 cmB. 8 cmC. (2+3 2)cmD. (2+2 3)cm
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)已知水平放置的正方形一条边在x轴上，其由斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，其中有一个边长为4，则此正方形的面积可以为( )
A. 16B. 64C. 32D. 无法确定
10.如图所示，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′=O′A′=2O′B′=2，则以下说法正确的是( )
A. △ABC是钝角三角形
B. △ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍
C. △ABC是等腰直角三角形
D. △ABC的周长是4+4 2
11.关于斜二测画法，下列说法正确的是
( )
A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B. 若一个多边形的面积为S，则在对应直观图中的面积为 24S
C. 一个梯形的直观图仍然是梯形
D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直
12.如图，△A ′B ′C ′表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图，A′B′在x轴上，B′C′与x轴垂直，且B′C′= 2，则下列说法正确的是
( )
A. △ABC的边AB上的高为2B. △ABC的边AB上的高为4
C. AC>BCD. AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的真实面积为 ．
14.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中O′A′=4，O′C′=1，则原图形周长是 ．
15.如图，正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm．
16.用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为________．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图所示，在△ABC中，AC=12 cm，AC边上的高BD=12 cm．
(1)画出水平放置的△ABC的直观图；
(2)求直观图的面积．
18.(本小题12分)
用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知A′B′=4，B′C′=1，A′D′=52，且A′D′//B′C′．
(1)求原平面图形ABCD的面积;
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
19.(本小题12分)
如图所示，梯形A′B′C′D′是水平放置的四边形ABCD根据斜二测画法得到的直观图，其中A′D′ //O′y′，A′B′ //C′D′，A′B′=23C′D′=2，A′D′=O′D′=1．
(1)画出原四边形ABCD；
(2)分别求出原四边形ABCD与梯形A′B′C′D′的面积．
20.(本小题12分)
如图，ΔA ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若A′C′=2，ΔA ′B ′C ′的面积是 32，求原图形中AC边上的高和原图形的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查投影与斜二测画法
作出 ▵ABC 的原图形，结合三角形的几何性质可求得 ▵ABC 中 BC 边上的中线长．
【解答】
解：在直观图中， O′B′=B′C′=2 ，且 ∠B′O′C′=45∘ ，则 ∠O′C′B′=45∘ ，故 B′C′⊥O′B′ ，
又因为 A′B′=A′C′= 2 ，则 A′B′2+A′C′2=B′C′2 ，可得 A′B′⊥A′C′ ，
故 ▵A′B′C′ 为等腰直角三角形，所以， ∠A′B′C′=45∘ ，故 A′B′//y′ 轴，
依据题意，作出 ▵ABC 的原图形如下图所示：

延长 BA 至点 D ，使得 BA=AD ，则 A 为 BD 的中点，
由题意可知， OB=2 ， OC=4 2 ， AB=2 2 ，且 AB//OC ，
所以， BD//OC 且 BD=OC ，故四边形 OBDC 为平行四边形，则 CD=OB=2 ，
取 BC 的中点 E ，连接 AE ，
因为 A 、 E 分别为 BD 、 BC 的中点，则 AE=12CD=12×2=1 ．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查斜二测画法的应用，属于中档题．
设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形=2 2S直观图，列出关于h的方程，即可求解．
【解答】
解：设△AOB的边OB上的高为h，
因为S原图形=2 2S直观图，
所以12×OB×h=2 2×12×2×O′B′．
又OB=O′B′，
所以h=4 2．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，是中档题．
由斜二测画法的规则可知，在原图中，AB⊥BC，AD为BC边上的中线，从而△ABC是直角三角形，由此能求出得出结论．
【解答】
解：因为△ABC的直观图为△A′B′C′，A′B′，B′C′分别与y′轴、x′轴平行，D′是B′C′边的中点，所以由斜二测画法规则可知，在△ABC中，AB⊥BC，AD为BC边上的中线，
则△ABC是以AB，BC为直角边，AC为斜边的直角三角形，
故AC>AD>AB．
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查投影与斜二测画法解决问题，属于基础题．
由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，根据勾股定理即可求解．
【解答】
解：由斜二测画法的直观图知：
A′C′//O′B′ ， A′C′⊥B′C′ ， A′C′=1 ， O′B′=2 ， ∴O′A′=O′B′−A′C′cs45∘= 2 ，

∴ 原图形 OACB 中， AC//OB ， OA⊥OB ， AC=1 ， OB=2 ， AO=2O′A′=2× 2=2 2 ，
BC= AO2+OB−AC2=3 ，
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了斜二测画法，属于基础题．
运用斜二测画法将直观图还原成原图后计算面积即可．
【解答】
解：由题意知， O′A′=1 ， O′B′= 2 ，
所以 OA=1 ， OB=2 2 ，
直观图还原的原图如图所示，

所以原图形的面积为 1×2 2=2 2cm2 ．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查斜二测画直观图，考查直观想象能力与运算求解能力，属于基础题．
把直观图还原原图形，求出三角形ABC的边长，则答案可求．
【解答】解：把直观图△A′B′C′还原原三角形如图，
可知△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2 2，AC=4，则△ABC的周长为4(1+ 2).
故选：C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了画平面图形直观图的斜二测画法，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键，属于中档题．
根据斜二测画法的规则，原图形的各边长度即可．
【解答】
解：如图，
OA=1 cm，在Rt△OAB中，OB=2 2 cm，
∴AB= OA2+OB2=3 cm．
∴四边形OABC的周长为8 cm．
故选B．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的直观图与斜二测画法，属于基础题．
根据空间几何体的直观图与斜二测画法的基础知识点即可得出．
【解答】
解：等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64．
故选AB．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法的原理，考查学生空间想象能力，属于中档题．
根据斜二测画法规则可知在原图形中O为CA的中点，且BO=CO=AO=2，BO⊥AC，则△ABC是等腰直角三角形，再分别求得△ABC和△A′B′C′的面积，即可得出结论．
【解答】
解：根据斜二测画法规则可知在原图形中O为CA的中点，
因为O′C′=O′A′=2O′B′=2，
所以BO=CO=AO=2，AC=4，
又原坐标轴中x、y轴互相垂直，即AC⊥OB，
则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，
故△ABC的周长是4+4 2，面积是4，故A错误，C、D正确，
△A′B′C′中，A′C′=4，过B′作x′轴的垂线，垂足为D，
则∠B′O′A′=45°，△B′O′D为等腰直角三角形，
B′D= 22O′B′= 22，所以△A′B′C′的面积为 2，故B错误．
故选CD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法．
根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项．
【解答】
解：对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；
对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例，
如图①，
在△ABC中， AD⊥BC ，其面积 S=12AD⋅BC ，
在其直观图(图②)中，
作A ′M⊥B ′C ′ ，则直观图的面积
S′=12B′C′⋅A′M=12B′C′⋅A′D′⋅sin 45∘= 24×12×BC×AD= 24S ，
因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，
在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的 24 ，
故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为 24 ，B正确；
对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，
故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；
对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误．
故选：ABC．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
过点C′作C′D′//y′轴，交x′轴于点D′，即可求出相关量，作出原图，即可判断．
【解答】
解：
如图，过点C′作C′D′//y′轴，交x′轴于点D′
则∠C′D′B′=45∘，
又B′C′与x′轴垂直，且B′C′= 2，
则B′D′= 2，C′D′=2，
故在原图中，CD⊥AB，且CD=4，即
△ABC的边AB上的高为4，
又点A在BD上，可得AC故选：BD．
13.【答案】2+ 22
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的关系的应用，考查计算能力．
求出直观图中BC，然后还原成平面图形，求出平面图形的面积．
【解答】
解：如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E．
在Rt△ABE中，AB=1，∠ABE=45°，
∴BE= 22．
又四边形AECD为矩形，AD=EC=1，
∴BC=BE+EC= 22+1，
由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′C′D′.在梯形A′B′C′D′中，
A′D′=1，B′C′= 22+1，A′B′=2．
∴这块菜地的面积S=12(A′D′+B′C′)·A′B′=12×1+1+ 22×2=2+ 22.
故答案为2+ 22．
14.【答案】14
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法的规则，属于中档题．
结合题设直观图特征判定平面图特征并求得平面图形的边长，再求周长即可．
【解答】
解：由斜二测画法的规则知平面图为平行四边形且原图形中OA=BC=O′A′=4，
设B′C′与O′y′交于点D′，
由O′C′=1，∠x′O′y′=45°，O′C′⊥O′A′，
得原图中OD=2× 12+12=2 2，
则AB=OC= OD2+CD2= 8+1=3，
则原图形的周长是2×(4+3)=14．
故答案为14．
15.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查斜二测法画直观图，熟练掌握斜二测画法中原图与直观图对应边长之间的关系，是解答的关键．
如图，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形边长，进而可得原图形的周长．
【解答】
解：由题意正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以OB′= 2cm，对应原图形平行四边形的高为2 2cm，
所以原图形中，OA′=B′C′=1cm，
A′B′=O′C′= 2 22+12=3cm，
故原图形的周长为2×(1+3)=8cm．
故答案为8．
16.【答案】9 6
【解析】【分析】
本题考查了斜二测画法与应用问题，属于基础题．
根据题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则求出△A′B′C′的面积．
【解答】
解：如图△A′B′C′是边长为12的正三角形ABC的直观图，
则A′B′=12，C′D′为正三角形ABC的高CD的一半，
即C′D′=12CD=12×12×sinπ3=3 3，
则高C′E=C′D′sin45°=3 3× 22=3 62，
∴△A′B′C′的面积为S=12×12×3 62=9 6．
17.【答案】解(1)①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图1，
②画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′D′y′=45°，
在x′轴上取点A′，C′，使D′A′=DA，D′C′=DC，
在y′轴上取点B′，使D′B′=12DB，
连接A′B′，C′B′，
则△A′B′C′即为△ABC的直观图，如图2．
(2)在图2中，作B′E⊥A′C′，E为垂足，
∵D′B′=12DB=6，∠B′D′E=45°，
∴B′E=6× 22=3 2，
∴S△A′B′C′=12×A′C′×B′E=12×12×3 2=18 2(cm2).

【解析】略
18.【答案】解：(1)如图所示：还原平面图形ABCD，作CE⊥AD交AD于点E，
因为AD=5，AB=4，BC=2，
所以DE=3，EC=4，DC=5，
故SABCD=(2+5)×42=14
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个以AB为底面半径的圆柱减去一个以EC为底面半径的圆锥组合成，
所以所形成的几何体的表面积为S=S圆锥侧+S圆柱侧+S圆柱下底
=π×4×5+2π×5×4+π×42=76π;
所形成的几何体的体积为V=V圆柱−V圆锥
=π×42×5−13π×42×3=64π．

【解析】本题考查斜二测画法，考查圆柱和圆锥的表面积和体积，属于一般题．
(1)作出原图形，作CE⊥AD交AD于点E，进而求解；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个以AB为底面半径的圆柱减去一个以EC为底面半径的圆锥组合成，，运用圆锥和圆柱的表面积和体积求解．
19.【答案】解：(1)如图，建立平面直角坐标系xOy，
在x轴上截取OD=O′D′=1，OC=O′C′=2．
在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D′A′=2．
在过点A的x轴的平行线上截取AB=A′B′=2，连接BC，
即可得到原四边形ABCD．
(2)原四边形ABCD是直角梯形，且AB=2，CD=3，AD=2．
所以其面积为2+32×2=5．
易得直观图中梯形的高为 22，
又A′B′=2，C′D′=3，
所以其面积为12×(2+3)× 22=5 24．
【解析】本题考查斜二测画法的规则，属于中档题．
先根据题设要求依据斜二测画法规则还原平面图形，再结合题设数据以及画法规则抽象(计算)，判定梯形形状，利用公式计算面积即可．
20.【答案】解：(1)原图形如下：
(2)由作图知，原图形中，BD⊥AC于点D，
则BD为原图形中AC边上的高，且BD=2B′D′，
在直观图中作B′E′⊥A′C′于点E′，
则ΔA ′B ′C ′的面积SΔA ′B ′C ′=12A ′C ′×B ′E ′=B ′E ′= 32，
在直角三角形B′E′D′中，B′D′= 62，
所以BD= 6，
所以SΔABC=12AC×BD= 6．
故原图形中AC边上的高为 6，原图形的面积为 6．
【解析】本题考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属于中档题．
(1)根据斜二测画法画出直观图；
(2)根据斜二测画法确定各量的变化关系即可．