高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示课堂检测

7.3复数的三角表示同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”根据该公式，可得

A. 1 B.  C. 2 D.

2. 欧拉公式，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足则

A.  B.  C.  D. 3

3. 将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是

A. 2i B.  C.  D.

4. 设，则复数的辐角主值为   

A.  B.  C.  D.

5. 复数的三角形式是

A.  B.
C.  D.

6. 已知复数，，则的代数形式是   

A.  B.
C.  D.

7. 复数的辐角主值是   

A.  B.  C.  D.

8. 若为虚数单位，则是的   

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 复数的辐角的主值是     

A.  B.  C.  D.

10. 设A，B，C是的内角，是一个实数，则是

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状不能确定

11. 设复数和复数的辐角主值分别为、，则等于

A.  B.  C.  D.

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 把复数表示为三角形式          
14. 1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：          ．
15. 若复数，，则的辐角的主值为          ．
16. 已知，，则          ．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，在复平面内对应的点位于第          象限，的最大值为          ．
18. 已知，则的最大值是          ，此时复数z的三角形式为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知复数的模为1，辐角为锐角，且复数的模为5，辐角为0，且．

求复数z的代数形式

在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是z，，若是直角，求实数c的值．






 

20. 把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数形式和它的辐角的主值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 计算下列各式的值结果写成三角形式

；

．






 

22. 分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．

；

．






 

23. 设对应的向量为为原点，将绕点O按逆时针方向旋转，并将其模变为原来的2倍，求所得向量对应的复数用三角形式表示，并指出其辐角的主值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查模的计算，体现基础性、创新性，属于基础题．
由定义得出，然后利用模的计算公式求解即可．

【解答】

解：由已知，
所以，
故选B ．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的四则运算，复数的模，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意可知，从而代入可得，再由复数的运算可得z，从而即可得．

【解答】

解：由欧拉公式可得，
，
，
，
故选A．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查复数乘法的几何意义，属于基础题．
根据复数乘法的几何意义得到，化简后即为所求结果．

【解答】

解：根据复数乘法的几何意义，对应的复数为：．
故选B．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的三角形式，属于基础题．
利用复数的运算及两角和与差的三角函数公式化简，则辐角可求．

【解答】

解：由，则



，
所以复数的辐角主值为．
故选B．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查复数是三角形式，属于基础题，
根据复数的三角形式是，；即可求解；

【解答】

解：
故选A

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算与三角函数综合应用，属于基础题．
根据复数运算法则求，然后根据三角函数的和角公式化简．

【解答】

解：



故选D．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查复数三角形式，属于中档题．
利用三角函数诱导公式对转化即可解决问题．

【解答】

解：




 则z的辐角主值为．
故选D．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的三角表示，以及充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
计算当时，的值，以及时，的值，即可求解．

【解答】

解：若，，可得；
由题可得，
若，则，解得，
可知，当时，满足，但不满足，
是的充分不必要条件，
故选A．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式及复数的三角形式，属于基础题．
由诱导公式化简复数的三角形式，则辐角可求．

【解答】

解：，
则其辐角的主值为，
故选C．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的三角形式，属于基础题．
由题意得 arg  求B，即可．

【解答】

解：因为是一个实数，
所以arg  ，
．
故是直角三角形．
故选C．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查两个角和的正切公式，考查复数辐角主值概念，属于基础题．
复数和的辐角主值分别是，，求得，，利用两个角和的正切公式求出，进而求得结果．
【解答】
解：复数和的辐角主值分别是，，
所以，，且，
所以，
因为，，
所以
故选C．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则运算以及三角函数的化简求值，属于基础题．
利用复数的运算，计算可得答案．

【解答】

解：

．
故选B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的三角形式，是容易题，
可求出复数的模和幅角得答案．

【解答】

解：复数，则复数的模，又复数对应的点在第二象限，
可求得复数的一个幅角为，
则复数表示为三角形式为，
故答案为

14.【答案】0
 

【解析】

【分析】

本题考查指数幂和三角函数的计算，欧拉公式的应用，属于基础题．
根据题干条件结合三角函数的知识可计算得出的值．

【解答】

解：因为公式，
所以，
故答案为：0．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的四则运算及三角形式，考查了计算能力．
利用复数的四则运算，可得，由此可得其辐角的主值．

【解答】

解：因为

，
所以的辐角的主值为．
故答案为．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数得三角形式，复数的运算．
由题意得，运算即可．

【解答】

解：，，
 

．
故答案为：．

17.【答案】三

3

【解析】

【分析】

本题考查了复数的三角形式、复数的几何意义应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由，化简即可得出对应的点所在的象限，由在复平面中对应的点位于单位圆，再结合圆的知识即可求动点P与的距离的最大值得到答案． 

【解答】

解：，
则复数在复平面中对应的点位于第三象限．
在复平面中对应的点位于单位圆上，
表示单位圆上的动点P与的距离，
易知当P在处时，有最大值3，
故答案为三．

18.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查复数的代数形式的几何意义，以及复数的三角形式，属于基础题．
由题意得复平面上z对应的点在以为圆心，半径为1的圆上，的最大值是，由点在第四象限，得，得此时复数z的三角形式．

【解答】解：由题意，设，
则由得，
，即在复平面上z对应的点在以为圆心，半径为1的圆上，
，
的最大值是，
点在第四象限，，
，
此时复数z的三角形式为．
故答案为3；．  

19.【答案】解：复数的辐角为锐角，且，

．

又复数的模为1，
 

复数的模为5，辐角为0，

，

，
．

由题意，A，B，O的坐标分别为，，，

，，

是直角，
，

，

即．

【解析】本题主要考查复数的几何意义以及运算，属于一般题．
先求得，再得到，然后求解即可
得到，，因为是直角，所以，即可求解c的值．
 

20.【答案】解：由复数的三角形式乘法的几何意义得

，

因为，

所以

，

所以的辐角的主值为．

【解析】本题考查复数的三角形式以及辐角有关概念及应用．
由题意得，结合，即可求得，即可得解．
 

21.【答案】解：

．

【解析】本题主要考查了复数的三角运算，属于基础题．
利用复数的三角运算的乘法运算法则计算出结果；
利用复数的三角运算的除法运算法则计算出结果．
 

22.【答案】解：的模为，
辐角的主值为，
；
， 
所以复数的模，辐角的主值为  
．
 

【解析】本题考查复数的代数表示及其几何意义、复数的三角形式、诱导公式．
直接根据复数的三角表示式求即可；
利用诱导公式写出复数的三角表示式，即可求出结果．
 

23.【答案】解：， 
根据题设条件得

， 
所以其辐角的主值为．
 

【解析】本题主要考查了复数的代数表示及其几何意义，复数的三角形式．
把复数化为三角形式，再由复数乘法的几何意义求得的三角形式，即可求得辐角．