2021学年第七章 复数7.3* 复数的三角表示课堂检测

这是一份2021学年第七章 复数7.3* 复数的三角表示课堂检测，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数eq \f(1,2)－eq \f(\r(,3),2)i的三角形式是( )
A．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))
B．cseq \f(π,3)＋isineq \f(π,3)
C．cseq \f(π,3)－isineq \f(π,3)
D．cseq \f(π,3)＋isineq \f(5π,6)
A [eq \f(1,2)－eq \f(\r(,3),2)i＝cseq \f(5,3)π＋isineq \f(5,3)π
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))．]
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40° C．－40° D．320°
D [sin 50°－isin 140°＝cs(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cs 320°＋isin 320°．]
3．2÷2(cs 60°＋isin 60°)＝( )
A．eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i B．eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i
C．eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i D．eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i
B [2÷2(cs 60°＋isin 60°)＝2(cs 0°＋isin 0°)÷2(cs 60°＋isin 60°)＝cs(0°－60°)＋isin(0°－60°)
＝cs(－60°)＋isin(－60°)＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i．故选B．]
4．eq \f(1,2)(cs 30°＋isin 30°)×2(cs 60°＋isin 60°)×3(cs 45°＋isin 45°)＝( )
A．eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(2),2)i B．eq \f(3\r(2),2)－eq \f(3\r(2),2)i
C．－eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(2),2)i D．－eq \f(3\r(2),2)－eq \f(3\r(2),2)i
C [eq \f(1,2)(cs 30°＋isin 30°)×2(cs 60°＋isin 60°)×3(cs 45°＋isin 45°)＝eq \f(1,2)×2×3[cs(30°＋60°＋45°)＋isin(30°＋60°＋45°)]＝3(cs 135°＋isin 135°)
＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))＝－eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(3\r(2),2)i．故选C．]
5．如果θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，那么复数(1＋i)(cs θ－isin θ)的三角形式是( )
A．eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))))
B．eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－θ))))
C．eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))))
D．eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))))
A [因为1＋i＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))，
cs θ－isin θ＝cs(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
所以(1＋i)(cs θ－isin θ)
＝eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2π－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2π－θ))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))))．]
二、填空题
6．2(cs 15°＋isin 15°)×5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝________．
5eq \r(2)＋5eq \r(2)i [2(cs 15°＋isin 15°)×5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝
2(cs 15°＋isin 15°)×5(cs 30°＋isin 30°)＝10[cs(15°＋30°)＋isin(15°＋30°)]＝10(cs 45°＋isin 45°)＝
10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))＝5eq \r(2)＋5eq \r(2)i．]
7．4(cs 300°＋isin 300°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,4)＋isin \f(3π,4)))))的虚部为________．
eq \r(3)－1 [原式＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,3)＋isin\f(5π,3)))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,4)＋isin \f(3π,4)))))＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(11π,12)＋isin\f(11π,12)))＝
2eq \r(2)×(－cseq \f(π,12)＋isineq \f(π,12))＝2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6)＋\r(2),4)＋\f(\r(6)－\r(2),4)i))＝－(eq \r(3)＋1)＋(eq \r(3)－1)i，故虚部为eq \r(3)－1．]
8．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转eq \f(π,2)，所得到的向量对应的复数是________．
1－i [(1＋i)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,2)))))
＝eq \r(,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))＝1－i．]
三、解答题
9．在复平面内，设O为坐标原点，点A，B所对应的复数分别为z1，z2，且z1，z2的辐角主值分别为α，β，模长均为1．若△AOB的重心G对应的复数为eq \f(1,3)＋eq \f(1,15)i，求tan(α＋β)．
[解] 由题意，可知z1＝cs α＋isin α，z2＝cs β＋isin β．
∵△AOB的重心G对应的复数为eq \f(1,3)＋eq \f(1,15)i，
∴eq \f(z1＋z2,3)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,15)i，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＋cs β＝1，,sin α＋sin β＝\f(1,5)，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs\f(α＋β,2)cs\f(α－β,2)＝1，,2sin\f(α＋β,2)cs\f(α－β,2)＝\f(1,5)，))
∴tan eq \f(α＋β,2)＝eq \f(1,5)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(5,12)．
1．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是eq \f(3π,2)，则实数a的值是( )
A．1 B．－1 C．－eq \r(,2) D．－eq \r(,3)
B [因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝eq \f(3π,2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,a＜0，))所以a＝－1，故选B．]
2．设π＜θ＜eq \f(5π,4)，则复数eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs θ－isin θ)的辐角的主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
B [eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs θ－isin θ)＝eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs－θ＋isin－θ)＝cs 3θ＋isin 3θ．
因为π＜θ＜eq \f(5π,4)，所以3π＜3θ＜eq \f(15π,4)，
所以π＜3θ－2π＜eq \f(7π,4)，故选B．]
3．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z1，Z2，Z3对应的复数分别为z1，z2，z3，且z2＝1＋eq \r(3)i，则z1＝________，z3＝________．(用代数形式表示)
eq \f(\r(3)＋1,2)＋eq \f(\r(3)－1,2)i eq \f(1－\r(3),2)＋ [根据题意画出草图，如图所示．
由复数运算的几何意义知
z1＝eq \f(1,\r(2))·z2·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))
＝eq \f(\r(2),2)(1＋eq \r(3)i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i))
＝eq \f(\r(3)＋1,2)＋eq \f(\r(3)－1,2)i，
z3＝eq \f(1,\r(2))·z2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))
＝eq \f(\r(2),2)(1＋eq \r(3)i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))
＝eq \f(1－\r(3),2)＋eq \f(1＋\r(3),2)i．]
4．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则z的三角形式为________．
z＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3))) [由z2＋2z＋4＝0，得z＝eq \f(1,2)(－2±2eq \r(,3)i)＝－1±eq \r(,3)i．
因为arg z∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以z＝－1－eq \r(,3)i应舍去，
所以z＝－1＋eq \r(,3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))．]
把复数z1与z2对应的向量eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))分别按逆时针方向旋转eq \f(π,4)和eq \f(5π,3)后，与向量eq \(OM,\s\up7(→))重合且模相等，已知z2＝－1－eq \r(3)i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值．
[解] 由复数乘法的几何意义得
z1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)＋isin\f(π,4)))＝z2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,3)＋isin\f(5π,3)))，
因为z2＝－1－eq \r(3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4π,3)＋isin\f(4π,3)))，
所以z1＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(4π,3)＋isin\f(4π,3)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,3)＋isin\f(5π,3))),cs\f(π,4)＋isin\f(π,4))
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π－\f(π,4)))))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3π,4)＋isin\f(3π,4)))
＝－eq \r(2)＋eq \r(2)i，
所以z1的辐角的主值为eq \f(3π,4)．