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    7.3 复数的三角表示——2022-2023学年高一数学人教A版(2019)必修第二册课时同步练习
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    人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示综合训练题

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.3* 复数的三角表示综合训练题,共16页。

    7.3 * 复数的三角表示

    【教材课后习题】

    1.把下列复数表示成三角形式,并画出与之对应的向量.

    16

    2

    3

    4.

    2.把下列复数表示成代数形式:

    1

    2

    3

    4.

    3.计算:

    1

    2

    3

    4

    4.计算下列各式,并作出几何解释:

    1

    2

    3

    4.

    5.1)求证

    2)写出下列复数z的倒数的模与辐角:

    .

    6.求证:

    1

    2.

    7.化简:

    1

    2.

    8.对应的向量为,将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°60°,求所得向量对应的复数(用代数形式表示).

    9.如图,复平面内的是等边三角形,它的两个顶点AB的坐标,求点C的坐标.

    10.如图,已知平面内并列的三个全等的正方形,利用复数证明.

    【定点变式训练】

    11.复数的三角形式是(   )

    A. B.

    C.  D.

    12.设复数,则(   )

    A. B. C. D.

    13.复数的辐角的主值是(   )

    A. B. C. D.

    14.已知复数,则(   )

    A. B. C. D.

    15.若复数i为虚数单位),则___________.

    16.已知复数,若复数z满足,则复数z的辐角主值为___________.

    17.将复数化为三角形式:______.

    18._____________.

    19.求下列复数的模和辐角主值.

    1

    2.

    20.复数的代数形式与三角形式互化:

    1

    2.


    答案以及解析

    1.答案:1,图见详解

    2,图见详解

    3,图见详解

    4,图见详解

    解析:(16对应的向量如答图(1)中.

    ,又

    .

    2对应的向量如答图(2)中.

    .

    3对应的向量如答图(3)中.

    ,又

    .

    4对应的向量如答图(4)中.

    ,又

    .

    2.答案:1

    2

    3-9

    4

    解析:(1)原式

    2)原式

    3)原式

    4)原式.

    3.答案:19i

    2

    3

    4

    解析:(1)原式

    2)原式

    3)原式

    4)原式

    .

    4.答案:1-4,解释见解析

    2,解释见解析

    3,解释见解析

    4,解释见解析

    解析:(1)原式.

    几何解释:设,作与对应的向量,然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的倍,得到一个长度为4,辐角为的向量,则即为积所对应的向量.

    2)原式

    .

    几何解释:设,作与对应的向量,然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转315°,再将其长度缩短为原来的,得到一个长度为,辐角为30°的向量,则即为积所对应的向量.

    3)原式

    .

    几何解释:设,作与对应的向量,然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转,再将其长度缩短为原来的,得到一个长度为,辐角为的向量,则即为所对应的向量.

    4)原式

    几何解释:设,作与对应的向量,然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转,再将其长度缩短为原来的,得到一个长度为,辐角为的向量,则即为所对应的向量.

    5.答案:1)见解析

    2)见解析

    解析:(1)证法1:左边右边.

    证法2

    原等式成立.

    2)解:时,

    的模为,辐角为.

    时,

    的模为1,辐角为.

    时,

    的模为1,辐角为.

    6.答案:1)见解析

    2)见解析

    解析:(1)左边右边,原等式成立.

    2)左边

    原等式成立.

    7.答案:1

    2

    解析:(1)原式.

    2

    .

    8.答案:逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为

    按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为-2i

    解析:将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为

    .

    绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为

    .

    9.答案:

    解析:将原点O平移至A点,建立平面直角坐标系,则,将绕点A顺时针方向旋转

    在原平面直角坐标系xOy中,点C坐标为,即.

    10.答案:见解析

    解析:如答图:.

    设正方形边长为1,则

    对应的复数为对应的复数为

    对应的复数为

    .

    .

    11.答案:A

    解析:由,则.

    故选:A.

    12.答案:C

    解析:因为复数

    所以

    所以

    故选:C.

    13.答案:C

    解析:因为

    所以复数的辐角的主值是.

    故选:C.

    14.答案:B

    解析:由题设,

    所以复数对应点为

    故辐角在第四象限,且正切值为,则.

    故选:B.

    15.答案:

    解析:因为复数,其实部和虚部分别-1,且在第二象限

    故幅角的正切值,由于,则

    故答案为:.

    16.答案:

    解析:因为

    所以

    所以复数z的辐角主值为.

    故答案为:.

    17.答案:

    解析:复数中,,设为复数的辐角主值,

    所以.

    故答案为:.

    18.答案:

    解析:.

    19.答案:1)复数z的模为32,辐角主值为

    2)复数z的模是,辐角主值为

    解析:(1

    复数z的模为32,辐角主值为.

    2

    则复数的模.

    设辐角为,则

    在第四象限,

    .

    20.答案:(1

    2

    解析:(1

    所以.

    2

    所以.

     

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