人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念优秀精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念优秀精练，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=102−i−i3(其中i为虚数单位)，给出下列命题：
p1：z的共轭复数为(4−i)；
p2：z的虚部为3i；
p3：z的模为25；
p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．
其中真命题的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.非零复数z满足z=−zi，则复数z在复平面内对应的点位于
( )
A. 实轴B. 虚轴C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限
3.已知i为虚数单位，复数z满足z(2−i)=i2020，则下列说法正确的是
( )
A. 复数z的模为15B. 复数z的共轭复数为−25−15i
C. 复数z的虚部为15iD. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
4.已知复数z在复平面上对应的点为(2,−1)，则( )
A. z=−1+2iB. |z|=5C. z=−2−iD. z−2是纯虚数
5.(胡选修1−1.2.1)(智学网)下列四个选项中，正确的是
( )
A. 复平面内实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数
B. 若复数z1，z2满足z12+z22=0，则z12=0且z22=0
C. 若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z12=z22
D. 设z为复数，a，b∈R，若z+a=2z=bi，则z+a=2z-bi
6.已知复数z在复平面内的对应的点的坐标为(−2,1)，则下列结论正确的是
( )
A. 复数z的共轭复数是2−iB. z⋅i3=−1+2i，
C. z=5D. z2的虚部是−4
7.已知不相等的复数Z1,Z2,与Z，则下列说法正确的序号是
．( )
①若Z2<0，则Z是纯虚数；②若|Z1|=|Z2|，则Z 12=Z 12;③若Z1=Z2，则Z1,Z2在复平面内对应的点关于实轴对称;④若Z12−Z22>0，则Z12>Z22.
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
8.已知i为虚数单位，复数z满足z(3+i)=2−i，则下列说法正确的是
( )
A. 复数z的模为 22B. 复数z的共轭复数为−12+12i
C. 复数z的虚部为12iD. 复数z在复平面内对应的点在第二象限
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=i1−2i，则以下说法正确的是
( )
A. 复数z的虚部为i5B. z的共轭复数z=25−i5
C. |z|= 55D. 在复平面内与z对应的点在第二象限
10.下列说法中正确的是
( )
A. 2−1+i= 2
B. 复数(1−i)3的虚部是−2
C. 若复数z=i1+i，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限
D. 满足|z+3|−|z−3|=4的复数z在复平面内对应的点的轨迹是双曲线
11.已知不相等的复数z1，z2，则下列说法错误的是( )
A. 若z1+z2是实数，则z1与z2不一定相等
B. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
C. 若z1=z2，则z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称
D. 若z12−z22> 0，则z12>z22
12.已知i为虚数单位，复数z满足z(2−i)=i2020，则下列说法错误的是
( )
A. 复数z的模为15B. 复数z的共轭复数为
C. 复数z的虚部为15iD. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z=a+i(其中a∈R)，给出下面四个结论：
①z=a−i;
②|z|≥1;
③z一定不是纯虚数;
④在复平面上，z对应的点可能在第三象限．
其中所有正确结论的序号为 ．
14.设复数z=21−i，则下列命题中正确的是 .(填序号)
①|z|= 2；
②z=1−i；
③在复平面上对应的点在第一象限；
④虚部为2．
15.在下列命题中：
①两个复数不能比较大小；
②复数z=i−1对应的点在第四象限；
③若(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1；
④若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z2=z3
⑤“复数a+bi(a,b,c∈R)为纯虚数”是“a=0”的充要条件；
⑥复数z1>z2⇔z1−z2>0；
⑦复数z满足|z|=z2；
⑧复数z为实数⇔z=z−，
其中正确命题的是 (填序号)
16.已知z+2z=6−2i，则i+z= ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(Ⅰ)已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|=2，且z+z=−2，求z；
(Ⅱ)已知复数z=2m21−i−(1+2i)m−3(2+i)为纯虚数，求实数m的值．
18.(本小题12分)
已知复数z的共轭复数是z，满足z⋅z+2i⋅z=9+2i(i是虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求z1+2i．
19.(本小题12分)
已知复数z1满足2z1=1+3i+z1
(1)求z1；
(2)若复数z2的虚部为2，且z2z1在复平面内对应的点位于第四象限，求复数z2实部a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知复数z满足：z2=3+4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．
(1)求复数z；
(2)设a∈R，且|(1+z1+z)2019+a|=2，求实数a的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则可得：复数z=4+3i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假．
【解答】
解：z=102−i−i3=102+i2−i2+i+i=4+3i，故p1错误；
z的虚部为3，故p2错误；
z=5，故p3错误；
z在复平面内对应的点(4,3)位于第一象限，故p4错误．
所以真命题的个数为0个，
故选A．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，共轭复数，复数相等的充要条件，以及复数的几何意义，属于基础题．
解题时设z=a+bia,b∈R，则z−=a−bia,b∈R，且a，b不同时为零，然后代入计算，根据复数相等计算出a和b即可．
【解答】
解：设z=a+bia,b∈R，则z−=a−bia,b∈R且a，b不同时为零，
因为z=−zi，所以a−bi=−ia+bi=b−ai，
则a=b−b=−a，所以z=a+bi中实部和虚部相等，
故复平面上表示复数z的点位于第一或者第三象限．
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数除法运算、复数的模、共轭复数、复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题．
化简复数z，然后依次判断各个选项即可．
【解答】解：z(2−i)=i2020，则z=i20202−i=2+i2−i2+i=2+i5=25+15i，
∴z= 252+152= 55，故A错误；
复数z的共轭复数为25−15i，故B错误；
复数z的虚部为15，故C错误；
复数z在复平面内对应的点为(25,15)，在第一象限，故D正确．
故选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，属于基础题．
根据题意，求出复数z，逐项判断即可．
【解答】
解：复数z在复平面上对应的点为(2,−1)，
则z=2−i，A错；z=2+i，C错；
z= 22+−12= 5，B错；
z−2=2−i−2=−i，则z−2是纯虚数，D对．
故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的几何意义及复数运算，同时考查复数的模及复数相等，还考查了共轭复数，属于中档题．
A虚轴上的原点不表示纯虚数；利用特值判断B，C，对于D设 z=x+yi，x， y∈R，则x+a=2xy=-2y+b ,则 z+a=x-yi+a=2a-b3i，则 z+a=2z-bi，正确．
【解答】
解：对于A，虚轴上的原点不表示纯虚数，故A错误；
对于B，当z1=i，z2=1时，z12+z22=0，此时z12=-1,z22=1，故B错误；
对于C，当z1=1，z2=i时，z1=z2，此时z12=1,z22=-1，不满足 z12=z22，故C错误；
对于D，设z=x+yi，x， y∈R，由z+a=2z+bi，a， b∈R，
得x+yi+a=2(x-yi)+bi，所以x+a=2xy=-2y+b ,则z+a=x-yi+a=2a-b3i，
2z-bi=2x+2yi-bi=2a-b3i，所以z+a=2z-bi，即D正确．
故选D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
根据复数z在复平面内的对应的点求出复数的表达式，然后根据共轭复数的定义、复数模的计算公式、复数虚部的定义、复数的乘法运算法则进行逐一判断即可．
【解答】
解：因为复数z在复平面内的对应的点的坐标为(−2,1)，
所以z=−2+i，因此z=−2−i，所以选项A不正确；
因为z⋅i3=(−2+i)(−i)=2i+1，所以选项B不正确；
因为z= (−2)2+12= 5，所以选项C不正确；
因为z2=(−2+i)2=4−4i−1=3−4i，所以z2的虚部是−4，因此选项D正确，
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的概念和几何意义，考查复数的模、共轭复数，属于基础题．
解题时根据选项涉及到的相关概念，结合举例，逐项分析即可．
【解答】
解：①.设z=a+bia,b∈R，则z2=a2−b2+2abi<0，
则ab=0且a2−b2<0，所以，a=0,b≠0，所以z是纯虚数，故①正确；
②.取z1=1,z2=i，满足|z1|=|z2|，但z12≠z22，故②错误；
③.若z2=m+ni(m,n∈R)，在复平面对应的点为m,n，则z1=z2=m−ni(m,n∈R)，在复平面对应的点为m,−n，所以z1、z2在复平面内对应的点关于实轴对称，故③正确；
④.若z1=2+i，z2=1+2i，则z12=3+4i，z22=−3+4i，此时z12−z22>0，但z12、z22的大小无法比较，故④错误．
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的概念、共轭复数、复数的几何意义、复数的模以及复数的除法运算，属于中档题．
根据复数除法运算计算出复数z，根据相关概念即可求解．
【解答】
解：因为z(3+i)=2−i，
所以z=2−i3+i=2−i3−i3+i3−i=5−5i10=12−12i．
所以z=12−12i= 22，z=12+12i，
复数z的虚部为−12，
复数z在复平面内对应的点12,−12在第四象限．
故选A．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了复数的基本知识，需掌握复数的概念、共轭复数的概念、复数的四则运算、复数的模以及复数的几何意义，属于基础题．
利用复数的乘除运算可得z=−25+15i，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D．
【解答】解：∵z=i1−2i=i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+15i，
∴复数z的虚部为15，排除A选项；
z的共轭复数z=−25−i5，排除B选项；
∴|z|= (−25)2+(15)2= 55，C选项正确；
∴复平面内与z对应的点的坐标为(−25,15)，在第二象限，D选项正确．
故选CD．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，复数的四则运算，复数的模，共轭复数，复数的几何意义，属中档题．
由复数的四则运算及复数的概念，可以判断A、B，由复数的几何意义及双曲线的定义可以判断C、D．
【解答】
解：对于A，2−1+i=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，
所以|2−1+i|= 2，故A正确；
对于B，1−i3=1−i21−i=−2i1−i=−2−2i，
所以复数(1− i)3的虚部是−2，故B正确；
对于C，z=i1+i=i1−i1+i1−i=12+12i，所以z=12−12i，
则复数z在复平面内对应的点Z12,−12位于第四象限，所以C错误；
对于D，设z=x+yix,y∈R，则由|z+3|−|z−3|=4，可得 x+32+y2− x−32+y2=4，即为点Zx,y到点A−3,0与点B3,0的距离之差为4，
因为AB=6>4，所以点Z的轨迹为双曲线的右支，
即满足|z+3|−|z−3|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是双曲线的右支，故D错误．
故选：AB．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
根据已知条件，结合特殊值法，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查特殊值法，以及复数的几何意义，属于基础题．
【解答】解：对于A，当z1=1，z2=2时，z1+z2=3∈R，则z1≠z2−，故A正确，
对于B，令z1=1，z2=i，满足|z1|=|z2|，但z12≠z22，故B错误，
对于C，设z1=a+bi，a，b∈R，则z2=a−bi，
z1在复平面内对应的点的坐标为(a,b)，
z2在复平面内对应的点的坐标为(a,−b)，z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称.故C不正确，
对于D，令z12=2+2i，z22=1−2i，则z12+z22=3，z12+z22>0，
由于z12，z22不能比较大小，故D错误．
故选：BCD．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查虚数单位i的幂运算的周期性，复数的四则运算，涉及复数的概念，复数的模，共轭复数，复数的代数表示及其几何意义，属于中档题．
先由z2-i=i2020计算出z=25+15i，再根据选项判断即可．
【解答】
解：z2-i=i2020，
则z=i2020(2−i)=(i4)505(2−i)=1(2−i)=2+i(2−i)(2+i)=2+i5=25+15i，
∴z= 252+152= 55，故A错，
复数z的共轭复数为25-15i，故B错；
复数z的虚部为15，故C错；
复数z在复平面内对应的点为(25,15)，在第一象限，故D正确．
故选ABC．
13.【答案】 ① ②
【解析】【分析】
本题考查了共轭复数、复数的模、纯虚数、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
①根据共轭复数的概念求解；②根据复数的模的概念求解；③根据纯虚数的概念求解；④根据复数的几何意义求解．
【解答】
解：已知复数z=a+i(a∈R)，
对于①、z=a−i ，故①正确；
对于②、|z|= a2+1≥1，故②正确；
对于③、若a=0时，z是纯虚数，故③错误；
对于④、在复平面上，z对应的点为a,1，不可能在第三象限，故④错误．
故选 ① ②．
14.【答案】①②③
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算以及复数的概念、复数的模、共轭复数和复数的几何意义，属于简单题．
首先化简复数，再逐项判断真假即可．
【解答】
解：z=21−i=21+i1−i1+i=2+2i2=1+i，
z= 12+12= 2，①对；
z=1−i，②对；
复数z对应的点为1,1，在第一象限，③对；
复数z的虚部为1，④错．
故答案为①②③．
15.【答案】⑥⑧
【解析】【分析】
本题主要考查复数的运算及性质．
由题意利用复数的定义、性质及运算法则，通过举反例，逐一判断各个命题是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：以下命题：
①两个复数不能比较大小，错误，如复数2和复数3，显然2<3．
②复数z=i−1对应的点在第四象限，错误，因为复数z对应点为(−1,1)，在第二象限．
③若(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1，错误，例如x=−1时，此复数为0．
④若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z2=z3 ，错误，例如z2=0，z1=i，z3 =i2 时，等式仍成立．
⑤“复数a+bi(a,b,c∈R)为纯虚数”是“a=0”的充要条件，错误，因为当a=0时，复数a+bi不一定是纯虚数．
⑥复数z1>z2⇔z1−z2>0，正确，复数z1>z2，说明复数z1和z2 都是实数，故有z1−z2>0成立．
⑦复数z满足|z|=z2，错误，如z=i时，|z|=1，z2=−1，等式不成立．
⑧复数z为实数⇔z=z−，正确，
故答案为：⑥⑧．
16.【答案】 5
【解析】【分析】
设z=a+bia,b∈R，则z=a−bi，由复数相等可求出a=b=2，求出i+z，再由复数的模长公式求解即可．
本题考查复数的模及其几何意义，考查复数的共轭，复数的加减运算，复数相等，属于基础题．
【解答】
解：设z=a+bia,b∈R，则z=a−bi，
所以z+2z=a+bi+2a−bi=3a−bi=6−2i，
所以3a=6b=2，则a=b=2，
i+z=i+2−2i=−i+2，所以i+z= −12+22= 5．
故答案为： 5．
17.【答案】解：(Ⅰ)设z=a+bi(a,b∈R,a<0,b>0)，
由题意得a2+b2=4,2a=−2,
解得a=−1，b=± 3，
∵b>0，∴b= 3．
∴z=−1+ 3i.
(Ⅱ)z=2m21−i−(1+2i)m−3(2+i)
=2m2(1+i)1−i(1+i)−(1+2i)m−3(2+i)
=(m2−m−6)+(m2−2m−3)i，
由题意得m2−m−6=0,m2−2m−3≠0,解得m=−2．
【解析】本题考查复数的基本概念、复数的运算，属于一般题．
(Ⅰ)z=a+bi(a，b∈R)，根据复数模的公式以及复数相等，得到a，b的方程组，再结合z在复平面内对应的点在第二象限，得到a，b的值，即可得到z;
(Ⅱ)通过复数的运算化简z，再根据z为纯虚数，得到m的关系式，解得m的值．
18.【答案】解：(1)
设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，
因为z⋅z+2i⋅z=9+2i，
所以(a+bi)(a−bi)+2i(a+bi)=9+2i，
即a2+b2−2b+2ai=9+2i，
所以a2+b2−2b=92a=2,
解得a=1b=−2或a=1b=4,
所以z=1−2i或z=1+4i；
(2)由(1)知z=1−2i或z=1+4i，
因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
所以z=1−2i，
所以|z1+2i|=|1−2i1+2i|=|(1−2i)2(1+2i)(1−2i)|
=|−3−4i5|= −352+−452=1．
【解析】本题考查复数的代数表示及其几何意义、复数相等的充要条件、共轭复数、复数的四则运算、复数的模，属于中等题．
(1)设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，代入z⋅z+2i⋅z=9+2i，利用复数相等的条件，求出a，b的值，即可求出结果；
(2)利用复数的四则运算法则化简z1+2i，利用模长公式，即可求出结果．
19.【答案】解：(1)设z1=x+yi(x∈R,y∈R)，
则2(x+yi)=1+3i+(x−yi)，即2x+2yi=(1+x)+(3−y)i
则：2x=1+x2y=3−y，解得x=1y=1，则z1=1+i
从而z1= 2；
(2)设z2=a+2i，则z2z1=a+2i1+i=a+22+2−a2i
因为z2z1在复平面内对应的点位于第四象限，则a+22>02−a2<0，解得a>2．
即实数a的取值范围为2,+∞．
【解析】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数相等，复数的四则运算.属于中档题．
(1)设z1=x+yi(x∈R,y∈R)，由复数相等得出2x=1+x2y=3−y，求出z1=1+i，利用求模公式求解即可.
(2)设z2=a+2i，则z2z1=a+2i1+i=a+22+2−a2i ，由复数的结几何意义得出a+22>02−a2<0，即可求解实数a的取值范围．
20.【答案】解：(Ⅰ)设z=c+di(c,d∈R)，
则z2=(c+di)2=c2−d2+2cdi=3+4i，
∴c2−d2=3,2cd=4,解得 c=−2, d=−1或 c=2, d=1(舍去)．
∴z=−2−i．
(Ⅱ)∵z=−2+i，∴1+z1+z=−1−i−1+i=1+i1−i=(1+i)22=i，
∴(1+z1+z)2019=i2019=i2016+3=i504×4+3=(i4)504⋅i3=−i，
∴|a−i|= a2+1=2，
∴a=± 3．
【解析】本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的模，属于中档题．
(Ⅰ)设z=c+di(c,d∈R)，代入z2=3+4i，利用复数相等求出c，d，即可得解;
(Ⅱ)由(Ⅰ)求出共轭复数，根据复数的四则运算，结合复数的模的公式，得到关于a的方程，解之即可．