高中数学8.1 基本立体图形精品练习题

这是一份高中数学8.1 基本立体图形精品练习题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转一周后所得如图的一开口容器(下表面密封)，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为
( )
A. π2+36B. π2+16C. 4π2+36D. 4π2+1
2.下列说法正确的是( )
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
3.下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是( )
A. 棱柱的侧棱互相平行
B. 以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C. 正三棱锥的各个面都是正三角形
D. 棱台各侧棱所在直线会交于一点
4.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为DD1中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是( )
A. (13,1)B. (12,1)C. [12,23)D. (0,12]
5.从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图形不可能是( )
A. 三个面是直角三角形的正三棱锥B. 有一个面是钝角三角形的四面体
C. 每个面都是等边三角形的四面体D. 每个面都是直角三角形的四面体
6.若圆锥的底面半径为 3，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为( )
A. 2B. 3C. 2πD. 2 3π
7.“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km.山高为40 15km，B是山坡SA上一点，且AB=40km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为
( )
A. 60kmB. 12 6kmC. 72kmD. 12 15km
8.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=3，AD=4，AA1=5，用过该长方体体对角线AC1的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为
( )
A. 3 41B. 100 8241C. 12 2D. 75 1717
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng)是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB=8，AD=2 3，▵ADE与▵BCF都是等边三角形，且二面角E−AD−B与F−BC−A相等，则EF长度可能为
( )
A. 1B. 5C. 9D. 13
10.下列命题中正确的是
( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B. 棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D. 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
11.用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是
( )
A. 锐角三角形B. 直角梯形C. 正五边形D. 六边形
12.下列说法中错误的有( )
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C. 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面
D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某球类比赛的冠军奖杯如图所示，顶部的球通过三根竖直的支撑杆与水平放置的长方体底座相连．若球的半径为15cm，三根支撑杆长度均为30cm，粗细忽略不计，且任意两根支撑杆之间的距离均为12 3cm，则球的最低点到底座上表面的距离为 _cm．
14.在正三棱锥A−BCD中，底边长为1，侧棱长为2，点E，F分别为棱AC，AD上的动点(不含端点)，则截面三角形BEF周长的最小值为 ．
15.已知正四面体ABCD的棱长为2，E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 ．
16.如图所示，给出四个条件，其中能推断所示的几何体是三棱台的是 ．
①A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4；
②A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3；
③A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=4；
④A1B1=AB，B1C1=BC，A1C1=AC.
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，AA1/​/BB1/​/CC1，请你判断这个几何体是棱柱吗?若是棱柱，指出是几棱柱;若不是棱柱，请你用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称．
18.(本小题12分)
一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内有一个高为x的内接圆柱，设圆柱的轴截面面积为S．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S最大？并求最大值．
19.(本小题12分)
茶杯、热水瓶、食用油桶等都是装液体的容器，你会注意到它们多设计成圆柱形的。现有问题：已知一个正三角形、一个正方形和一个圆的面积相等，都等于S，设正三角形的边长为m，正方形的边长为a，圆的半径为r．
(I)比较它们的周长的大小；
(II)试根据(I)的结论写出装液体的容器多设计成圆柱形(假设容器的高相同)的数学道理．
20.(本小题12分)
如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O ′O的母线长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查求曲面上最短路程问题，是基础题．
画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．
【解答】
解：侧面展开后得矩形AA′D′D，其中AA′=π，AD=4，
问题转化为在DD′上找一点Q，使AQ+PQ最短，
作P关于DD′的对称点E，连接AE，
令AE与DD′交于点Q，
则得AQ+PQ的最小值就是AE为 π2+36．
故选A．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查棱柱、棱锥、圆锥、空间几何体的截面问题，属于基础题．
根据几何体的结构特征逐项分析判断．
【解答】
解：对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，
所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；
对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；
对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，
故C错误；
对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的结构特征，棱台的结构特征，棱柱的结构特征，圆锥的结构特征，属于基础题．
根据相应几何体的定义和性质判断即可．
【解答】
解：根据棱柱的结构特征，可知棱柱的侧棱互相平行，故A正确；
当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确；
正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；
棱台是用平行于棱锥底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确．
故选：C
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力与思维能力，属于中档题．
由题意画出图形，可知当CF=12时，截面为等腰梯形BFEA1，进一步得到当01时，截面是五边形．则答案可求．
【解答】
解：如图，当CF=12时，截面为等腰梯形BFEA1，
当0当CF>12时，截面是五边形BFEMK，
若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围为(0,12].
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查棱锥的结构特征，属于基础题．
作图，根据图形分析即可．
【解答】
解：如图， ABCD−A1B1C1D1 是正方体，三棱锥 A−A1BD 是三个面为直角三角形的正三棱锥，A正确；
三棱锥 A−A1BC 是四个面都是直角三角形的四面体，D正确；
三棱锥 C1−A1BD 是四个面都是等边三角形的四面体，C正确；
对于B，先选取A点，与剩下的7个顶点的任意两个都不可构成钝角三角形，故B错误．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了圆锥中截面面积的最值问题，属于中档题．
求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，即可求得答案．
【解答】
解：设圆锥的母线长为l，则l= 3+1=2，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为θ，则csθ=22+22−2 322×2×2=−12,即θ=2π3，
则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为α,α∈(0,2π3],
故截面的面积为S=12×2×2×sinα≤2，
截面的面积在α=π2时取到最大值，
故截面面积的最大值为2．
故选A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了圆锥的侧面展开图，以及几何体中的最值问题，属于中档题．
求出圆锥的母线长和圆锥的侧面展开图的圆心角，再展开圆锥侧面进行求解．
【解答】
解：该圆锥的母线长为 40 152+402=160，
所以2π×40160=π2，则圆锥的侧面展开图是圆心角为π2的扇形，
如图，展开圆锥的侧面，连接A′B，过点S作A′B的垂线，垂足为H，由两点之间，线段最短，则观光公路为图中的A′B，
则A′B= SA′2+SB2= 1602+1202=200
记点P为A′B上任一点，连接PS，上坡即P到山顶S的距离越来越小，下坡即P到山顶S的距离越来越大，则下坡段的公路，即图中的HB，由△SA′B∽△HSB，得：HB=SB2A′B=1202200=72km
故选C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的截面问题，属于中档题．
先确定线段AC1的长是定值，截面一定是平行四边形，分与不同的棱相交时截面面积的最小值，再比较大小即可得出答案．
【解答】
解：AC1= 32+42+52=5 2，因为截面与长方体相交且过AC1，
所以截面一定是平行四边形，
分别求截面与不同的棱相交时的最小截面面积．
当截面与BB1,DD1分别交于点F，E时，
E或F到AC1的距离最小是DD1到平面AA1C1C的距离，
也就是D到AC的距离，D到AC的距离是125，
所以截面面积为5 2×125=12 2；
同理当截面与A1B1，DC相交时，
DC和A1B1上的点到AC1的距离最小是4×5 42+52=20 4141，
截面面积为100 8241；
当截面与A1D1，BC相交时，
A1D1，BC上的点到AC1的距离最小是3×5 32+52=15 3434，
截面面积为75 1717，
综上然截面面积的最小值是12 2．
故选：C
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了空间角、运动思想方法、空间位置关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
由于△ADE与△BCF都是等边三角形，且边长为2 3，故高为3，取两个极限情况：二面角E−AD−B与F−BC−A相等，且趋向于0时，EF→2.二面角E−AD−B与F−BC−A相等，且趋向于π时，EF→14，即可得出．
【解答】
解：由于△ADE与△BCF都是等边三角形，且边长为2 3，故高为3，
当E−AD−B和F−BC−A趋向于0时，
EF→8−3−3=2，如下图所示：
当E−AD−B和F−BC−A趋向于π时，
EF→8+3+3=14，如下图所示：
所以EF的取值范围是2,14，
所以EF的长度可能为5，9，13．
故选BCD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查棱柱及棱锥的概念，属于较易题．
依据棱柱定义判断选项A、B；一个 n 棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和 60∘n<360∘ 可以判断C正确；根据正棱锥定义即可判断D错误．
【解答】
解：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱．
而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误；
由棱柱定义可知棱柱的面中，至少有两个面互相平行，故B正确；
一个 n 棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和 60∘n<360∘ ，即 n<6 ，故C正确；
一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故D错误．
故选：BC．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本体考查几何体的截面，利用余弦定理解三角形，属于较难题．
根据正方体的截面特点，对四个选项一一判断．
【解答】
解：对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形．
如图所示的截面三角形 ABC ．
设 DA=a,DB=b,DC=c ，所以 AC2=a2+c2 ， AB2=a2+b2 ， BC2=b2+c2 ．
所以由余弦定理得： cs∠CAB=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=2a22 a2+b2 a2+c2>0,
所以 ∠CAB 为锐角.同理可求： ∠ACB 为锐角， ∠CBA 为锐角.所以 ▵ABC 为锐角三角形．
对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，
可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形．
对于C：当截面为五边形时，不可能出现正五边形．
对于D，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形．
故选：BC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查棱柱、棱锥、棱台以及球的结构特征，是中档题．
根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，逐项判断即可得解．
【解答】
解：当一个棱柱是斜棱柱时，侧面是平行四边形，但不一定全等，故A选项错误；
当截面与棱锥的底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，
故B选项错误；
根据球面的定义，C选项正确；
棱台是由棱锥被一个平面于底面的平面所截得到的，故侧棱延长后交于一点；
但是侧面不一定是等腰梯形，故D选项错误．
故选ABD．
13.【答案】24
【解析】【分析】
本题考查了空间中的距离公式，涉及了三角形外接圆半径的求解，正弦定理的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与运算能力，属于中档题．
设三根支撑杆与球的连接点分别为A，B，C，利用正弦定理求出△ABC的外接圆的半径，再利用勾股定理求出球心到△ABC所在平面的距离，从而求出球心到底座上表面的距离，即可得到答案．
【解答】
解：设三根支撑杆与球的连接点分别为A，B，C，
由题意可得，△ABC是边长为12 3的正三角形，
设△ABC的外接圆的半径为r，
由正弦定理可得，2r=12 3sin60°=24，
所以r=12，
故球心到△ABC所在的平面的距离d= R2−r2= 152−122=9，
又球的半径R=15，
所以球心到底座上表面的距离为：d+30=39，
故球的最低点到底座的上表面的距离为：39−15=24cm．
故答案为：24．
14.【答案】114
【解析】【分析】
本题主要考查空间中的最短距离，空间几何体的截面问题(截面形状、面积)，属于中档题
得到正三棱锥A−BCD的侧面展开图，由图可得截面ΔBEF的周长最小值．
【解答】
解：正三棱锥A−BCD的侧面展开图如图，
由平面几何知识可得BB′//CD，
所以∠BEC=∠ECD=∠ACB，
于是△BCE∽△ABC，
所以CEBC=BCAB=BEAC，即CE1=12=BE2，所以CE=12，BE=1，
所以AE=32，又EFCD=AEAC=34，
可得EF=34．
则截面ΔBEF的周长最小值为：1+34+1=114．
故答案为114．
15.【答案】π
【解析】【分析】
本题考查了球的截面性质，属于中档题．
将四面体ABCD放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，进而计算出结果．
【解答】
解：将四面体ABCD放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，
∵正四面体ABCD的棱长为2，
∴正方体的棱长为 2，可得外接球半径R满足2R= 6，解得R= 62，
E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r= R2−( 22)2=1，
得到截面圆的面积最小值为S=πr2=π．
故答案为π．
16.【答案】③
【解析】【分析】
本题考查棱台的结构特征，考查棱台的底面上的边的特性，是一个简单的概念辨析问题，解题时抓住棱台的定义．
【解答】
解：根据棱台是由棱锥截成的，
①.A1B1AB≠B1C1BC，故不正确；
②.B1C1BC≠A1C1AC，故不正确；
③.A1B1AB=B1C1BC=A1C1AC，故正确，
④.满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故错误，
故答案为③．
17.【答案】解：因为这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，
所以这个几何体不是棱柱．
如图，在AA1上取点E，使AE=2，在BB1上取点F，使BF=2，
连接C1E，EF，C1F，
则过C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，
其中一部分是三棱柱ABC−EFC1，其侧棱长为2;
另一部分是四棱锥C1−EA1B1F，
即截去的几何体是一个四棱锥．

【解析】本题考查了简单多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征，考查了空间想象能力，属于中档题．
通过观察图形可知该几何体的所有面中没有两个互相平行的面，补充该几何体不是棱柱.在AA1上取点E，使AE=2，在BB1上取点F，使BF=2，连接C1E，EF，C1F，则过C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱，另一部分是四棱锥．
18.【答案】解：(1)设圆柱的底面半径为r，

则由r2=6−x6，得r=6−x3，
∴S=2rx=−23x2+4x.(0(2)S=−23x2+4x=−23(x−3)2+6，
∴当x=3时，Smax=6，
∴当x=3时，圆柱的轴截面面积最大，为6．

【解析】本题考查圆柱与圆锥的结构特征，直接求解即可．
(1)由图易知r2=6−x6，得r=6−x3，则S=2rx=−23x2+4x.(0(2)S=−23x2+4x=−23(x−3)2+6，当x=3时，Smax=6，即可求解．
19.【答案】解：(Ⅰ)由已知得：m= 4S 3，a= S，r= Sπ，
设正三角形，正方形，圆的周长分别为L1，L2，L3，
∴L12=12 3S，L22=16S，L32=4πS，
∴L12>L22>L32，
∴L1>L2>L3．
(Ⅱ)V=Sh，
因为底面积一定时圆的周长最小，即容积相同时圆形的时候最节省材料．

【解析】本题主要考查了正三角形、正方形、圆的面积相等时它们周长的大小，涉及大小比较，容器设计为圆柱形的原因，属于中档题．
(Ⅰ)根据正三角形、正方形、圆的面积公式得到m，a，r关于S的表达式，进一步求出相应的周长，平方后比较它们周长的大小即可；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知正三角形、正方形、圆的面积相等时圆的周长最小，由此得到容器做成圆柱形所用材料最少．
20.【答案】 解：设圆台的母线长为lcm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1:16，
可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为rcm，4rcm.过轴SO作截面，
如图所示．
则△SO ′A ′∽△SOA，SA′=3cm．
所以SA ′SA=O ′A ′OA．
所以33+l=r4r=14．
解得l=9，即圆台的母线长为9cm．

【解析】本题考查圆台的结构特征，考查简单的推理能力和计算能力，属于基础题．
根据圆台的性质利用三角形相似的性质即可求解．