高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算优秀达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算优秀达标测试，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知2i−3是关于x的方程x2+6x+q=0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为( )
A. 2i+3B. −2i−3C. 2i−3D. −2i+3
2.已知2+i是关于x的方程x2+ax+5=0的根，则实数a=( )
A. 2−iB. −4C. 2D. 4
3.复数z满足z=1，且使得关于x的方程x2+z⋅x+z=0有实根，则这样的复数z的个数为
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.已知1+i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则|p+qi|=( )
A. 2B. 2 2C. 3 2D. 4 2
5.若z是方程x2+x+1=0的一个虚数根，则z2−z=( )
A. 0B. −1C. 3iD. −1或 3i
6.在复数范围内，方程z2+5|z|+6=0的解的个数是
( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.在复数范围内，z1，z2是方程z3+z2+z+1=0的两个不同的复数根，则|z1−z2|的值为
( )
A. 1B. 2C. 2D. 2或2
8.已知i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=( )
A. 0B. −2C. 2D. 1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足方程z2−4z2−4z+5=0，则
( )
A. z可能为纯虚数B. 方程各根之和为4
C. z可能为2−iD. 方程各根之积为−20
10.若z1，z2是关于x的方程x2−2x+2=0的两个虚根，则( )
A. z1=z2B. z12+z22>0C. (z1+z2)2>0D. z12⋅z22>0
11.已知复数z1､z2，以下四个说法中正确的是
( )
A. z1⋅z2=z1⋅z2
B. 若z1=z2，则z12=z22
C. z1+z2≤z1+z2
D. 若z1, z2z1≠z2是方程x2+ax+b=0a,b∈R的虚根，则z1､z2互为共轭复数
12.“虚数”这个词是十七世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创造的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像x2+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念后，代数方程的求解问题才得以解决.设t是方程x2+x+1=0的根，则( )
A. t⋅t=1B. −t是该方程的根C. t2是该方程的根D. t3=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设复数z满足|z|=1，且使得关于x的方程zx2+2zx+3=0有实根，则这样的复数z的和为__________．
14.已知复数ω满足ω−4=(3−2ω)i(i为虚数单位)，z=5ω+|ω−2|.则一个以z为根的实系数一元二次方程为__________________．
15.已知关于x的方程x2+4x+p=0(p∈R)的两个根是x1，x2.若|x1−x2|=2，则实数p的值为 ．
16.设k是复数，关于x的一元二次方程x2+kx−12=0的两个复数根为x1、x2.若x1+2x23=k，则k=_____．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)求1+i1−i6+ 2+ 3i 3− 2i的值；
(2)若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根是1+ 2i，其中m，n∈R，i是虚数单位，求m−n的值．
18.(本小题12分)
已知复数z=m−2+(m2−4m+3)i，m∈R.
(1)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围;
(2)若该虚数z是关于x的方程x2−4x+λ=0的一个根，求实数λ的值．
19.(本小题12分)
在 ①z2z2=10(a>0); ②复平面上表示z1z2的点在直线x+2y=0上; ③z1(a−i)>0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数z1=1+i，z2=a+3i(a∈R)(i为虚数单位)，满足 ．
(1)若z=z1+z2，求复数z以及|z|;
(2)若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4−3m=0的根，求实数m的值．
20.(本小题12分)
已知复数z=m2−m−2+(m−2)i(m∈R)，其中i为虚数单位．
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若m=3，z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根，求实数a+b的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算和复数范围内方程的根与分解因式，属于基础题．
利用复数的四则运算得q=13，再利用复数范围内方程的根，计算得结论．
【解答】
解：因为2i−3是关于x的方程x2+6x+q=0(q∈R)的一个根，
所以2i−32+62i−3+q=0q∈R，解得q=13，
因此关于x的方程是x2+6x+13=0，其另一个根为−2i−3．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，复数相等的充要条件，属于基础题．
将2+i代入方程x2+ax+5=0，根据复数的运算法则化简为8+2a+a+4i=0，再根据左右相等列出方程组求解．
【解答】
解：由2+i是关于x的方程x2+ax+5=0的根，
则2+i2+a2+i+5=0，
整理得 8+2a+a+4i=0，
所以8+2a=0a+4=0,
则实数a=−4．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了复数相等条件的应用，考查了数学运算能力，是中档题．
设z=a+bi(a,b∈R)，代入方程后结合复数相等条件求出a，b，进而得到复数z．
【解答】
解：设z=a+bi(a,b∈R)，
由|z|=1，得a2+b2=1，
x2+z⋅x+z=0，即x2+(a−bi)x+a+bi=0，
即x2+ax+a+(b−bx)i=0，
∴x2+ax+a=0b−bx=0，
若b=0，则a=1或a=−1，
检验得，a=1时，x无实数根(舍)，
当a=−1时，x=1± 52，z=−1;
当b≠0时，得x=1，a=−12，b=± 32，z=−12± 32i，
∴复数z的个数为3个．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
1+i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则1−i也是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，利用根与系数的关系、模的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵1+i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则1−i也是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
∴1+i+1−i=−p2，(1+i)(1−i)=q2，
解得p=−4，q=4．
则|p+qi|=|−4+4i|= (−4)2+42=4 2．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数集内解方程，属于基础题．
求出方程的虚数根，再代入计算即得．
【解答】
解：方程x2+x+1=0化为：(x+12)2=−34，依题意，z=−12+ 32i或z=−12− 32i，
显然z+z=−1，又z2+z+1=0，即z2=−z−1，
所以z2−z=−z−1−z=−(z+z)−1=0．
故选：A
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数范围内方程的根，属于基础题．
令z=a+bi (a,b∈R)，代入方程得出(a+bi)2+5 a2+b2+6=0，求解即可．
【解答】
解：令z=a+bi (a,b∈R)，
由z2+5z+6=0得，
(a+bi)2+5 a2+b2+6=0，
∴a2−b2+5 a2+b2+6=02ab=0,
∴当a=0时，得−b2+5|b|+6=0，则b=±6，
当b=0时，a2+5|a|+6=0，方程无实数解，
则z=±6i．
故选A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数方程的求解与复数的模，考查数学运算的核心素养，属于基础题．
因式分解，解得z=±i或−1，即可．
【解答】
解：由z3+z2+z+1=0，得z2(z+1)+z+1=(z2+1)(z+1)=0.因为i2=−1，所以z=±i或−1，
所以|z1−z2|的值为 2或2．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：−i也是原方程的一个根，再利用根与系数的关系即可得出．
【解答】
解：i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得−i也是原方程的一个根，
∴i+−i=−p2，i·−i=q2．
解得：p=0，q=2，则p+q=2，
故选：C．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了复数的概念，考查了复数集内解方程或分解因式，属于基础题．
根据题意得出z2−4=0或z2−4z+5=0，进而得到z=2±i或z=±2，再逐项判断即可．
【解答】
解：复数z满足方程(z2−4)(z2−4z+5)=0，则z2−4=0或z2−4z+5=0；
若z2−4z+5=0，解得z=2±i;
若z2−4=0，则z=±2，
则z不可能为纯虚数，故A错误;
则方程各根之和为(2+i)+(2−i)+2+(−2)=4，故B正确;
由方程有一根为z=2−i，故C正确;
方程各根之积为(2+i)×(2−i)×2×(−2)=−20，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查复数集内解方程、共轭复数、复数的乘法运算，属于基础题．
解方程求出z1，z2，再对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：因为Δ=−22−4×1×2=−4，
所以方程x2−2x+2=0的两个虚根为x=2±2i2=1±i，
不妨设z1=1+i,z2=1−i，
则z1=z2，故A正确；
z12+z22=1+i2+1−i2=2i+−2i=0，故B错误；
(z1+z2)2=22=4>0，故C正确；
z12⋅z22=2i·−2i=−4i2=4>0，故D正确．
故选ACD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了模的运算性质、复数的运算法则以及实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用模的运算性质、复数的运算法则以及实系数一元二次方程的虚根成对原理即可判断出正误．
【解答】
解：A.利用模的运算性质可知正确；
B.取z1= 2i，z2=1+i，满足|z1|=|z2|，则z12=−2，z22=2i，∴z12≠z22，不正确；
C.利用模的运算性质三角形法则可知正确；
D.利用实系数一元二次方程的虚根成对原理即可得出正确．
故选：ACD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了复数及共轭复数的计算，考查了复数方程的根，属于基础题．
求出方程x2+x+1=0的两根，利用根与系数的关系可判断A选项；利用代入法可判断BC选项；计算得出t3=1，可判断D选项．
【解答】
解：解方程x2+x+1=0，即(x+12)2=−34=(± 32i)2，解得t=−12± 32i，
所以t与t−为方程x2+x+1=0的两根．
对于A选项，由韦达定理可得t⋅t−=1，故A正确；
对于B选项，因为(−t)2−t+1=t2+t+1−2t=−2t≠0，
故−t不是方程x2+x+1=0的根，故B错误；
对于C选项，若t=−12+ 32i，则t2=14− 32i−34=−12− 32i=t−，
若t=−12− 32i，则t2=14+ 32i−34=−12+ 32i=t−，
所以t2是该方程的根，故C正确；
对于D选项，当t=−12+ 32i时，t3=t2⋅t=t(−1−t)=(−12+ 32i)(−12− 32i)=14−34i2=1，
当t=−12− 32i时，t3=t⋅t2=(−12− 32i)(−1−t)=(−12− 32i)(−12+ 32i)=14−34i2=1，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】−74
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，考查分类讨论思想，属于较难题．
设z=a+bi(a,b∈R,a2+b2=1)，得到ax2+2ax+3=0①，bx2−2bx=0②，通过讨论求出a，b的值，求出满足条件的所有z，相加即可．
【解答】
解：设z=a+bi，(a,b∈R且a2+b2=1)，
则原方程zx2+2zx+3=0变为ax2+2ax+3+bx2−2bxi=0，
所以ax2+2ax+3=0，①且bx2−2bx=0，②；
(1)若b=0，则a2=1解得a=±1，当a=1时①无实数解，舍去；
从而a=−1，x2+2x−3=0 此时x=1或−3，故z=−1满足条件；
(2)若b≠0，由②知，x=0或x=2，显然x=0不满足，故x=2，代入①得a=−38，b=± 558，所以z=−38± 558i
综上满足条件的所有复数的和为
−1+(−38+ 558i)+(−38− 558i)=−74，
故答案为：−74．
14.【答案】x2−6x+10=0
【解析】【分析】
本题考查复数的乘除运算，考查复数的模长运算，考查实系数一元二次方程的根与系数的关系，属于中档题．
根据条件可得ω=2−i，然后得到z=3+i.由实系数一元二次方程的两根z=3+i，z=3−i，即可得结果．
【解答】
解：∵复数ω满足ω−4=(3−2ω)i
∴ω(1+2i)=4+3i，
即∴ω=4+3i1+2i=2−i，
故z=52−i+|−i|=3+i．
若实系数一元二次方程有虚根z=3+i，则必有共轭虚根z=3−i，
∵z+z=6,z·z=10，
∴所求的一个一元二次方程可以是x2−6x+10=0．
15.【答案】3或5
【解析】【分析】
本题考查了方程的实根和虚根的问题，属于基础题．
根据判别式分类讨论，即可求出p的值．
【解答】
解：x1+x2=−4，x1x2=p，
若方程的判别式△≥0，即p≤4时，则方程的有两个实数根x1，x2．
则|x1−x2|2=(x1+x2)2−4x1x2=16−4p=4，
解得p=3，
若方程的判别式△4时，则方程有一对共轭虚根x1，x2
则|x1−x2|=| 4p−16i|= 4p−16=2，解得p=5．
故答案为3或5．
16.【答案】0或32i或−32i
【解析】【详解】
因为x22+kx2−12=0，所以，
x23+kx22−12x2=0．
从而，x23=−kx22+12x2
=−k−kx2+12+12x2
=k2+12x2−k2．
代入x1+2x23=k，得
x1+2k2+1x2−k=k
⇒−k+2k2x2=2k⇒2kx2−3k=0
⇒k=0或x2=32k(当k≠0时)．
当k≠0时，把x2=32k代入x22+kx2−12=0，
得94k2+32−12=0．
解得k=±32i．
综上所述，k=0或±32i．
故答案为：0或32i或−32i
17.【答案】解：(1)(1+i1−i)6+ 2+ 3i 3− 2i
=[(1+i)22]6+( 2+ 3i)( 3+ 2i)( 3− 2i)( 3+ 2i)=i6+5i5=−1+i；
(2)由题得1+ 2i2+m1+ 2i+n=-1+m+n+2 2i+m 2i=0，
因为m,n∈R，
所以−1+m+n=02 2+m 2=0，解得m=−2n=3,
所以m−n=−5．

【解析】本题考查复数相等的充要条件，虚数单位i的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根，考查运算化简的能力，属于中档题．
(1)根据虚数单位i的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
(2)将1+ 2i代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得m，n可得结论．
18.【答案】解：(1)复数z在复平面内对应的点在第四象限，
所以m−2>0m2−4m+3210，
因为z1=1+i，所以z1(a−i)=(1+i)(a−i)=(a+1)+(a−1)i>0，
所以a+1>0a−1=0，解得a=1；
所以z=z1+z2=1+i+1−3i=2−2i
|z|= 22+22=2 2；
(2)z2是实系数一元二次方程x2+mx+4−3m=0的根，则z2−也是该方程的根，
所以z2+z2−=−m；则实数m=−(z2+z2−)=−(1+3i+1−3i)=−2．
故实数m的值为−2．
【解析】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．
(1)选条件①，根据z2z2−=a2+9=10求出a的值；
选条件②，求出z1z2在复平面上表示点的坐标，代入直线方程求出a的值；
选条件③，计算z1(a−i)，根据z1(a−i)>0求出a的值；
再计算z和|z|的值；
(2)由z2是实系数一元二次方程的根，则z2−也是方程的根，利用根与系数的关系求出m的值．
20.【答案】解：(1)因为复数z=m2−m−2+(m−2)i=(m+1)(m−2)+(m−2)i(m∈R)是纯虚数，
所以(m+1)(m−2)=0m−2≠0，解得：m=−1．
(2)当m=3时，z=(m+1)(m−2)+(m−2)i=4+i．
因为z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根，
所以z的共轭复数z=4−i也是实系数方程x2+ax+b=0的根，
所以(4+i)+(4−i)=−a，(4+i)×(4−i)=b，解得：a=−8，b=17，
故a+b=9．
【解析】本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的求法，属于中档题．
(1)直接由实部为0且虚部不为0列式求解．
(2)根据z=4−i是方程的另一根，利用根与系数的关系可求出答案..