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人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示学案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示学案设计，共15页。
设复数z＝1＋3i在复平面内对应的点为Z，记r为向量OZ的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋3i的实部、虚部之间的关系．
知识点1 复数的三角表示式
1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．
1．任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？辐角的主值有多少个值？
[提示] 辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内．
2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π．
知识点2 复数三角形式乘法法则与几何意义
已知z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cs (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
2．复数乘法的几何意义是什么？
[提示] 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2．
知识点3 复数三角形式除法法则与几何意义
已知z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1csθ1+isin θ1r2csθ2+isin θ2＝r1r2[cs (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
3．复数除法的几何意义是什么？
[提示] 两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的1r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是商z1z2．
将下列复数表示为三角形式：
(1)－5i＝________；
(2) 2－2i＝________．
[答案] (1)5cs32π+isin32π
(2)22cs74π+isin74π
类型1 复数的代数形式化为三角形式
【例1】 把下列复数表示成三角形式：
(1)1；(2)3－i；(3)－2sin3π4+ics3π4．
[解] (1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，
所以arg 1＝0，所以1＝cs 0＋isin 0．
(2)r＝2，对应的点在第四象限，且cs θ＝32，所以取θ＝－π6，
所以3－i＝2cs-π6+isin-π6．
(3)－2sin3π4+ics3π4＝－2+2i，r＝2，
对应的点在第二象限，且cs θ＝－22，
所以取θ＝3π4．
所以－2sin3π4+ics3π4＝2cs3π4+isin3π4．
将复数代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
提醒：复数三角形式的四个要求：模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式．
[跟进训练]
1．下列复数是复数三角形式表示的是( )
A．12csπ4-isinπ4
B．－12csπ3+isinπ3
C．12sin34π+ics34π
D．cs 75π＋isin 75π
D [选项A，cs π4与isin π4之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－12<0不符合r≥0要求；选项C，是cs 34π与isin 34π用“＋”连接，而不是sin 3π4＋ics 34π的形式．故A、B、C均不是复数的三角形式．故选D．]
类型2 复数三角形式的乘、除运算
【例2】 (源自苏教版教材)计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)2csπ12+isinπ12×3csπ6+isinπ6；
(2)6cs2π3+isin2π3÷2csπ3+isinπ3
[解] (1)原式＝6csπ12+π6+isinπ12+π6
＝6csπ4+isinπ4＝622+22i＝32＋32i．
(2)原式＝3cs2π3-π3+isin2π3-π3
＝3csπ3+isinπ3＝312+32i＝32＋32i．
1．乘法法则：模相乘，辐角相加．
2．除法法则：模相除，辐角相减．
3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
[跟进训练]
2．计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)2csπ3+isin π32；
(2)2(cs 75°＋isin 75°)×12-12i；
(3)-12+32i÷2csπ3+isin π3．
[解] (1)2csπ3+isin π32
＝(2)2cs23π+isin 23π＝2-12+32i
＝－1＋3i．
(2)因为12－12i＝2222-22i
＝22cs74π+isin 74π，
所以2(cs 75°＋isin 75°)×12-12i
＝2cs512π+isin 512π×22cs74π+isin 74π
＝2×22cs512π+74π+isin 512π+74π
＝cs 2612π＋isin 2612π＝cs π6＋isin π6
＝32＋12i．
(3)因为－12＋32i＝cs 23π＋isin 23π，
所以-12+32i÷2csπ3+isin π3
＝cs23π+isin 23π÷2csπ3+isin π3
＝12cs23π-π3+isin23π-π3
＝12csπ3+isin π3＝14＋34i．
类型3 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例3】 在复平面内，把复数3－3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．
[解] 因为3－3i＝2332-12i
＝23cs116π+isin 116π，
所以23cs116π+isin 116π×csπ3+isin π3
＝23cs116π+π3+isin 116π+π3
＝23cs136π+isin 136π
＝23csπ6+isin π6
＝3＋3i，
23cs116π+isin 116π×cs-π3+isin-π3
＝23cs116π-π3+isin116π-π3
＝23cs32π+isin32π
＝－23i．
故把复数3－3i对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i．
利用复数乘除法的几何意义求解复平面内的点所对应的复数时，要注意点Z所对应的复数就是向量OZ对应的复数，OZ常常转化为OZ＝OZ1+Z1Z．而求解向量Z1Z所对应的复数时，要注意它与已知(或可求)向量对应的复数之间的关系，即要明确模与辐角的变化，从而准确利用复数乘除法的几何意义求解．
[跟进训练]
3．(1)设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cs A＋isin A)÷(cs B＋isin B)·(cs C＋isin C)是一个实数，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不能确定
(2)(多选)在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是( )
A．1-32＋1+32i B．1+32＋1-32i
C．5-32＋3+32i D．5+32＋3-32i
(1)C (2)CD [(1)由题意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝π2．故选C．
(2)因为AB对应的复数为(3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，则AC对应的复数为(1＋i)(cs 60°＋isin 60°)＝1-32＋1+32i或(1＋i)[cs(－60°)＋isin(－60°)]＝1+32＋1-32i，所以OC＝OA+AC对应的复数为2＋i＋1-32＋1+32i或者2＋i＋1+32＋1-32i，
即5-32＋3+32i或5+32＋3-32i．故选CD．]
1．复数－3i的辐角主值为( )
A．－π2 B．3π2
C．－π2＋2kπ(k∈Z) D．3π2＋2kπ(k∈Z)
B [与－3i对应的点在负虚轴上，所以arg(－3i)＝32π．故选B．]
2．复数z＝1＋i(i为虚数单位)的三角形式为( )
A．z＝2(sin 45°＋ics 45°)
B．z＝2(cs 45°＋isin 45°)
C．z＝2[cs (－45°)－isin(－45°)]
D．z＝2[cs (－45°)＋isin(－45°)]
B [依题意得r＝12+12＝2，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cs θ＝22，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确．故选B．]
3．在复平面中，把复数z＝2＋2i对应的向量按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为( )
A．2+22＋2+22i B．2-22＋2+22i
C．1＋2＋(1＋2)i D．1－2＋(1＋2)i
D [依题意，旋转后的向量对应的复数为(2＋2i)·(cs 45°＋isin 45°)＝1－2＋(1＋2)i．故选D．]
4．计算cs23π+isin 23π÷2csπ6+isinπ6＝________．
12i [原式＝12cs23π-π6+isin23π-π6＝12csπ2+isin π2＝12i．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．复数三角形式中的辐角和辐角主值有什么区别与联系？
[提示]
2．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cs θ＋isin θ)时，要注意什么？
[提示] 将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cs θ＋isin θ)时，要注意：
(1)r＝a2+b2．
(2)cs θ＝ar，sin θ＝br，其中θ终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．若tan θ＝ba(a≠0)，θ终边所在象限与点(a，b)所在象限一致．当a＝0，b>0时，arg z＝π2．
3．用复数的三角形式乘除法的几何意义解题时关键把握哪些量的变化？
[提示] 运用复数乘除法的几何意义解题，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系．
课时分层作业(二十) 复数的三角表示
一、选择题
1．(多选)复数z＝2-2i的三角形式可以是( )
A．2csπ4+isinπ4
B．2cs3π4+isin3π4
C．2cs7π4+isin7π4
D．2cs-π4+isin-π4
CD [∵r＝22+-22＝2，
cs θ＝22，sin θ＝－22，
∴θ可取7π4或－π4．]
2．复数z＝2cs75°+isin 75°cs30°+isin 30°的代数形式为( )
A．1－i B．1＋i
C．1 D．i
B [z＝2cs75°+isin 75°cs30°+isin 30°
＝2[cs(75°－30°)＋isin(75°－30°)]
＝2(cs 45°＋isin 45°)＝1＋i．故选B．]
3．复数z＝3+i1+2i，将复数z对应向量按逆时针方向旋转π4，所得向量对应的复数为( )
A．2B．2i
C．1 D．i
A [z＝3+i1+2i＝1－i，
又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转π4，
∴旋转后的向量对应复数(1－i)csπ4+isinπ4
＝(1－i)22+22i＝2．]
4．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
D [sin 50°－isin 140°
＝cs (270°＋50°)＋isin (180°＋140°)
＝cs 320°＋isin 320°．]
5．(多选)已知复数z对应的向量为OZ，复数z1＝(－1－3i)z对应的向量为OZ1，复数z2＝14-34iz对应的向量为OZ2，则下列说法正确的是( )
A．将OZ的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转4π3可得到OZ1
B．将OZ的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转4π3可得到OZ1
C．将OZ的模缩小为原来的12，再逆时针旋转π3可得到OZ2
D．将OZ的模缩小为原来的12，再顺时针旋转π3可得到OZ2
AD [因为(－1－3i)z＝2z-12-32i
＝2zcs4π3+isin4π3，14-34iz
＝12z12-32i
＝12zcs5π3+isin5π3．故选AD．]
二、填空题
6．若|z|＝2，arg z＝π3，则复数z＝________．
1＋3i [由题意知，z＝2csπ3+isinπ3＝1＋3i．]
7．arg-12-32i＝________．
4π3 [复数z＝－12－32i对应的点位于第三象限，且cs θ＝－12，所以arg-12-32i＝4π3．]
8．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．
22csπ4+isinπ4 [∵(1＋i)z＝i，
∴z＝i1+i＝i1-i2＝12(1＋i)
＝22csπ4+isinπ4．]
三、解答题
9．设复数z＝(1－3i)5，求z的模和辐角的主值．
[解] ∵z＝(1－3i)5＝2512-32i5
＝32cs53π+isin5π35＝32cs25π3+isin25π3
＝32csπ3+isinπ3，
∴复数z的模为32，辐角的主值为π3．
10．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是3π2，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2 D．－3
B [因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝3π2，
所以a2-1=0，a＜0，所以a＝－1，故选B．]
11．“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定有z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，z1与z2的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立．综上，“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的充分不必要条件．故选A．]
12．(多选)下列各角可以作为复数33－3i的辐角的是( )
A．－π6B．11π6
C．－π3D．5π3
AB [依题意得，r＝332+-32＝6，
cs θ＝336＝32，复数33－3i对应的点在第四象限，所以arg(33－3i)＝11π6，
所以2kπ＋11π6(k∈Z)都可以作为复数33－3i的辐角．故选AB．]
13．设复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，则tan (α＋β)＝________．
1 [因为复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝1．]
14．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z2对应的复数z2＝1＋3i，求Z1和Z3分别对应的复数z1，z3．
[解] 根据题意画出草图，如图所示．
由复数运算的几何意义知z1＝12·z2·[cs -π4＋isin -π4]
＝22(1＋3i)22-22i
＝3+12＋3-12i，
z3＝12·z2·csπ4+isinπ4
＝22(1＋3i)22+22i
＝1-32＋1+32i．
15．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，并证明S△AOB＝12|α|2．
[解] △AOB为等腰直角三角形．
证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，
∴βα＝1＋i＝2csπ4+isinπ4，
∴∠AOB＝π4．
∵OA，AB分别表示复数α，β－α，
由β－α＝αi，得β-αα＝i＝cs π2＋isin π2，
∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．
∴S△AOB＝12|OA|2＝12|α|2．
学习任务
1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．(数学抽象、逻辑推理)
2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．(数学抽象、直观想象)
区别
辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个
联系
θ＝2kπ＋arg z，k∈Z
设复数z＝1＋3i在复平面内对应的点为Z，记r为向量OZ的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋3i的实部、虚部之间的关系．
知识点1 复数的三角表示式
1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．
1．任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？辐角的主值有多少个值？
[提示] 辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内．
2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π．
知识点2 复数三角形式乘法法则与几何意义
已知z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cs (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
2．复数乘法的几何意义是什么？
[提示] 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2．
知识点3 复数三角形式除法法则与几何意义
已知z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1csθ1+isin θ1r2csθ2+isin θ2＝r1r2[cs (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
3．复数除法的几何意义是什么？
[提示] 两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的1r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是商z1z2．
将下列复数表示为三角形式：
(1)－5i＝________；
(2) 2－2i＝________．
[答案] (1)5cs32π+isin32π
(2)22cs74π+isin74π
类型1 复数的代数形式化为三角形式
【例1】 把下列复数表示成三角形式：
(1)1；(2)3－i；(3)－2sin3π4+ics3π4．
[解] (1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，
所以arg 1＝0，所以1＝cs 0＋isin 0．
(2)r＝2，对应的点在第四象限，且cs θ＝32，所以取θ＝－π6，
所以3－i＝2cs-π6+isin-π6．
(3)－2sin3π4+ics3π4＝－2+2i，r＝2，
对应的点在第二象限，且cs θ＝－22，
所以取θ＝3π4．
所以－2sin3π4+ics3π4＝2cs3π4+isin3π4．
将复数代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
提醒：复数三角形式的四个要求：模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式．
[跟进训练]
1．下列复数是复数三角形式表示的是( )
A．12csπ4-isinπ4
B．－12csπ3+isinπ3
C．12sin34π+ics34π
D．cs 75π＋isin 75π
D [选项A，cs π4与isin π4之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－12<0不符合r≥0要求；选项C，是cs 34π与isin 34π用“＋”连接，而不是sin 3π4＋ics 34π的形式．故A、B、C均不是复数的三角形式．故选D．]
类型2 复数三角形式的乘、除运算
【例2】 (源自苏教版教材)计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)2csπ12+isinπ12×3csπ6+isinπ6；
(2)6cs2π3+isin2π3÷2csπ3+isinπ3
[解] (1)原式＝6csπ12+π6+isinπ12+π6
＝6csπ4+isinπ4＝622+22i＝32＋32i．
(2)原式＝3cs2π3-π3+isin2π3-π3
＝3csπ3+isinπ3＝312+32i＝32＋32i．
1．乘法法则：模相乘，辐角相加．
2．除法法则：模相除，辐角相减．
3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
[跟进训练]
2．计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)2csπ3+isin π32；
(2)2(cs 75°＋isin 75°)×12-12i；
(3)-12+32i÷2csπ3+isin π3．
[解] (1)2csπ3+isin π32
＝(2)2cs23π+isin 23π＝2-12+32i
＝－1＋3i．
(2)因为12－12i＝2222-22i
＝22cs74π+isin 74π，
所以2(cs 75°＋isin 75°)×12-12i
＝2cs512π+isin 512π×22cs74π+isin 74π
＝2×22cs512π+74π+isin 512π+74π
＝cs 2612π＋isin 2612π＝cs π6＋isin π6
＝32＋12i．
(3)因为－12＋32i＝cs 23π＋isin 23π，
所以-12+32i÷2csπ3+isin π3
＝cs23π+isin 23π÷2csπ3+isin π3
＝12cs23π-π3+isin23π-π3
＝12csπ3+isin π3＝14＋34i．
类型3 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例3】 在复平面内，把复数3－3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．
[解] 因为3－3i＝2332-12i
＝23cs116π+isin 116π，
所以23cs116π+isin 116π×csπ3+isin π3
＝23cs116π+π3+isin 116π+π3
＝23cs136π+isin 136π
＝23csπ6+isin π6
＝3＋3i，
23cs116π+isin 116π×cs-π3+isin-π3
＝23cs116π-π3+isin116π-π3
＝23cs32π+isin32π
＝－23i．
故把复数3－3i对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i．
利用复数乘除法的几何意义求解复平面内的点所对应的复数时，要注意点Z所对应的复数就是向量OZ对应的复数，OZ常常转化为OZ＝OZ1+Z1Z．而求解向量Z1Z所对应的复数时，要注意它与已知(或可求)向量对应的复数之间的关系，即要明确模与辐角的变化，从而准确利用复数乘除法的几何意义求解．
[跟进训练]
3．(1)设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cs A＋isin A)÷(cs B＋isin B)·(cs C＋isin C)是一个实数，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不能确定
(2)(多选)在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是( )
A．1-32＋1+32i B．1+32＋1-32i
C．5-32＋3+32i D．5+32＋3-32i
(1)C (2)CD [(1)由题意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝π2．故选C．
(2)因为AB对应的复数为(3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，则AC对应的复数为(1＋i)(cs 60°＋isin 60°)＝1-32＋1+32i或(1＋i)[cs(－60°)＋isin(－60°)]＝1+32＋1-32i，所以OC＝OA+AC对应的复数为2＋i＋1-32＋1+32i或者2＋i＋1+32＋1-32i，
即5-32＋3+32i或5+32＋3-32i．故选CD．]
1．复数－3i的辐角主值为( )
A．－π2 B．3π2
C．－π2＋2kπ(k∈Z) D．3π2＋2kπ(k∈Z)
B [与－3i对应的点在负虚轴上，所以arg(－3i)＝32π．故选B．]
2．复数z＝1＋i(i为虚数单位)的三角形式为( )
A．z＝2(sin 45°＋ics 45°)
B．z＝2(cs 45°＋isin 45°)
C．z＝2[cs (－45°)－isin(－45°)]
D．z＝2[cs (－45°)＋isin(－45°)]
B [依题意得r＝12+12＝2，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cs θ＝22，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确．故选B．]
3．在复平面中，把复数z＝2＋2i对应的向量按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为( )
A．2+22＋2+22i B．2-22＋2+22i
C．1＋2＋(1＋2)i D．1－2＋(1＋2)i
D [依题意，旋转后的向量对应的复数为(2＋2i)·(cs 45°＋isin 45°)＝1－2＋(1＋2)i．故选D．]
4．计算cs23π+isin 23π÷2csπ6+isinπ6＝________．
12i [原式＝12cs23π-π6+isin23π-π6＝12csπ2+isin π2＝12i．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．复数三角形式中的辐角和辐角主值有什么区别与联系？
[提示]
2．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cs θ＋isin θ)时，要注意什么？
[提示] 将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cs θ＋isin θ)时，要注意：
(1)r＝a2+b2．
(2)cs θ＝ar，sin θ＝br，其中θ终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．若tan θ＝ba(a≠0)，θ终边所在象限与点(a，b)所在象限一致．当a＝0，b>0时，arg z＝π2．
3．用复数的三角形式乘除法的几何意义解题时关键把握哪些量的变化？
[提示] 运用复数乘除法的几何意义解题，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系．
课时分层作业(二十) 复数的三角表示
一、选择题
1．(多选)复数z＝2-2i的三角形式可以是( )
A．2csπ4+isinπ4
B．2cs3π4+isin3π4
C．2cs7π4+isin7π4
D．2cs-π4+isin-π4
CD [∵r＝22+-22＝2，
cs θ＝22，sin θ＝－22，
∴θ可取7π4或－π4．]
2．复数z＝2cs75°+isin 75°cs30°+isin 30°的代数形式为( )
A．1－i B．1＋i
C．1 D．i
B [z＝2cs75°+isin 75°cs30°+isin 30°
＝2[cs(75°－30°)＋isin(75°－30°)]
＝2(cs 45°＋isin 45°)＝1＋i．故选B．]
3．复数z＝3+i1+2i，将复数z对应向量按逆时针方向旋转π4，所得向量对应的复数为( )
A．2B．2i
C．1 D．i
A [z＝3+i1+2i＝1－i，
又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转π4，
∴旋转后的向量对应复数(1－i)csπ4+isinπ4
＝(1－i)22+22i＝2．]
4．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
D [sin 50°－isin 140°
＝cs (270°＋50°)＋isin (180°＋140°)
＝cs 320°＋isin 320°．]
5．(多选)已知复数z对应的向量为OZ，复数z1＝(－1－3i)z对应的向量为OZ1，复数z2＝14-34iz对应的向量为OZ2，则下列说法正确的是( )
A．将OZ的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转4π3可得到OZ1
B．将OZ的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转4π3可得到OZ1
C．将OZ的模缩小为原来的12，再逆时针旋转π3可得到OZ2
D．将OZ的模缩小为原来的12，再顺时针旋转π3可得到OZ2
AD [因为(－1－3i)z＝2z-12-32i
＝2zcs4π3+isin4π3，14-34iz
＝12z12-32i
＝12zcs5π3+isin5π3．故选AD．]
二、填空题
6．若|z|＝2，arg z＝π3，则复数z＝________．
1＋3i [由题意知，z＝2csπ3+isinπ3＝1＋3i．]
7．arg-12-32i＝________．
4π3 [复数z＝－12－32i对应的点位于第三象限，且cs θ＝－12，所以arg-12-32i＝4π3．]
8．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．
22csπ4+isinπ4 [∵(1＋i)z＝i，
∴z＝i1+i＝i1-i2＝12(1＋i)
＝22csπ4+isinπ4．]
三、解答题
9．设复数z＝(1－3i)5，求z的模和辐角的主值．
[解] ∵z＝(1－3i)5＝2512-32i5
＝32cs53π+isin5π35＝32cs25π3+isin25π3
＝32csπ3+isinπ3，
∴复数z的模为32，辐角的主值为π3．
10．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是3π2，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2 D．－3
B [因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝3π2，
所以a2-1=0，a＜0，所以a＝－1，故选B．]
11．“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定有z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，z1与z2的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立．综上，“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的充分不必要条件．故选A．]
12．(多选)下列各角可以作为复数33－3i的辐角的是( )
A．－π6B．11π6
C．－π3D．5π3
AB [依题意得，r＝332+-32＝6，
cs θ＝336＝32，复数33－3i对应的点在第四象限，所以arg(33－3i)＝11π6，
所以2kπ＋11π6(k∈Z)都可以作为复数33－3i的辐角．故选AB．]
13．设复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，则tan (α＋β)＝________．
1 [因为复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ＝1．]
14．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z2对应的复数z2＝1＋3i，求Z1和Z3分别对应的复数z1，z3．
[解] 根据题意画出草图，如图所示．
由复数运算的几何意义知z1＝12·z2·[cs -π4＋isin -π4]
＝22(1＋3i)22-22i
＝3+12＋3-12i，
z3＝12·z2·csπ4+isinπ4
＝22(1＋3i)22+22i
＝1-32＋1+32i．
15．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，并证明S△AOB＝12|α|2．
[解] △AOB为等腰直角三角形．
证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，
∴βα＝1＋i＝2csπ4+isinπ4，
∴∠AOB＝π4．
∵OA，AB分别表示复数α，β－α，
由β－α＝αi，得β-αα＝i＝cs π2＋isin π2，
∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．
∴S△AOB＝12|OA|2＝12|α|2．
学习任务
1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．(数学抽象、逻辑推理)
2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．(数学抽象、直观想象)
区别
辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个
联系
θ＝2kπ＋arg z，k∈Z
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