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人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置第2课时导学案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置第2课时导学案，共18页。
有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽是多少？
如何才能正确地解决上述问题？
知识点 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．
1．某涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
D [没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．]
2．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．
722－2 [圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0距离为2+3+22＝722，则从村庄外围到小路的最短距离为722－2．]
类型1 圆的方程的实际应用
【例1】 某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
[解] 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有
A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，
D(－5，0)，E(5，0)．
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则有102+b2=r2， 02+b-42=r2，解得b=-10.5，r=14.5，
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m，3<3.1，
所以该船可以从桥下通过．
建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
[跟进训练]
1．如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m.
251 [如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝251(m)．]
类型2 直线与圆的方程的实际应用
【例2】 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？
[解] (1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则F=0， 402+402+40D+40E+F=0，202+20D+F=0，
解得D=-20，E=-60，F=0，
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)该船初始位置为点D，则D(－20，－203)，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x－y＋20－203＝0，
由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝1010，
由于圆心C到直线l的距离
d＝10-30+20-20312+12＝106＜1010，故该船有触礁的危险．
试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．
提示：(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
[跟进训练]
2．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，
即4x＋7y－28＝0.圆心(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝2842+72＝2865，而半径r＝3，
因为d>r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
1．一辆宽1.6 m的卡车，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的高度不得超过( )
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
B [如图，建立平面直角坐标系，
|OA|＝3.6，|AB|＝0.8，
则|OB|＝3.62-0.82≈3.5，
所以卡车的高度不得超过3.5 m．]
2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是( )
A．π4 B．3π4 C．3π2 D．π
D [如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的14.
]
3．已知圆C：(x－1) 2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________．
-∞，-524∪524，+∞ [由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝a5(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，
所以d＝3aa2+-52≥1，
即a≥524或a≤－524．]
4．如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为________米．
13 [如图，设圆心为O，半径为r，
则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝132，所以拱桥的直径为13米．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用坐标法解答几何问题？
提示：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
2．用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？
提示：
课时分层作业(二十二) 直线和圆的方程的实际应用
一、选择题
1．已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A．62－2 B．8 C．46 D．10
B [易知点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5，7)的距离为
5+12+7+12＝10，所以最短路程为10－2＝8．]
2．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为( )
A．6 km B．(42－1)km
C．(42＋1)km D．4 km
B [以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y－8＝0.
易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，|DE|的最小值为0+0-82－1＝(42－1)(km)．
故|DE|的最小值为(42－1)km．]
3．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝43x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为( )
A．6 B．8 C．10 D．16
AD [设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为m+4-12+432＝32，得m＝－32或m＝－132，
∴该圆运动的时间为32--320.5＝6(s)或32--1320.5＝16(s)．]
4．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为( )
A．3－2 B．3＋2
C．3－22 D．3-22
A [由已知得曲线为圆，圆心为(1，0)，半径为r＝1，
直线AB的方程为x-2＋y2＝1，即x－y＋2＝0，
|AB|＝4+4＝22，圆心到直线AB的距离d＝32＝322，
公园边上任意一点P到直线AB的距离的最小值为d′＝d－r＝322－1，所以舞台面积的最小值为S＝12|AB|d′＝3－2，故选A．]
5．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为( )
A．(126－24)m B．(126＋24)m
C．(24－126)m D．不确定
A [如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6)．
设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为A，B，P在此圆上，故有
182-18D+F=0，182+18D+F=0，62+6E+F=0， 解得D=0，E=48，F=-324.
故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.
将点P2的横坐标x＝6代入上式，
结合图形解得y＝－24＋126.
故支柱A2P2的长为(126－24)m．]
二、填空题
6．(2022·浙江温州期中)已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为________米．
392 [建立如图所示的平面直角坐标系，O为圆心，易得半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，A(2.5，0)，因为B在半圆上，且BA⊥x轴，所以yB2＝16－2.52＝9.75，即yB＝392.
故车辆的最大高度为392米．]
7．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为________h．
1 [如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，BN＝BM，△ABE为等腰直角三角形，因为AB＝40，所以BE＝202km，
在Rt△BEN中，NE＝BN2-BE2＝10，则|MN|＝20，所以时间为1 h．]
三、解答题
8．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
[解] 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为xa＋yb＝1(a>3，b>3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.
依题意，有aba2+b2=3，a2+b2+a3v=bv.
解得a=5，b=3.75.
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇．
9．(2022·浙江精诚联盟高二上联考)某风暴中心位于某海礁A处，距离风暴中心A正西方向150 km的B处有一艘轮船，正以北偏东θ(θ为锐角)方向航行，速度为30 km/h．已知距离风暴中心753 km以内的水域受其影响．
(1)若轮船不被风暴影响，求角θ的正切值的最大值；
(2)若轮船航行方向为北偏东45°，求轮船被风暴影响的持续时间．
[解] (1)以A为原点，BA的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系(图略)．
设圆A为以坐标原点为圆心，753为半径的圆，要使轮船不被风暴影响，则当航行路线正好与圆A相切时，角θ最大．
此时由|AB|＝150，r＝753，得θ＝π6，tan θ＝33，
即角θ的正切值最大为33.
(2)由题意知航行路线所在直线的方程为x－y＋150＝0，圆心A到该直线的距离为d＝1502＝752，
所以该直线与圆A相交的弦长为2r2-d2＝150，即轮船被风暴影响的持续时间为15030＝5(h)．
10．(2022·四川成都七中高二期中)德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大．人们称之为米勒定理．已知点D，E的坐标分别是(0，1)，(0，3)，F是x轴正半轴上的一动点，当∠DFE最大时，点F的横坐标为( )
A．1 B．2 C．3 D．2
C [因为点D，E是y轴正半轴上的两个定点，点F是x轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理可知，当△DEF的外接圆与x轴相切于点F时，∠DFE最大，此时外接圆圆心的横坐标与F点的横坐标相同．又弦DE的垂直平分线必过△DEF的外接圆圆心，所以弦DE的中点G的纵坐标即为△DEF外接圆半径的大小，即r＝2.设△DEF的外接圆的圆心为(a，2)，其中a>0，则a2＋DE22＝r2，即a2＋12＝22，所以a＝3，即点F的横坐标为3.故选C．]
11．如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m的人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m．(精确到0.01 m，51≈7.141)
3．97 [建立如图所示的平面直角坐标系，
设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2＋(y－b)2＝r2.
将P(0，2)，D(4，0)的坐标代入以上方程，
解得b＝－3，r＝5，
故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25.
过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，由题意设N点坐标为(－3.5，h)，即-72，h，
将N-72，h代入圆O1的方程，整理得(h＋3)2＝514，
解得h＝512－3≈7.1412－3＝0.570 5，
即|MN|＝0.570 5，
则|EN|＝4＋0.570 5＝4.570 5，
从而车辆的限高为4.570 5－0.6≈3.97(m)．]
12．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约________秒．(精确到0.1)
4.4 [以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得出直线PQ的方程为y－10＋t＝20-2.5t20(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1.
由直线PQ与圆O有公共点，
可得2.5t-202-t+101+20-2.5t202≤1，
化为3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤87-83，而87-83≈4.4，
因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒．]
13．如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝43.
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
[解] (1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知，A(0，60)，C(170，0)，
直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－43.
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率kAB＝34.
设点B的坐标为(a，b)，
则kBC＝b-0a-170＝－43，①
kAB＝b-60a-0＝34，②
联立①②解得a＝80，b＝120.
所以BC＝170-802+0-1202＝150.
因此新桥BC的长为150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，
OM＝d m(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为y＝－43(x－170)，
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即r＝3d-68042+32＝680-3d5.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以r-d≥80， r-60-d≥80，
即680-3d5-d≥80， 680-3d5-60-d≥80，
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝680-3d5最大，即圆面积最大．
所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．
14．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示(单位：cm)，四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B，C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tan α＝43，tan β＝34，则该零件的截面的周长为________．(结果保留π)
84＋6π [以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则直线AB的方程为4x＋3y＝0，直线CD的方程为3x－4y－105＝0，直线EF的方程为y＝12，设圆心为O(a，b)，则圆心到直线AB，直线CD，直线y＝12的距离均相等且等于r，则r＝4a+3b5＝3a-4b-1055＝|12－b|，解得a＝15，b＝0，r＝12，
易得AB＝3a5＝9，CD＝435-a5＝16，BC对应弧长为14圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋2πr4＝84＋6π．]
学习任务
1．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模、数学运算)
2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．(直观想象)
有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽是多少？
如何才能正确地解决上述问题？
知识点 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．
1．某涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
D [没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．]
2．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．
722－2 [圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0距离为2+3+22＝722，则从村庄外围到小路的最短距离为722－2．]
类型1 圆的方程的实际应用
【例1】 某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
[解] 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有
A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，
D(－5，0)，E(5，0)．
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则有102+b2=r2， 02+b-42=r2，解得b=-10.5，r=14.5，
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m，3<3.1，
所以该船可以从桥下通过．
建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
[跟进训练]
1．如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m.
251 [如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝251(m)．]
类型2 直线与圆的方程的实际应用
【例2】 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？
[解] (1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则F=0， 402+402+40D+40E+F=0，202+20D+F=0，
解得D=-20，E=-60，F=0，
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)该船初始位置为点D，则D(－20，－203)，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x－y＋20－203＝0，
由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝1010，
由于圆心C到直线l的距离
d＝10-30+20-20312+12＝106＜1010，故该船有触礁的危险．
试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．
提示：(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
[跟进训练]
2．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，
即4x＋7y－28＝0.圆心(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝2842+72＝2865，而半径r＝3，
因为d>r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
1．一辆宽1.6 m的卡车，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的高度不得超过( )
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
B [如图，建立平面直角坐标系，
|OA|＝3.6，|AB|＝0.8，
则|OB|＝3.62-0.82≈3.5，
所以卡车的高度不得超过3.5 m．]
2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是( )
A．π4 B．3π4 C．3π2 D．π
D [如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的14.
]
3．已知圆C：(x－1) 2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为________．
-∞，-524∪524，+∞ [由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝a5(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，
所以d＝3aa2+-52≥1，
即a≥524或a≤－524．]
4．如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为________米．
13 [如图，设圆心为O，半径为r，
则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝132，所以拱桥的直径为13米．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用坐标法解答几何问题？
提示：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
2．用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？
提示：
课时分层作业(二十二) 直线和圆的方程的实际应用
一、选择题
1．已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A．62－2 B．8 C．46 D．10
B [易知点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5，7)的距离为
5+12+7+12＝10，所以最短路程为10－2＝8．]
2．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为( )
A．6 km B．(42－1)km
C．(42＋1)km D．4 km
B [以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y－8＝0.
易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，|DE|的最小值为0+0-82－1＝(42－1)(km)．
故|DE|的最小值为(42－1)km．]
3．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝43x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为( )
A．6 B．8 C．10 D．16
AD [设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为m+4-12+432＝32，得m＝－32或m＝－132，
∴该圆运动的时间为32--320.5＝6(s)或32--1320.5＝16(s)．]
4．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为( )
A．3－2 B．3＋2
C．3－22 D．3-22
A [由已知得曲线为圆，圆心为(1，0)，半径为r＝1，
直线AB的方程为x-2＋y2＝1，即x－y＋2＝0，
|AB|＝4+4＝22，圆心到直线AB的距离d＝32＝322，
公园边上任意一点P到直线AB的距离的最小值为d′＝d－r＝322－1，所以舞台面积的最小值为S＝12|AB|d′＝3－2，故选A．]
5．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为( )
A．(126－24)m B．(126＋24)m
C．(24－126)m D．不确定
A [如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6)．
设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为A，B，P在此圆上，故有
182-18D+F=0，182+18D+F=0，62+6E+F=0， 解得D=0，E=48，F=-324.
故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.
将点P2的横坐标x＝6代入上式，
结合图形解得y＝－24＋126.
故支柱A2P2的长为(126－24)m．]
二、填空题
6．(2022·浙江温州期中)已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为________米．
392 [建立如图所示的平面直角坐标系，O为圆心，易得半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，A(2.5，0)，因为B在半圆上，且BA⊥x轴，所以yB2＝16－2.52＝9.75，即yB＝392.
故车辆的最大高度为392米．]
7．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为________h．
1 [如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，BN＝BM，△ABE为等腰直角三角形，因为AB＝40，所以BE＝202km，
在Rt△BEN中，NE＝BN2-BE2＝10，则|MN|＝20，所以时间为1 h．]
三、解答题
8．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
[解] 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为xa＋yb＝1(a>3，b>3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.
依题意，有aba2+b2=3，a2+b2+a3v=bv.
解得a=5，b=3.75.
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇．
9．(2022·浙江精诚联盟高二上联考)某风暴中心位于某海礁A处，距离风暴中心A正西方向150 km的B处有一艘轮船，正以北偏东θ(θ为锐角)方向航行，速度为30 km/h．已知距离风暴中心753 km以内的水域受其影响．
(1)若轮船不被风暴影响，求角θ的正切值的最大值；
(2)若轮船航行方向为北偏东45°，求轮船被风暴影响的持续时间．
[解] (1)以A为原点，BA的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系(图略)．
设圆A为以坐标原点为圆心，753为半径的圆，要使轮船不被风暴影响，则当航行路线正好与圆A相切时，角θ最大．
此时由|AB|＝150，r＝753，得θ＝π6，tan θ＝33，
即角θ的正切值最大为33.
(2)由题意知航行路线所在直线的方程为x－y＋150＝0，圆心A到该直线的距离为d＝1502＝752，
所以该直线与圆A相交的弦长为2r2-d2＝150，即轮船被风暴影响的持续时间为15030＝5(h)．
10．(2022·四川成都七中高二期中)德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大．人们称之为米勒定理．已知点D，E的坐标分别是(0，1)，(0，3)，F是x轴正半轴上的一动点，当∠DFE最大时，点F的横坐标为( )
A．1 B．2 C．3 D．2
C [因为点D，E是y轴正半轴上的两个定点，点F是x轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理可知，当△DEF的外接圆与x轴相切于点F时，∠DFE最大，此时外接圆圆心的横坐标与F点的横坐标相同．又弦DE的垂直平分线必过△DEF的外接圆圆心，所以弦DE的中点G的纵坐标即为△DEF外接圆半径的大小，即r＝2.设△DEF的外接圆的圆心为(a，2)，其中a>0，则a2＋DE22＝r2，即a2＋12＝22，所以a＝3，即点F的横坐标为3.故选C．]
11．如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m的人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m．(精确到0.01 m，51≈7.141)
3．97 [建立如图所示的平面直角坐标系，
设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2＋(y－b)2＝r2.
将P(0，2)，D(4，0)的坐标代入以上方程，
解得b＝－3，r＝5，
故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25.
过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，由题意设N点坐标为(－3.5，h)，即-72，h，
将N-72，h代入圆O1的方程，整理得(h＋3)2＝514，
解得h＝512－3≈7.1412－3＝0.570 5，
即|MN|＝0.570 5，
则|EN|＝4＋0.570 5＝4.570 5，
从而车辆的限高为4.570 5－0.6≈3.97(m)．]
12．如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约________秒．(精确到0.1)
4.4 [以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得出直线PQ的方程为y－10＋t＝20-2.5t20(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1.
由直线PQ与圆O有公共点，
可得2.5t-202-t+101+20-2.5t202≤1，
化为3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤87-83，而87-83≈4.4，
因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒．]
13．如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝43.
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
[解] (1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知，A(0，60)，C(170，0)，
直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－43.
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率kAB＝34.
设点B的坐标为(a，b)，
则kBC＝b-0a-170＝－43，①
kAB＝b-60a-0＝34，②
联立①②解得a＝80，b＝120.
所以BC＝170-802+0-1202＝150.
因此新桥BC的长为150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，
OM＝d m(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为y＝－43(x－170)，
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即r＝3d-68042+32＝680-3d5.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以r-d≥80， r-60-d≥80，
即680-3d5-d≥80， 680-3d5-60-d≥80，
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝680-3d5最大，即圆面积最大．
所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．
14．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示(单位：cm)，四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B，C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tan α＝43，tan β＝34，则该零件的截面的周长为________．(结果保留π)
84＋6π [以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则直线AB的方程为4x＋3y＝0，直线CD的方程为3x－4y－105＝0，直线EF的方程为y＝12，设圆心为O(a，b)，则圆心到直线AB，直线CD，直线y＝12的距离均相等且等于r，则r＝4a+3b5＝3a-4b-1055＝|12－b|，解得a＝15，b＝0，r＝12，
易得AB＝3a5＝9，CD＝435-a5＝16，BC对应弧长为14圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋2πr4＝84＋6π．]
学习任务
1．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模、数学运算)
2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．(直观想象)
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