4.1.3　幂函数

课标要求　1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.

素养要求　以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.

自 主 梳 理

1.幂函数

当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数.

2.实数次幂函数y＝xα的性质(α≠0)

(1)当α>0时，它在[0，＋∞)有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点；

(2)当α<0时，它在(0，＋∞)有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近.

3.幂函数的图象与性质

(1)五个幂函数的图象：

温馨提醒　幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.

(2)幂函数的性质：

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)函数y＝x2是幂函数.(√)

(2)幂函数的图象都过点(1，1).(√)

2.下列所给的函数中是幂函数的为(　　)

A.y＝2x5   B.y＝x3＋1

C.y＝x－3   D.y＝3x

答案　C

解析　选项C符合y＝xα的形式，

对于A系数不为1，

B中含有常数项，

而D不符合y＝xα的形式.

3.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________.

答案　9

解析　由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，

故f(－3)＝(－3)2＝9.

4.3.17－1与3.71－1的大小关系为___________________________.

答案　3.17－1>3.71－1

题型一　幂函数的概念

例1 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)

A.0   B.1 

C.2   D.3

(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.

答案　(1)B　(2)5或－1

解析　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.

(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.

思维升华　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.

训练1 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.

解　根据幂函数定义得，

m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数，

当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求.∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.

题型二　幂函数的图象及应用

例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)

A.－2，－，，2 B.2，，－，－2

C.－，－2，2， D.2，，－2，－

答案　B

解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.

思维升华　解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：

①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).

(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断.

训练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A.－1<n<0<m<1 B.n<－1，0<m<1

C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1

答案　B

解析　在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.

根据点低指数大，有0<m<1，n<－1.

题型三　幂函数的性质及应用

例3 比较下列各组数中两个数的大小：

(1)与；(2)与.

解　(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，且>，所以>.

(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，且－<－，

所以>.

思维升华　比较幂值大小的两种基本方法

训练3 比较下列各组数的大小：

(1)与；(2)－3.143与－π3.

解　(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且>，

∴>.

(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，

∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.

[课堂小结]

1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.

2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方向考查：(1)α>0时，图象过(0，0)，(1，1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.

(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸.

一、基础达标

1.下列函数是幂函数的是(　　)

A.y＝5x   B.y＝x5

C.y＝5x   D.y＝(x＋1)3

答案　B

解析　函数y＝5x的底数是常数，指数是自变量x，不是幂函数；

函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；

函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；

函数y＝x5是幂函数.

2.函数y＝x的图象大致是(　　)

答案　B

解析　函数y＝x＝的定义域为R，且此函数在定义域上是增函数，排除A，C.

另外，因为>1，在第一象限图象下凸.故选B.

3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)

A.n<m<0   B.m<n<0

C.n>m>0   D.m>n>0

答案　A

解析　由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.

由幂函数图象的特点知n<m，故n<m<0.

4.幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　　)

A.0   B.1 

C.2   D.0或1

答案　A

解析　因为f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以m－2<0，故m<2.

又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，

当m＝0时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；

当m＝1时，f(x)＝x－1，f(－x)≠f(x)，不符合题意.

综上知，m＝0.

5.(多选)已知不相等的实数a，b满足等式a＝b，则下列结论可能成立的是(　　)

A.0<b<a<1   B.－1<a<b<0

C.1<a<b   D.－1<b<a<0

答案　AC

解析　首先画出y1＝x与y2＝x的图象(如图)，已知a＝b＝m，作直线y＝m.

若m＝0或1，则a＝b；若0<m<1，

则0<b<a<1；

若m>1，则1<a<b.由图象知，成立的是A，C.

6.幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则满足f(x)＝－27的x值等于________.

答案　－

解析　设f(x)＝xα，

由题意可知2α＝，α＝－3，

即f(x)＝x－3.

由x－3＝－27可知x＝－.

7.幂函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.

答案　2

解析　∵f(x)＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，

∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.

当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，

当m＝－1时，f(x)＝x0＝1不符合题意.

综上可知m＝2.

8.给出以下结论：

①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；

③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.

则正确结论的序号为________.

答案　④

解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；

当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故②不正确；

幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确.④正确.

9.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2+m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数？

解　(1)若函数f(x)为正比例函数，则

∴m＝1.

(2)若函数f(x)为反比例函数，则

∴m＝－1.

(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±.

10.比较下列各组中两个值的大小：

(1)1.5与1.6；(2)0.61.3与0.71.3；

(3)3.5－与5.3－；(4)0.18－0.3与0.15－0.3.

解　(1)∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.5＜1.6，∴1.5＜1.6.

(2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6＜0.7，∴0.61.3＜0.71.3.

(3)∵幂函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，且3.5＜5.3，∴3.5－＞5.3－.

(4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18＞0.15，∴0.18－0.3＜0.15－0.3.

二、能力提升

11.对于幂函数f(x)＝x，若0<x1<x2，则f，的大小关系是(　　)

A.f> B.f<

C.f＝ D.无法确定

答案　A

解析　幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，大致图象如图所示.设A(x1，0)，C(x2，0)，其中0<x1<x2，则AC的中点E的坐标为，|AB|＝f(x1)，|CD|＝f(x2)，|EF|＝f.

∵|EF|>(|AB|＋|CD|)，

∴f>，故选A.

12.已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)<f(a＋1)，则a的取值范围是________.

答案　(3，5]

解析　因为f(x)＝x(x≥0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

又f(10－2a)<f(a＋1)，

所以解得

所以3<a≤5.

13.已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{m|－2<m<2，m∈Z}，满足：

(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；

(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.

解　因为m∈{m|－2<m<2，m∈Z}，所以m＝－1，0，1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.

当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；

当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.

当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].

三、创新拓展

14.(多选)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m可等于(　　)

A.－1   B.0 

C.1   D.3

答案　ACD

解析　∵幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，

∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，

由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，

又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3.

当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；

当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；

当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；

当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；

当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意.