2.3.2　一元二次不等式的应用

课标要求　能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.

素养要求　通过认识一元二次不等式模型的重要性，发展学生的数学建模及数学运算素养.

自 主 梳 理

1.一元二次不等式模型

根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或用配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响.

2.利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是：

(1)理解题意，分析清楚量与量之间的关系；

(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；

(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)利用一元二次不等式解实际问题时，要注意实际问题的意义.(√)

(2)解实际应用问题的一般步骤是：审题—建模—解模—还原.(√)

(3)与二次函数有关的实际问题，其最值一定在对称轴处取到.(×)

提示　要先确定自变量范围和开口方向，也可能在端点取到.

2.一服装厂生产某种风衣，日产量为x(x∈N)件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p＝160－2x，R＝500＋30x，要使获得的日利润不少于1 300元，则x的取值范围是(　　)

A.{x∈N|0<x<45} B.{x∈N|0<x≤45}

C.{x∈N|0<x≤20} D.{x∈N|20≤x≤45}

答案　D

解析　由题意设日利润为y元，

则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，

由y≥1 300，解得20≤x≤45，

即x的取值范围为{x∈N|20≤x≤45}.

故选D.

3.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.

答案　2 500

解析　总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000

＝－(Q－300)2＋2 500，

当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.

题型一　实际问题中的范围问题

例1 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？

解　设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.

由题意，得70(100－10R)·R%≥112，

整理，得R2－10R＋16≤0.

因为Δ＝36>0，所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.

由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，

得不等式的解集为{R|2≤R≤8}.

所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元.

思维升华　解有关不等式应用题的步骤

(1)选用合适的字母表示题中的未知数.

(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组).

(3)解所列出的不等式(组).

(4)结合问题的实际意义写出答案.

训练1 某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？

解　如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，

因为|AB|＝400，∠BAx＝30°，

所以热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，x h后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处，

由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，

即(200)2＋(40x－200)2≤3502，

整理得16x2－160x＋375≤0，

解不等式，得3.75≤x≤6.25，

A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5，故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.

题型二　实际问题中的最值问题

例2 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险.

(1)若f(0)＝10，g(0)＝20，试解释它们的实际意义；

(2)设f(x)＝＋10，g(x)＝＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？

解　(1)f(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；

g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.

(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，

当且仅当成立.

故y≥(＋20)＋10，则4y－－60≥0，

所以(－4)(4＋15)≥0，得≥4，

故y≥16，x≥＋20≥24，

即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费.

思维升华　与最值相关的二次函数问题的解题方法

(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的二次函数，再通过配方求最值.

(2)需要注意二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则根据函数的增减情况确定在哪一个端点处取最值.

训练2 今有一长2米、宽1米的矩形铁皮，如图所示，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱(接口连接问题不考虑).

(1)求水箱容积的表达式f(x)；

(2)若要使水箱容积不大于4x3立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值.

解　(1)由已知得该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为(2－2x)米，宽(1－2x)米.

∴该水箱容积为f(x)＝(2－2x)(1－2x)x＝4x3－6x2＋2x.

其中正数x满足∴0<x<.

∴所求函数f(x)＝4x3－6x2＋2x，

0<x<.

(2)由f(x)≤4x3，得x≤0或x≥.

∵0<x<，

∴≤x<.

此时水箱的底面积为S(x)＝(2－2x)(1－2x)＝4x2－6x＋2，x∈.

由S(x)＝4－，

可知S(x)在上随x的增大而减小，

∴x＝时S(x)最大.

∴满足条件的x是米.

[课堂小结]

1.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.

2.解不等式实际应用题的解题思路

一、基础达标

1.若－2x2＋5x－2>0，则＋2|x－2|等于(　　)

A.4x－5   B.－3

C.3   D.5－4x

答案　C

解析　∵－2x2＋5x－2>0，∴<x<2，

∴2x>1，x<2，

原式＝|2x－1|＋2|x－2|

＝2x－1－2(x－2)＝3.

2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)

A.45.606万元   B.45.6万元

C.45.56万元   D.45.51万元

答案　B

解析　依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，

∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)

＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0).

∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元).

3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为(　　)

A.85元   B.90元 

C.95元   D.100元

答案　C

解析　设每个售价定为x元，

则利润y＝(x－80)[400－(x－90)×20]＝－20·[(x－95)2－225]，

∴当x＝95时，y最大.

4.已知某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天可售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价，则x的取值范围为(　　)

A.{x|x≤2}   B.{x|0<x≤2}

C.{x|0≤x≤2}   D.

答案　C

解析　由题意得，y＝100·100.

因为售价不能低于成本价，

所以100－80≥0，解得0≤x≤2.

5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)

A.[15，20]   B.[12，25]

C.[10，30]   D.[20，30]

答案　C

解析　依题意，设矩形高为y m，

则·x·(40－y)＋(40－x)·y＋xy＝×40×40，

即x＋y＝40，∴y＝40－x，

∴xy≥300，即x(40－x)≥300，

解得10≤x≤30.

6.一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130t－5t2，则t的范围是________.

答案　[0，26]

解析　令h≥0，解得0≤t≤26，

故所求范围为[0，26].

7.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.

答案　3

解析　设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y，

则y＝x·＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大.

8.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t变动的范围是________.

答案　[3，5]

解析　由题意可列不等式·24 000·t%≥9 000，

整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5.

9.某单位在对一个长为800 m、宽为600 m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.

解　设花坛宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，(0<x<300).

根据题意得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，

整理得x2－700x＋60 000≥0，

解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，

因此0<x≤100.

故当花坛的宽度在0<x≤100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.

10.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

解　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，

整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1).

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有

即

解得0<x<，

所以投入成本增加的比例应在内.

二、能力提升

11.大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，该门面经营的天数是(　　)

A.300   B.310 

C.325   D.405

答案　A

解析　由题意，总利润

y＝

当0≤x≤400时，

y＝－(x－300)2＋25 000，

所以当x＝300时，ymax＝25 000；

当x>400时，y＝60 000－100x<20 000.

综上，当门面经营的天数为300时，

总利润最大为25 000元.

12.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟，此时可食用率为________.

答案　3.75　

解析　根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，得

解得

∴p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－＋.

当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.

13.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：

(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

解　(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，

则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，

∵0＝300k＋b，即b＝－300k，

∴n＝k(x－300).

∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300])，

∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.

(2)由题意得

k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，

x2－400x＋37 500＝0，

解得x＝250或x＝150，

所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.

三、创新拓展

14.某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24).

(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？

解　(1)设t h后蓄水池中的水量为y吨，则y＝400＋60t－120，0≤t≤24，

令＝x，则x2＝6t，

∴t＝(0≤x≤12).

∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40.

∵0≤x≤12，

故当x＝6，即t＝6时，y的最小值为40.

故从供水开始到第6 h时，蓄水池中水量最少，为40吨.

(2)依题意并结合(1)，

令400＋10x2－120x<80，

得x2－12x＋32<0，解得4<x<8.

故16<x2<64.

∵x2＝6t，∴16<6t<64.∴<t<.

又－＝8，∴每天约有8 h供水紧张.