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    高中数学湘教版(2019)必修 第一册2.2 从函数观点看一元二次方程优质ppt课件

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    这是一份高中数学湘教版(2019)必修 第一册2.2 从函数观点看一元二次方程优质ppt课件,文件包含22从函数观点看一元二次方程doc、22从函数观点看一元二次方程pptx等2份课件配套教学资源,其中PPT共0页, 欢迎下载使用。

    2.2 从函数观点看一元二次方程

    课标要求 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数零点与方程根的关系.

    素养要求 从函数的观点研究一元二次方程根的情况,发展学生的直观想象及数学抽象素养.

    自 主 梳 理

    1.二次函数的零点

    (1)一般地,我们把使得ax2bxc0(a0)成立的实数x叫作二次函数yax2bxc零点.

    一元二次方程ax2bxc0的实根就是二次函数yax2bxc零点,也就是函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标.

    (2)关系:二次函数yax2bxc(a0)的零点一元二次方程ax2bxc0(a0)实数根二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标.

    温馨提醒 零点不是点,指的是一个实数.

    2.一元二次方程与对应的二次函数之间的关系

    判别式Δb24ac

    Δ>0

    Δ0

    Δ<0

    二次函数yax2bxc(a>0)的图象

    一元二次方程

    ax2bxc0

    (a>0)的根

    有两个相异实根x1x2(x1<x2)

    有两个相等实根x1x2=-

    没有实根

    自 主 检 验

    1.思考辨析,判断正误

    (1)所有的二次函数都有零点.(×)

    (2)若方程ax2bxc0(a0)有两个不等实根x1x2,则函数yax2bxc(a0)的零点为(x10)(x20).(×)

    (3)二次函数yx21的零点为-11.()

    (4)二次函数yax2bxc(a0),当Δ>0时有两个零点.()

    2.已知二次函数yx22x8,则它的零点为________.

    答案 -24

    解析 由x22x80(x4)(x2)0,解得x14x2=-2.

    3.二次函数yax2bx的图象恒过点________.

    答案 (00)

    解析 因为二次函数中常数项c0,故恒过点(00).

    4.若一个一元二次方程的两根为-13,则这个一元二次方程可以为________.

    答案 x22x30

    解析 由根与系数关系得x1x2=-2x1x2=-3,方程为x22x30.

    题型一 求二次函数的零点

    1 求下列函数的零点:

    (1)y3x2x4

    (2)y=-4x24x1.

     (1)3x2x40

    解得x1=-1x2

    所以函数y3x2x4的零点为-1.

    (2)令-4x24x10,解得x1x2

    所以函数y=-4x24x1的零点为.

    思维升华 求解二次函数的零点,即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根.

    训练1 x1x2是函数y2x24x1的两个零点,则的值为(  )

    A.6   B.4 

    C.3   D.

    答案 A

    解析 由题意可得,x1x22x1x2

    所以6,故选A.

    题型二 求二次函数的解析式

    2 根据下列条件,求二次函数的解析式.

    (1)图象过点(20)(40)(03)

    (2)图象的顶点为(12),且过点(04)

    (3)图象过点(11)(02)(35).

     (1)由题意,设二次函数的解析式为

    ya(x2)(x4)

    yax26ax8a

    图象过点(03)

    8a3,解得a.

    二次函数的解析式为

    y(x2)(x4)

    yx2x3.

    (2)由题意,设二次函数的解析式为

    ya(x1)22

    yax22axa2

    图象过点(04)a24,解得a2.

    二次函数的解析式为y2(x1)22

    y2x24x4.

    (3)由题意,设二次函数的解析式为

    yax2bxc

    则有

    二次函数的解析式为yx22x2.

    思维升华 先根据问题中给出的条件选用恰当的解析式,再用待定系数法求解.

    训练2 已知二次函数yax2bxc,当x2或-1y=-1,且yax2bxc的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.

     法一 利用二次函数的一般式求解.

    由题意得解得

    所求二次函数的解析式为

    y=-4x24x7.

    法二 利用二次函数的顶点式求解.

    ya(xm)2n(a0),由题意得抛物线的对称轴为直线x

    m.

    又函数的最大值为8

    n8ya8.

    x2时,y=-1

    a8=-1

    解得a=-4.

    所求二次函数的解析式为

    y=-48=-4x24x7.

    题型三 由二次函数的零点求参数的范围

    3 函数yx25x1m的两个零点均大于2,则实数m的取值范围是(  )

    A.   B.(5)

    C.   D.

    答案 C

     设函数的两个零点分别为x1x2

    函数yx25x1m的两个零点均大于2

    即方程x25x1m0的两根均大于2

    x12>0x22>0

    解得m<5

    实数m的取值范围是,故选C.

    思维升华 二次函数的零点分布问题,一般要结合二次函数图象得出开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数),由此列出不等式组进行求解.

    训练3 已知方程ax22x10至少有一个负根,则实数a的取值范围是(  )

    A.(01]   B.(1)

    C.(1]   D.(0)(01]

    答案 C

    解析 当a>0时,

    Δ44a00<a1

    此时方程的两根x1x2满足x1x2=-<0x1x2>0,方程有两负根,

    所以0<a1.

    a<0时,Δ44a>0,方程的两根x1x2满足x1x2<0,此时方程有一正根和一负根,满足题意.

    a0时,方程变为2x10,有一负根x=-,满足题意.

    故实数a的取值范围是(1].

    [课堂小结]

    1.对于函数yax2bxc,若它是二次函数,则必须满足a0.当题目条件中未说明a0时,就要分a0a0两种情况讨论.

    2.求二次函数的解析式一般采用待定系数法.当抛物线过三点时,可选用一般式;当已知条件与顶点坐标和对称轴有关时,可选用顶点式;当已知条件与x轴的交点坐标有关时,可选用零点式.

    3.在利用数形结合的思想解决与二次函数图象有关的问题时,只需要画出二次函数的大致图象(开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、特殊点)即可.

    4.常见误区:二次函数的零点是一个实数,误认为是点的坐标导致出错.

    一、基础达标

    1.函数y4x24x3的零点个数是(  )

    A.0   B.1

    C.2   D.无法确定

    答案 A

    解析 由y4x24x3知对应的方程为4x24x30,无实数根,故零点的个数为0.

    2.函数yx2a有两个零点,则a的取值范围是(  )

    A.[0,+)   B.(0)

    C.(0,+)   D.(0]

    答案 C

    解析 由x2a0有两个解得ax2

    y1ay2x2结合图象可知a>0满足条件.

    3.函数y2x2bxc的两个零点为-21,则函数的解析式为(  )

    A.y2x22x4   B.y2x22x4

    C.y2x22x4   D.y2x22x4

    答案 B

    解析 由题知2x2bxc0的两根为-21

    由根与系数的关系可知

    解之得

    y2x22x4.

    4.二次函数yax2bx2图象过点(14)(2,-2),则二次函数的解析式为(  )

    A.y2x24x2   B.yx22x2

    C.yx24x2   D.y2x24x2

    答案 D

    解析 把点(14)(2,-2)分别代入yax2bx2

    解之得

    解析式为y2x24x2.

    5.关于x的方程7x2(m13)xm20的一个根在(01)内,另一根在(12)内,则实数m的取值范围为(  )

    A.(4,-2)   B.(3,-2)

    C.(40)   D.(31)

    答案 A

    解析 设y7x2(m13)xm2,要使一根在(01)内,另一根在(12)内,结合图象则必有解之得-4<m<2.

    6.二次函数yx2ax(a22)的零点的个数为________.

    答案 0

    解析 由题知Δa24(2a2)=-3a28<0,故零点的个数为0.

    7.已知二次函数的图象经过点(14),且与x轴的交点为(10)(30),则该函数的解析式是________.

    答案 y=-x22x3

    解析 设二次函数的解析式为

    ya(x1)(x3)(a0)

    将点(14)代入得a=-1.

    y=-x22x3.

    8.x1x2是函数y5x23x2的两个零点,则的值为________.

    答案 -

    解析 因为x1x2是函数y5x23x2的两个零点,则x1x2是方程5x23x20的两个实数根,

    所以x1x2x1x2=-

    所以=-.

    9.已知抛物线过点(10)(27)(14),求其解析式.

     设抛物线的解析式为

    yax2bxc(a0)

    抛物线过点(10)(27)(14)代入解析式得

    解之得

    故解析式为yx22x.

    10.已知方程x2(2m3)xm2150的两个根一个大于-2,一个小于-2,求实数m的取值范围.

     设函数yx2(2m3)xm215

    则由题意:Δ(2m3)24(m215)>0

    x=-2时,y<0

    解得-1<m<5.

    m的取值范围为(15).

    二、能力提升

    11.已知二次函数yax2bxc满足a>b>c,且abc0,那么它的图象可能是下图中的(  )

    答案 A

    解析 因为a>b>c

    abc0a>0c<0,排除BC

    abc0

    图象过(10)点,故选A.

    12.函数y(1k)x22x1有两个不相等的零点,则实数k的取值范围________.

    答案 k<2k1

    解析 函数y(1k)x22x1有两个不相等的零点,

    即一元二次方程(1k)x22x10有两个不相等的实数根,

    解得k<2k1.

    13.已知函数yx2ax1.若不等式y0对一切x(01]恒成立.

    (1)求实数a的最小值;

    (2)若函数yx2ax1的一个零点比1大,另一个零点比1小,求实数a的取值范围.

     (1)函数yx2ax10对一切x(01]恒成立,即-ax对一切x(01]恒成立,

    yxx(01]

    yx2(当且仅当x1时等号成立)

    所以-a2,即a2

    所以a的最小值为-2.

    (2)若函数yx2ax1的一个零点比1大,另一个零点比1小,由二次函数的图象可知,

    x1时,y2a<0,即a<2.

    三、创新拓展

    14.已知y(xa)(xb)2(a<b),并且αβ是方程y0的两根(α<β),则实数abαβ的大小关系是(  )

    A.a<α<b<β   B.a<α<β<b

    C.α<a<b<β   D.α<a<β<b

    答案 C

    解析 设y1(xa)(xb)

    aby1(xa)(xb)的两个零点;

    函数y(xa)(xb)2的图象可以看成y1(xa)(xb)的图象向下平移2个单位得到,且a<bα<β,如图所示:

    α<a<b<βC选项是正确的.

     

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