进阶训练2(范围：2.1.2～2.1.3)

一、基础达标

1.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A.a2＋b2>2ab   B.a＋b≥2

C.＋≥2   D.＋≥

答案　C

解析　∵(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，因此A不正确；

取a，b<0时，a＋b≥2不成立；

∵ab>0，∴，>0，

∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号，C正确；

取a，b<0，＋≥不成立.故选C.

2.下列命题中正确的是(　　)

A.函数y＝x＋的最小值为2

B.函数y＝的最小值为2

C.函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4

D.函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4

答案　D

解析　对于函数y＝x＋，当x>0时，y≥2，当x<0时，y≤－2，无最小值，故A项不正确；

y＝＝＋≥2，

当且仅当＝1时取等号.

∵≥，∴取不到“＝”，

故B项不正确；

∵当x>0时，3x＋≥2＝4，

当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，

∴y＝2－有最大值2－4，故C项不正确，D项正确.

3.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)

A.2   B.3 

C.4   D.5

答案　D

解析　由3x＋y＝5xy，

得＝＋＝5，

所以4x＋3y＝(4x＋3y)·

＝≥×(4＋9＋2)＝5，

当且仅当＝，即y＝2x时“＝”成立，

故4x＋3y的最小值为5.

4.已知x，y∈R＋且x＋y＝4，则使不等式＋≥m恒成立的实数m的取值范围为(　　)

A.(2，＋∞)   B.

C.(3，＋∞)   D.

答案　D

解析　由题意知两个正数x，y满足x＋y＝4，

＋＝(x＋y)＝≥＝，

当且仅当x＝，y＝时取等号，∴m≤，故选D.

5.某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运(　　)

A.3年   B.4年

C.5年   D.6年

答案　C

解析　设二次函数y＝a(x－6)2＋11(a<0)，将点(4，7)代入，得a＝－1，

故二次函数为y＝－x2＋12x－25，

则年平均利润为

＝－＋12≤－2＋12＝2.

当且仅当x＝，即x＝5时，取等号，

∴每辆客车营运5年，年平均利润最大，最大值为2万元.

6.已知函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正实数m的值为________.

答案　4

解析　y＝x＋＝x－2＋＋2，

令t＝x－2.

∵t>0，m>0，

∴y＝f(t)＝t＋＋2≥2＋2

＝2＋2.

∵y的最小值为6，

∴2＋2＝6，解得m＝4，故答案为4.

7.已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________.

答案　(－10，＋∞)

解析　不等式2x＋m＋>0可化为

2(x－1)＋>－m－2.

∵x>1，

∴2(x－1)＋≥2＝8，

当且仅当x＝3时取等号.

∴不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，

∴－m－2<8，解得m>－10.

8.已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________.

答案　2－3

解析　∵正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，

∴y＝(0<x<2).

∴x＋y＝x＋＝x＋

＝x＋1＋－3≥2－3

＝2－3，

当且仅当x＝－1时取等号.

∴x＋y的最小值为2－3.

9.已知a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

证明　∵a，b，c均为正实数，

∴＋b≥2＝2a，

当且仅当a＝b时，等号成立，

＋c≥2＝2b，

当且仅当b＝c时，等号成立，

＋a≥2＝2c，当且仅当a＝c时，等号成立，

三式相加，

得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立，

∴＋＋≥a＋b＋c.

10.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3.

(1)求ab的取值范围；

(2)求a＋b的取值范围.

解　(1)∵正数a，b满足ab＝a＋b＋3，

∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，

即()2－2－3≥0，

解得≥3，即ab≥9，

当且仅当a＝b＝3时取等号，

∴ab∈[9，＋∞).

(2)∵正数a，b满足ab＝a＋b＋3，

∴a＋b＋3＝ab≤，

即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，

∴a＋b∈[6，＋∞).

二、能力提升

11.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________.

答案　1

解析　＝＝

≤＝1，

当且仅当x＝2y时等式成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.

12.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A.[3，＋∞)   B.(－∞，3]

C.(－∞，6]   D.[6，＋∞)

答案　D

解析　因为a>0，b>0，＋＝1，

所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，

由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，

即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，

所以x2－4x－2的最小值为－6，

所以－6≥－m，即m≥6.

13.某游泳馆要建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别是120元/平方米和80元/平方米.设底面一边的长为x米(长方体的容积是长方体的底面积乘长方体的高).

(1)当x＝1时，求池底的面积和池壁的面积；

(2)求总造价y(元)关于底面一边长x(米)的函数解析式；

(3)当x为何值时，总造价最低，最低造价为多少元？

解　(1)当x＝1时，池底的面积为＝4(平方米)，

池壁的面积为2×(8＋2)＝20(平方米).

(2)因为容积为8立方米，深为2米不变，

所以底面积为＝4(平方米)不变，

所以底面造价为120×4＝480(元).

因为深为2米，底面一边长x，底面积为4平方米，

所以另一边长为，则四面池壁的面积为2x×2＋2××2＝4x＋，

∴y＝80×＋480(x>0).

(3)由(2)知，y＝80×＋480≥80×2＋480＝1 760，当且仅当4x＝，即x＝2时，取得最小值1 760，

∴当x＝2时，总造价最低，最低造价为1 760元.

三、创新拓展

14.已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c<＋＋.

证明　因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，

所以＋≥＝2c，＋≥＝2a，

＋≥＝2b，

以上三个不等式相加，

得2≥2(a＋b＋c)，

即＋＋≥a＋b＋c.

因为a，b，c不全相等，

所以上述三个不等式中的“＝”不同时成立，

所以a＋b＋c<＋＋.