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数学九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程精品达标测试
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这是一份数学九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程精品达标测试，文件包含第10讲二次函数与一元二次方程3大考点解析版docx、第10讲二次函数与一元二次方程3大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共98页， 欢迎下载使用。
第10讲 二次函数与一元二次方程（3大考点）
考点考向
一、二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系.
（1） 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0 时，相应的自变量的值即是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为()，，那么对应方程 ax2+bx+c=0的两个根即为 ，结合一元二次方程根与系数关系可知
（3）二次函数与x轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表：
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点情况
a＞0
两个交点
一个交点
没有交点
a＜0
两个交点
一个交点
没有交点
的值
一元二次方程ax2+
bx+c=0根的情况
有两个不相等的实根
有两个相等的实根
没有实根
二、二次函数与不等式
二次函数与一元二次不等式解集的关系
（1）从“形”的方面看二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为ax2+bx+c>0的解集，在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为ax2+bx+c>0的解集；从“数”的方面看，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为不等式ax2+bx+c>0的解集，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为不等式ax2+bx+c<0的解集。
（2）二次函数与一元二次不等式的关系具体见下表：
抛物线的图象
时x的取值范围
或
全体实数
时x的取值范围
无解
无解
抛物线的图象
判别式b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
时x的取值范围
无解
无解
时x的取值范围
或
全体实数
考点精讲
一．抛物线与x轴的交点（共14小题）
1．（2022秋•通州区校级月考）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
2．（2022•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m为常数），它的图象与x轴的公共点个数的情况是（ ）
A．有两个公共点 B．有一个公共点
C．没有公共点 D．无法确定
【分析】先计算方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0的根的判别式得到Δ＝12＞0，然后根据根的判别式的意义判断抛物线与x轴的公共点的个数即可．
【解答】解：方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）＝12＞0，
∴方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0有两个不相等的实数解，
∴抛物线与x轴有2个公共点．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，反过来，通过抛物线与x轴的交点坐标确定关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
3．（2022秋•通州区校级月考）若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜且a≠0 B．a≤ C．a≤且a≠0 D．a≥
【分析】当抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点时，二次项系数不为零，且关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0的Δ≥0．
【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0且a≠0．
解得a≤且a≠0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．（2022•姜堰区二模）如果a是二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴交点的横坐标，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．7 D．9
【分析】令x2﹣x﹣2＝0，求出x的值，从而可得a的值，进而求解．
【解答】解：令x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴a＝2或a＝﹣1，
∴（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为1．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
5．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 ②③④ ．
【分析】根据函数的图象进行判断即可．
【解答】解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；
②图象关于原点中心对称，故②正确；
③当x＝﹣2时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣3，
∴函数的最大值是3，最小值是﹣3，故③正确；
④当x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查函数的图象，理解函数图象的意义以及函数的对称性以及增减性是正确判断的前提．
6．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．
【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．
【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，
∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，
∴m＞3，
故答案为：m＞3．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．
7．（2022•宿豫区校级开学）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
【分析】先利用对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），再把把C点坐标代入求得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x+3，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），所以PM＝﹣t2﹣3t，然后根据二次函数的性质求PM的最大值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵PM＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．（2022•邗江区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（ ）
A．15 B．18 C．23 D．32
【分析】当a＝﹣1时，y＝a﹣b+c，所以当抛物线顶点在M上时满足题意，抛物线顶点在R上时，由点B坐标可得y＝a（x﹣1）2﹣4中a的值，然后可得抛物线顶点在M上时的解析式，将x＝﹣1代入求解．
【解答】解：∵M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，
∴点N坐标为（﹣6，﹣4），
∵NR＝7，
∴点R坐标为（1，﹣4），
当抛物线顶点在R上时，y＝a（x﹣1）2﹣4，
由题意得此时点B坐标为（3，0），
将（3，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得0＝4a﹣4，
解得a＝1，
当抛物线顶点在M上时，抛物线解析式为y＝（x+6）2﹣2，
将x＝﹣1代入y＝（x+6）2﹣2得y＝52﹣2＝23，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的顶点式，掌握待定系数法求函数解析式．
9．（2022•高邮市模拟）若二次函数y＝a（x+m）2+b（a，m，b均为常数，a≠0）的图象与x轴两个交点的坐标是（﹣2，0）和（1，0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 x1＝﹣4，x2＝﹣1 ．
【分析】由抛物线y＝a（x+m+2）2+b是由抛物线y＝a（x+m）2+b向左平移2个单位所得，从而可得平移后抛物线与x轴交点坐标，进而求解．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x+m+2）2+b是由抛物线y＝a（x+m）2+b向左平移2个单位所得，
∴抛物线y＝a（x+m+2）2+b与x轴交点坐标为（﹣4，0），（﹣1，0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0的解是：x1＝﹣4，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象平移规律．
10．（2022•工业园区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 20 ．
【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解．
【解答】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点，
∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称，
∵D（6，4），
∴点C坐标为（0，4），
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
由B（8，0）可得点A坐标为（﹣2，0），
∴S△ABC＝AB•OC＝＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质．
11．（2022秋•通州区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝mx2﹣2mx﹣3求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标；
（2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用图象写出对应的x的范围．
【解答】解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，
抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以B点坐标为（﹣1，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
列表如下：
x
..．
﹣1
0
1
2
3
..．
y
..．
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
..．
描点、连线，
（3）由函数图象可知，当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
12．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小；
（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
（2）先求出y1﹣y2＝3a（a﹣1），然后分三种情况讨论即可；．
（3）先求出抛物线与x轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0＜x＜3范围内分a＞0和a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【解答】（1）证明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，
∵a≠0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1+a，
∵1≠1+a，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）∵点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，
∴y1＝a2+a，y2＝﹣2a2+4a．
∴y1﹣y2＝a2+a+2a2﹣4a＝3a2﹣3a．
∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2，
当a＝1时，y1＝y2，
当0＜a＜1时，y1＜y2；
（3）∵二次函数v＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），
整理可得：y＝ax2﹣a（a+2）x+a（a+1），
由（1）可知：当y＝0时，解得：x＝1，x＝1+a，
∴二次函数的图象交轴于（﹣1，0）和（1+a，0）两点，
对称轴x＝﹣＝，
当x＝时，
y＝a（﹣1）（﹣1﹣a）＝a××（﹣）＝﹣
∴二次函数图象的顶点坐标为（，﹣），
由（2）可知：当x＝0时，y1＝a2+a，
当t＝3时，y2＝﹣2a2+4a，
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
∵0＜x＜3，
∴，
解得：﹣2≤a≤1，
∴0＜a≤I，
当a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵对称轴x＝，
当0＜＜3，即_2＜a＜0时，
二次函数图象在顶点处取得最大值，
∴﹣＜2
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
当≤0，即a≤﹣2，
由题意可知，a2+a≤2，解得：﹣2≤a≤1，
即a＝﹣2，
综上所述，当0＜x＜3时，y＜2，a的取值范围是：﹣2≤a≤1，且a≠0．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x：轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式（组）等知识，采用了分情况讨论的解题方法，解题的关键是在某一范围内的函数最大值的确定．
13．（2022•盐城一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，3），与x轴负半轴交于点C，点D是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，连接BF，当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的坐标．
【分析】（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）先确定∠BAO＝45°，再由AE＝，则AF＝2，求出F（1，0），E（2，1），求出直线DF的解析式为y＝x﹣1，联立方程组，即可求D（，）．
【解答】解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵A（3，0）和B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴∠BAO＝45°，
∵DF⊥AB，
∴EF＝AE，
∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，
∴AE＝，
∴AF＝2，
∴F（1，0），
∴E（2，1），
∴设直线DF的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣1，
联立方程组，
解得x＝或x＝，
∵点D在第一象限，
∴x＝，
∴D（，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够正确利用待定系数法是解题的关键．
14．（2022•邗江区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是（3，0），点D是抛物线的顶点，点P是抛物线对称轴上的一个动点．
（1）求a的值和顶点D的坐标；
（2）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将点B代入解析式求得a的值，得到函数解析式，然后求得顶点的坐标；
（2）
【解答】解：（1）将点B（3，0）代入y＝﹣x2+2x+a，得﹣9+6+a＝0，
解得：a＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴函数的顶点D的坐标为（1，4）．
（2）记对称轴与x轴的交点为点H，则DH＝4，BH＝2，
∴BD＝2，tan∠BDH＝＜，
∴∠BDH＜30°，
∴∠D+∠DBP＝60°或∠D+∠DPB＝60°，点P在点D的下方，
设点P（1，p），则DP＝4﹣p，
①如图，当∠D+∠DBP1＝90°时，∠BP1H＝60°，
∴tan∠BP1H＝，
∴p＝，
∴点P1的坐标为（1，）；
②当∠D+∠DP2B＝60°时，∠DPB1＝∠DP2B，
∴△DBP1∽△DP2B，
∴，即，
解得：DP2＝，
∴P2（1，﹣），
综上所述，点P的坐标为（1，）或（1，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征求得二次函数的解析式．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共5小题）
15．（2021秋•沭阳县校级月考）根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
16．（2021秋•沭阳县月考）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
17．（2021•盐都区二模）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
0.04
0.59
1.16
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2，
故选：C．
【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
18．（2022秋•通州区校级月考）阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2＝0的根所在的范围．
第一步：画出函数y＝2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线．
第二步：因为当x＝0时，y＝﹣2＜0；当x＝1时，y＝1＞0，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1之间，所以可确定方程2x2+x﹣2＝0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x＝＝0.5，因为当x＝0.5时，y＝﹣1＜0，又因为当x＝1时，y＞0，所以0.5＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算验证2x2+x﹣2＝0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）小明在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小，得到的近似值约为﹣1.6，请问小明的这个结论是否正确，并说明理由．
【分析】（1）计算x＝﹣2和x＝﹣1时，y的值，确定其x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）先根据第三步﹣2和﹣1的平均数确定x＝﹣，计算x＝﹣时y的值，得﹣＜x2＜﹣1，即可判断小明的这个结论不正确．
【解答】解：（1）因为当x＝﹣2时，y＞0；当x＝﹣1时，y＜0，
所以方程2x2+x﹣2＝0的另一个根x2所在的范围是﹣2＜x2＜﹣1．
（2）小明的这个结论不正确，理由如下：
取x＝＝﹣，因为当x＝﹣时，y＝2×﹣﹣2＝1＞0，
又因为当x＝﹣1时，y＝﹣1＜0，
所以﹣＜x2＜﹣1．
故小明的这个结论不正确．
【点评】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合、
19．（2021秋•灌云县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
根据表格中的信息，完成下列各题
（1）当x＝3时，y＝ ﹣1 ；
（2）当x＝ 1 时，y有最 小 值为 ﹣2 ；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1 ＞ y2
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是 ﹣2≤y≤2 ．
【分析】（1）由表中给出的三组数据，列方程组求得二次函数的解析式，再求出x＝3时，y的值；
（2）实际上是求二次函数的顶点坐标；
（3）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；再进行判断即可；
（4）根据抛物线的顶点，当x＝5时，y最大，当x＝1时，y最小．
【解答】解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣，
当x＝3时，y＝＝﹣1；
（2）将y＝x2﹣x﹣配方得，y＝（x﹣1）2﹣2，
∵a＝＞0，∴函数有最小值，当x＝1时，最小值为﹣2；
（3）令y＝0，则x＝±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2
（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x＝5时，y最大，即y＝2；当x＝1时，y最小，即y＝﹣2，
∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2；
故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，是中考压轴题，难度较大．
三．二次函数与不等式（组）（共11小题）
20．（2022•淮阴区校级一模）已知关于x的一元二次方程为x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x2＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞4 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣2 D．x＞4
【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣4）＞0，求出解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4，
∴不等式x2+px+q＞0可化为（x+2）（x﹣4）＞0．
解得x＜﹣2或x＞4，
∴关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为x＜﹣2或x＞4．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，该题利用了“十字相乘法”对所求不等式进行转化．
21．（2021秋•徐州期末）如图，已知函数y1＝kx+b与y2＝ax2+bx+c的图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞4 D．0＜x＜4
【分析】根据图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：已知两函数图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，
∴当有y1＞y2时，有0＜x＜4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式组，利用数形结合思想是解题的关键．
22．（2022•秦淮区校级模拟）函数y＝﹣x3+x的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 x＜﹣1或0＜x＜1 ．
【分析】先解出方程﹣x3+x＝0，根据函数图象解答即可．
【解答】解：当y＝0时，﹣x3+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，x3＝﹣1，
由图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜1时，y＞0，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
23．（2022•惠山区一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】根据两图象交点横坐标求解．
【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3时，抛物线在直线下方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．
24．（2022秋•启东市校级月考）在学习一次函数时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程下面我们尝试利用之前的学习经验研究函数y＝x2的性质及其应用，请按要求完成下列各题．
（1）函数y＝x2中自变量x的取值范围是： x取任意实数 ．
（2）请同学们通过列表、描点、连线画出此函数的图象；
（3）根据函数图象，写出此函数的三条性质；
（4）写出不等式﹣x+6＜x2的解集．
【分析】（1）二次函数的自变量x的取值范围是任意实数；
（2）列表、描点、连线画出此函数的图象；
（3）结合图象可从函数的增减性及对称性等进行分析；
（4）再画出一次函数y＝﹣x+6的图象，利用数形结合进行解答即可．
【解答】解：（1）二次函数的自变量x的取值范围是任意实数，
故答案为：x取任意实数．
（2）列表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
4
1
0
1
4
…
描点、连线：
（3）答案不唯一，如：①图象关于y轴对称；
②此函数有最小值0；
③当x＞0时，y随x的增大而增大．
（4）如上图，再画出一次函数y＝﹣x+6的图象，
可以看出两个图象的交点坐标为（﹣3，9）和（2，4），
∴不等式﹣x+6＜x2的解集为：x＜﹣3或x＞2．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数的图象和性质问题，利用描点法画一次函数及反比例函数的图象是解答此题的关键．
25．（2022•建邺区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；
（2）找出函数值小于0时x的取值范围即可；
（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．
【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；
（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；
（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．
26．（2022•江都区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，交y轴于点（0，﹣1），有如下结论：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③若A（﹣3，y1），B（，y2）在该函数的图象上，则y1＞y2；④关于x的不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2．其中结论正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①②，根据点A，B到对称轴的距离及抛物线开口方向可判断③，由抛物线与y轴的交点及开口方向可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1
∴abc＜0，①正确，
∵b＝2a，
∴b﹣2a＝0，②正确．
∵A（﹣3，y1）到对称轴的距离小于B（，y2）到对称轴的距离，抛物线开口向上，
∴y1＜y2，③错误．
∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣2，﹣1），
∴不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2，④正确．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27．（2022秋•通州区校级月考）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与y轴交于点C，则不等式ax2﹣2ax＞0的解集是 0＜x＜2 ．
【分析】由图象可得a＜0，根据抛物线y＝ax2﹣2ax与x轴的交点坐标求解．
【解答】解：由抛物线开口向下可得a＜0，
设y＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），
则x＝0或x＝2时，y＝0，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax开口向下，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴0＜x＜2时，y＞0，
即不等式ax2﹣2ax＞0的解集是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
28．（2022•相城区校级自主招生）已知二次函数y＝ax2+c的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（﹣2，p），B（1，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：分两种情况：
①当a＞0时，当x＜﹣2或x＞1时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1；
②当a＜0时，当﹣2＜x＜1时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是﹣2＜x＜1．
综上，关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．
故答案为：x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
29．（2022秋•启东市校级月考）如图，直线y＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式x2+bx+c＞﹣2x+8的解集；
（3）若点C（1，y1），D（m，y2）都在抛物线上，当y2＞y1时，求m的取值范围．
【分析】（1）由一次函数解析式求出点A，B坐标，再通过待定系数法求解．
（2）由图象中抛物线在直线上方时x的取值范围求解．
（3）由抛物线解析式求出抛物线对称轴，根据点C坐标求出其关于抛物线对称轴的对称点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+8得y＝8，
∴点B的坐标为（0，8），
把y＝0代入y＝﹣2x+8得0＝﹣2x+8，
解得x＝4，
∴点A坐标为（4，0），
将（0，8），（4，0）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+8．
（2）由图象可得不等式x2+bx+c＞﹣2x+8的解集为x＜0或x＞4．
（3）∵y＝x2﹣6x+8，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝3，
点C（1，y1）关于对称轴的对称点C'坐标为（5，y1），
∵抛物线开口向上，
∴当y2＞y1时，m＜1或m＞5．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
30．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．
【分析】（1）将（1，0）、（0，﹣5）代入函数解析式求解．
（2）由抛物线解析式及x1+x2＝2，可得y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．
【解答】解：（1）将（1，0）、（0，﹣5）代入y＝x2﹣2（p+1）x+q得，
解得．
（2）由（1）得y＝x2+4x﹣5，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，
∴y1＝x+4x1﹣5，y2＝x+4x2﹣5，
∴y1+y2＝x+x+4（x1+x2）﹣10，
∵x1+x2＝2，
∴x2＝2﹣x1，
∴y1+y2＝x+（2﹣x1）2﹣2＝2x﹣4x1+2＝2（x1﹣1）2，
∵点A，B是图象上两点，
∴x1≠x2≠1，
∴y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握待定系数法求函数解析．
巩固提升
一、单选题
1．（2021·江苏宝应·九年级期中）根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
x
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
﹣0.02
0.01
0.03
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
【答案】B
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02<0；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01>0，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，掌握估算一元二次方程的近似解是解题关键．
2．（2021·江苏海安·九年级期中）若二次函数的图象与x轴相交于(1，0)，(4，0)两点，则一元二次方程的解为（ ）
A．x1= -1， x2= -4 B．x1= 1， x2= 4
C．x1= -1， x2= 4 D．x1= 1， x2= -4
【答案】B
【分析】根据二次函数与x轴的交点即可直接求得方程的解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于（1，0），（4，0）两点，
∴y=0时，即时，方程的解为：x1=1，x2=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
3．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；⑤（1+c）2＜b2．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①由函数 与x轴无交点，可得＜0．
②当x=1时，y=1+b+c=1．
③当x=3时，y=9+3b+c=3．
④当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得＜x，即可求出答案．
⑤根据对称轴方程得到b的值；由抛物线与y轴的交点坐标得到c的值，代入数值进行比较即可．
【详解】①∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4c＜0；
故①错误；
②当x＝1时，y＝1+b+c＝1，
故②错误；
③∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0；
故③正确；
④∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
⑤如图所示，抛物线与y轴的交点坐标是 ，则c＝3．
对称轴x＝ ＝ ，则b＝﹣3，
所以（1+c）2＝（1+3）2＝16，b2＝（﹣3）2＝9，
则（1+c）2＞b2，
故⑤错误．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数确定．
4．（2021·江苏灌云·九年级期中）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：
①；
②；
③若为任意实数，则有；
④若图象经过点，方程的两根为，，则．
其中正确的结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0，，
∴b=2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，
∴3a＜-c，故②正确；
∵x=-1时，y有最大值，
∴a-b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a-b≥am2+bm，即a-bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（-3，-2），方程ax2+bx+c+2=0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的另一个交点为（1，-2），
即x1=1，x2=-3，
∴2x1-x2=2-（-3）=5，故④正确．
所以正确的是②④；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级月考）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据得出，然后分和分别对应图像求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时：，
由图得：，
当时，，
有图得：(舍去)，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数综合，根据题意得出然后根据图形判断解集范围是解本题的关键．
6．（2021·江苏·南通市启秀中学九年级月考）如图所示是函数的部分图象，与轴交于点，对称轴是直线．下列结论：
（1）；（2）；（3）当时，；（4），（为任意实数）．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】先求出抛物线与轴的另一交点（-1，0），确定＞0， b＜0， c＜0符号，由符号法则可判断（1）正确；利用当=-1时的函数值可判断（2）正确；由时，抛物线图像在轴下方可判断（3）正确；当=1时，抛物线取最小值y=，利用函数图像上任意一点的函数值可判断（4）正确即可．
【详解】
解：∵与轴交于点，对称轴是直线，
设与轴另一交点为（n,0），
∴，
解得，
∴另一交点为（-1，0），
抛物线开口向上，＞0；对称轴在y轴右侧，b＜0，抛物线与y轴交点在轴下方，则c＜0，
∴，故（1）正确；
当=-1时，，故（2）正确；
当时，抛物线图象在x轴下方，即当时，，故（3）正确；
当=1时，抛物线取最小值=
设函数图像上任意一点的横坐标为m，
其函数值，整理得，故（4）正确
其中正确结论的个数有4个
故选择D．
【点睛】本题考查抛物线的符号，函数值，不等式问题，掌握抛物线的性质是解题关键．
7．（2021·江苏工业园区·九年级期中）如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜ B．＜m＜3 C．1＜m＜3 D．＜m＜1
【答案】B
【分析】根据图象可以判断当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．
【详解】解：y＝2x2﹣8x+6，令y＝0，即2x2﹣8x+6＝0，
解得x＝1或3，
则A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移两个单位得到C2，
则C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5），由图象知当直线y＝﹣x+m在过B点和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，
∴①当y＝﹣x+m与C2相切时，
令y＝﹣x+m＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6，即2x2﹣15x+30﹣m＝0，
∴△＝152-8（30-m）=8m﹣15＝0，
解得，
②当y＝﹣x+m'过点B时，即0＝﹣3+m'，
解得m'＝3，
综上，当时，直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选B．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
二、填空题
8．（2012·江苏·九年级期末）如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是_______________________．
【答案】或
【分析】找出二次函数的图象位于一次函数的图象的上方时，的取值范围即可得．
【详解】解：表示的是二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
，
使成立的的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，读懂函数图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
9．（2020·江苏·苏州市金阊实验中学校九年级期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是____________ ．
【答案】-1＜x＜5
【分析】观察图象知抛物线的对称轴及抛物线与x轴的一个交点坐标，由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点，再根据图象即可求得不等式的解集．
【详解】由题图可知，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为(5，0)
∴函数图象与轴的另一交点坐标为(，0)
∴不等式的解集是．
故条案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性质、借助二次函数图象解一元二次不等式，数形结合是本题的关键．
10．（2021·江苏高淳·九年级期中）已知二次函数y＝（x－1）（x－a）（a为常数）的图象的对称轴是过（2，0）且平行于y轴的直线，则a的值为___．
【答案】3
【分析】由题意根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
【详解】解：由二次函数y＝（x－1）（x－a）（a为常数）可知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴是过（2，0）且平行于y轴的直线，即x=2，
∴，解得a=3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，利用抛物线的轴对称性质是解决本题的关键．
11．（2021·江苏高淳·九年级期中）已知点P（－3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2＋bx－1的图像上．将这个二次函数图像向上平移____单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点．
【答案】3个
【分析】根据点P（－3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2＋bx－1的图像上，可求出 ，从而得到二次函数的解析式，再设将这个二次函数图像向上平移 个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，然后根据判别式的意义 ，即可求解．
【详解】解：∵点P（－3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2＋bx－1的图像上，
∴二次函数的对称轴为 ，
∴ ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
设将这个二次函数图像向上平移 个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，
则得到的函数解析式为，
∴ ，
解得： ，
即将这个二次函数图像向上平移3单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点．
故答案为：3个
【点睛】本题主要考查了抛物线与 轴的交点问题，熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点是解题的关键．
12．（2021·江苏·星海实验中学九年级期中）已知（a，0）（b，0）是抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴的两个交点，则ab＝_____．
【答案】-4
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题，得到a、b为方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
【详解】解：∵（a，0）（b，0）是抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴的两个交点，
∴a、b为方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，
∴ab＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
13．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是_______ ．
【答案】2≤m≤4
【分析】根据完美点的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根为，从而求得a＝﹣1，c＝，所以函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【详解】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，
又方程的根为，
解得a＝﹣1，c＝，
故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．
由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题的关键是能利用解一元二次方程求出二次函数的解析式，能利用二次函数图像的增减性求出自变量的取值范围，本题对学生的数形结合的能力有一定的要求．
14．（2021·江苏工业园区·九年级期中）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是_____．
【答案】﹣12＜t≤4
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象的交点横坐标，再由﹣2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解．
【详解】
解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴，
解得：b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象的交点横坐标，
∵函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，且a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣1时，y取得最大值为4，
又∵当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3；
当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12；
∴当﹣2＜x＜3时，y的取值范围为﹣12＜y≤4，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
∴t的取值范围是﹣12＜t≤4．
故答案为：﹣12＜t≤4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的联系，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解决本题的关键．
15．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，有以下结论：①abc＜0；②2a+b=0；③若方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜-2＜4＜x2．其中一定正确的是____．（填序号）
【答案】②③
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，-＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y=ax2+bx+c=a（x+2）（x-4），
若方程a（x+2）（4-x）=-2，即方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜-2＜4＜x2，
故③正确；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
三、解答题
16．（2021·江苏·南通市启秀中学九年级月考）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1，0)和点B(0，3)，对称轴为直线x=1．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若0≤x≤4求函数y的取值范围；
（3）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，根据图像直接写出满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）-5≤y≤4；（3）-1
（2）先分别计算出x为0和4时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；
（3）根据点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，或求得C点坐标，再根据函数图象可以直接写出满足不等式ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．
【详解】解：（1）根据题意得
，解得，
所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3；
（2）因为y=-（x-1）2+4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4），
当x=0时，y=3；x=4时，y=-5；
而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，
所以当0≤x≤4时，-5≤y≤4；
（3）∵B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，
∴点C（2，3），
由图象可知，
不等式ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：-1
17．（2021·江苏·南通田家炳中学九年级月考）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围．
【答案】（1）y=x2 ；（2）4；（3）-2＜x＜1
【分析】（1）根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将直线AB的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组，解之得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出S△AOC的值；
（3）观察图象求得即可．
【详解】解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y=ax2上，
∴1=a，
∴抛物线的解析式为y=x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y=-x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（-2，4）．
∴S△AOC=×2×4=4；
（3）由图象可知，当-x+2＞ax2时，x的取值范围-2＜x＜1．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键．
18．（2021·江苏通州·九年级月考）已知二次函数（k为常数）．
（1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当k取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴上方．
【答案】（1）见解析；（2）k＞0
【分析】（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出≥0，根据判别式的意义即可证明；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．
【详解】（1）证明：∵y＝x2﹣（k+3）x+3k，
∴，
∴＝[﹣（k+3）]2﹣4×3k
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：∵当x＝0时，y＝x2﹣（k+3）x+3k＝3k，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为3k，
∴当3k＞0，即k＞0时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由可得该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．
19．（2021·江苏高淳·九年级期中）已知二次函数y＝－x2＋2x＋3．
（1）这个二次函数图像与x轴的交点坐标为 ，它的顶点坐标为 ；
（2）画出这个二次函数的图象，并说明y＝－x2的图象经过怎样的平移可得到该函数的图象；
（3）x取什么值时，该函数图象在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案】（1）（3，0），（-1，0）；（1，4）；（2）见解析；（3）当－1＜x＜3时，函数图像在x轴上方；（4）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
【分析】（1）令，解出 的值，即可得到二次函数图象与x轴的交点坐标，再将二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据（1）中二次函数图象与x轴的交点坐标，顶点坐标，即可画出图象，再由y＝－x2的顶点坐标为 ，二次函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标为（1，4），即可得到平移方式；
（3）观察图象，即可求解；
（4）观察图象，即可求解．
【详解】解：（1）当 时， ，
解得： ，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）；
∵ ，
∴二次函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标为（1，4）；
（2）根据（1）中二次函数图象与x轴的交点坐标，顶点坐标，列出如下表格：
x
-2
-1
1
3
4
y
-5
0
4
0
-5
根据表格，画出如下图象：
∵y＝－x2的顶点坐标为 ，二次函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标为（1，4），
∴由y＝－x2的图象向右平移1个单位，向上平移4个单位长度可得该函数的图象；
（3）观察图象，得：当－1＜x＜3时，函数图象在x轴上方；
（4）观察图象，得：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC．
（1）点B的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）点P是BC上方抛物线上的一点，点P的横坐标为2，求四边形OBPC的面积．
【答案】（1），；（2）四边形OBPC的面积为．
【分析】（1）分别将，代入二次函数解析式求解，然后根据点在坐标系中的位置即可确定点的坐标；
（2）过点P作PD⊥y轴，将代入函数解析式确定点P、点D的坐标，然后根据图象中用梯形的面积减去三角形的面积即可得．
【详解】解：（1）将代入函数解析式中可得：
，
解得：，，
∴，；
当时，，
∴点C的坐标为；
故答案为：，；
（2）如图所示：过点P作PD⊥y轴，交y轴于点D，
将代入函数解析式可得：
，
点P的坐标为，D的坐标为，
，
，
，
．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系，理解题意，结合图形找准图形面积的求法是解题关键．
21．（2021·江苏·南通市启秀中学九年级月考）已知抛物线与轴有两个交点和，与轴交于点，顶点为点．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
（3）若，点在抛物线上，且是直角三角形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）m＞-1；（2）；（3）点P的坐标为（2，-1）或（3，2）．
【分析】（1）由抛物线与轴有两个交点A和，可得有两个不等实根，由△=4+4m＞0，解不等式即可；
（2）由，可得，，可求点A（），B（）由，可求，解方程即可；
（3），抛物线为可得，点D（1，-2）点C（0，-1），设点P的横坐标为，点P（，）分别求出CD，DP，CP，分类考虑当∠D=90°，∠C=90°，∠P=90°时，根据勾股定理，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）抛物线与轴有两个交点A和，
令y=0，即有两个不等实根，
∴△=4+4m＞0，
解得m＞-1；
（2）∵
解得
∴，
∴点A（），B（）
∵
∴，
∴
∴；
（3）∵，
∴
∴点D（1，-2）
令=0,y=-1,点C（0，-1）
设点P的横坐标为，点P（，）
∴CD=，
DP=，
CP=
当∠D=90°时，根据勾股定理CP2=CD2+DP2，
则，
解得或（舍去）
点P（2，-1）
当∠C=90°时，根据勾股定理DP2=CD2+CP2，
则
解得或（舍去）
点P（3，2）
当∠P=90°时，过点D作DE⊥y轴于E，延长CP交DE于F，
点E（0，-2）∠CED=90°，
∵点P在△CED内，
∴∠CPD＞∠PFD＞∠CED，
∴此种情况不存在点P，使∠P=90°
综合点P的坐标为（2，-1）或（3，2）．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线内接三角形是直角三角形，勾股定理，三角形外角先性质，掌握抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线内接三角形是直角三角形，根据勾股定理建构方程是解题关键．
22．（2021·江苏工业园区·九年级月考）如图，已知抛物线y= - x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；
（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标，
【答案】（1）m＝2，（1，4）；（2）6；（3）（1，2）．
【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，即可求解；
（2）求出点A、C的坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，即可求解．
【详解】解：（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，解得：m＝2，
则函数对称轴为：x＝﹣＝1，代入y= - x2+2x+3，y= 4，则顶点的坐标为（1，4）；
（2）函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），
AB=4，OC=3，
△ABC的面积为．
（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，故点P（1，2）．
【点睛】本题考查了求函数解析式和图象与坐标轴交点坐标，最短路径问题，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，利用对称性确定点P的位置．
23．（2021·江苏·苏州市立达中学校九年级期中）已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣4的顶点在直线y＝﹣2x﹣3上．
（1）求证：无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）求抛物线顶点坐标．
【答案】（1）见解析；（2）（1，﹣5）
【分析】（1）令y＝0，则x2﹣2ax﹣4＝0，根据根的判别式b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4×（﹣1）＞0，可得该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）利用配方法将y＝x2﹣2ax﹣4配成y＝(x﹣a)2﹣a2﹣4，由此即可求得顶点坐标（a，﹣a2﹣4），再将代入y＝﹣2x﹣3即可求得a的值，由此可求得答案．
【详解】（1）证明：令y＝0，则x2﹣2ax﹣4＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4×（﹣1）
＝4a2＋4，
∵4a2≥0，
∴4a2＋4＞0，
∴无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：∵y＝x2﹣2ax﹣4＝(x﹣a)2﹣a2﹣4，
∴顶点坐标为（a，﹣a2﹣4），
∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣4的顶点在直线y＝﹣2x﹣3上，
∴将（a，﹣a2﹣4）代入y＝﹣2x﹣3，
得：﹣a2﹣4＝﹣2a﹣3，
解得：a1＝a2＝1，
∴﹣a2﹣4＝﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣5）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及配方法求顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
24．（2021·江苏昆山·九年级期中）已知二次函数y＝x2＋6x＋k﹣1（k是常数）．
（1）如果该二次函数的图像经过原点，求k的值；
（2）如果该二次函数的图像顶点在x轴上，求k的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据时，二次函数过原点，即可求解；
（2）将二次函数化为顶点式，当二次函数的图像顶点在x轴上时，即可求解．
【详解】解：（1）∵该二次函数的图像经过原点
∴
∴
（2）∵该二次函数的图像顶点在x轴上
∴
∴
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系是解答此题的关键．
25．（2021·江苏海安·九年级期中）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点(-1，-1)是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点(-，-3)是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y=x2-8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”．
（2）将函数的图象记为W1，其沿直线翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．
（3）若抛物线y=ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点(点M在点N的左侧)．当a>1时．
求：①c的取值范围；
②∠EMN的度数．
【答案】（1）存在，(4，8)，(-2，-4)；（2）＜或-2＜＜4；（3）①0＜c＜4 ；②45°
【分析】（1）假设存在“2倍点”，设“2倍点”为，代入函数解析式求解即可得；
（2）由（1）可得：有两个“2倍点”，分别为：，，根据图象翻折可得：，然后对m的取值进行分类讨论，理清每种情况下“2倍点”存在的个数，即可得出m的取值范围；
（3）根据抛物线上只有一个“1倍点”可得，利用一元二次方程根的判别式可得，再由，即可得出c的取值范围；根据，将其变形代入方程求解可得点M的坐标，将其变形代入求解可得点E的坐标，过点E作轴于点H，可得为等腰直角三角形，即可得出角的度数．
【详解】解：（1）假设存在“2倍点”，设“2倍点”为，则：
，
解得：，，
∴存在两个“2倍点”，分别为：，；
（2）由（1）可得：图象有两个“2倍点”，分别为：，，
，
，
①当时，，两部分组成的图象必有两个“2倍点”，，
令，
整理可得：，
图象上不存在“2倍点”，
∴，
解得：，
综合可得：；
②当时，图象有3个“2倍点”，分别为，，；
③当时，图象有2个“2倍点”；
④当时，图象有1个“2倍点”，为；
⑤当时，图象没有“2倍点”；
综上可得：图象恰好有2个“2倍点”时，m的取值范围为：或；
（3）①抛物线上只有一个“1倍点”，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
则，
解得：或，即点M的坐标为，
结合图象，如图所示：
由，，
解得，
即点E的坐标为，
过点E作轴于点H，
则，
，
∴．
【点睛】题目主要考查二次函数与新定义综合运用，包括一元二次方程根的判别式、图象翻折的性质等，理解并运用新定义，运用分类讨论思想是解题关键．
第10讲 二次函数与一元二次方程（3大考点）
考点考向
一、二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系.
（1） 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0 时，相应的自变量的值即是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为()，，那么对应方程 ax2+bx+c=0的两个根即为 ，结合一元二次方程根与系数关系可知
（3）二次函数与x轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表：
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点情况
a＞0
两个交点
一个交点
没有交点
a＜0
两个交点
一个交点
没有交点
的值
一元二次方程ax2+
bx+c=0根的情况
有两个不相等的实根
有两个相等的实根
没有实根
二、二次函数与不等式
二次函数与一元二次不等式解集的关系
（1）从“形”的方面看二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为ax2+bx+c>0的解集，在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为ax2+bx+c>0的解集；从“数”的方面看，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为不等式ax2+bx+c>0的解集，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为不等式ax2+bx+c<0的解集。
（2）二次函数与一元二次不等式的关系具体见下表：
抛物线的图象
时x的取值范围
或
全体实数
时x的取值范围
无解
无解
抛物线的图象
判别式b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
时x的取值范围
无解
无解
时x的取值范围
或
全体实数
考点精讲
一．抛物线与x轴的交点（共14小题）
1．（2022秋•通州区校级月考）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
2．（2022•秦淮区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m为常数），它的图象与x轴的公共点个数的情况是（ ）
A．有两个公共点 B．有一个公共点
C．没有公共点 D．无法确定
【分析】先计算方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0的根的判别式得到Δ＝12＞0，然后根据根的判别式的意义判断抛物线与x轴的公共点的个数即可．
【解答】解：方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）＝12＞0，
∴方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0有两个不相等的实数解，
∴抛物线与x轴有2个公共点．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，反过来，通过抛物线与x轴的交点坐标确定关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
3．（2022秋•通州区校级月考）若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜且a≠0 B．a≤ C．a≤且a≠0 D．a≥
【分析】当抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点时，二次项系数不为零，且关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0的Δ≥0．
【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0且a≠0．
解得a≤且a≠0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．（2022•姜堰区二模）如果a是二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴交点的横坐标，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．7 D．9
【分析】令x2﹣x﹣2＝0，求出x的值，从而可得a的值，进而求解．
【解答】解：令x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴a＝2或a＝﹣1，
∴（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为1．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
5．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 ②③④ ．
【分析】根据函数的图象进行判断即可．
【解答】解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；
②图象关于原点中心对称，故②正确；
③当x＝﹣2时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣3，
∴函数的最大值是3，最小值是﹣3，故③正确；
④当x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查函数的图象，理解函数图象的意义以及函数的对称性以及增减性是正确判断的前提．
6．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．
【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．
【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，
∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，
∴m＞3，
故答案为：m＞3．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．
7．（2022•宿豫区校级开学）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
【分析】先利用对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），再把把C点坐标代入求得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x+3，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），所以PM＝﹣t2﹣3t，然后根据二次函数的性质求PM的最大值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵PM＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．（2022•邗江区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（ ）
A．15 B．18 C．23 D．32
【分析】当a＝﹣1时，y＝a﹣b+c，所以当抛物线顶点在M上时满足题意，抛物线顶点在R上时，由点B坐标可得y＝a（x﹣1）2﹣4中a的值，然后可得抛物线顶点在M上时的解析式，将x＝﹣1代入求解．
【解答】解：∵M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，
∴点N坐标为（﹣6，﹣4），
∵NR＝7，
∴点R坐标为（1，﹣4），
当抛物线顶点在R上时，y＝a（x﹣1）2﹣4，
由题意得此时点B坐标为（3，0），
将（3，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得0＝4a﹣4，
解得a＝1，
当抛物线顶点在M上时，抛物线解析式为y＝（x+6）2﹣2，
将x＝﹣1代入y＝（x+6）2﹣2得y＝52﹣2＝23，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的顶点式，掌握待定系数法求函数解析式．
9．（2022•高邮市模拟）若二次函数y＝a（x+m）2+b（a，m，b均为常数，a≠0）的图象与x轴两个交点的坐标是（﹣2，0）和（1，0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 x1＝﹣4，x2＝﹣1 ．
【分析】由抛物线y＝a（x+m+2）2+b是由抛物线y＝a（x+m）2+b向左平移2个单位所得，从而可得平移后抛物线与x轴交点坐标，进而求解．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x+m+2）2+b是由抛物线y＝a（x+m）2+b向左平移2个单位所得，
∴抛物线y＝a（x+m+2）2+b与x轴交点坐标为（﹣4，0），（﹣1，0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0的解是：x1＝﹣4，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象平移规律．
10．（2022•工业园区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 20 ．
【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解．
【解答】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点，
∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称，
∵D（6，4），
∴点C坐标为（0，4），
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
由B（8，0）可得点A坐标为（﹣2，0），
∴S△ABC＝AB•OC＝＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质．
11．（2022秋•通州区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝mx2﹣2mx﹣3求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标；
（2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用图象写出对应的x的范围．
【解答】解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，
抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以B点坐标为（﹣1，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
列表如下：
x
..．
﹣1
0
1
2
3
..．
y
..．
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
..．
描点、连线，
（3）由函数图象可知，当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
12．（2022•南京一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小；
（3）当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
（2）先求出y1﹣y2＝3a（a﹣1），然后分三种情况讨论即可；．
（3）先求出抛物线与x轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0＜x＜3范围内分a＞0和a＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
【解答】（1）证明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，
∵a≠0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1+a，
∵1≠1+a，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）∵点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，
∴y1＝a2+a，y2＝﹣2a2+4a．
∴y1﹣y2＝a2+a+2a2﹣4a＝3a2﹣3a．
∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2，
当a＝1时，y1＝y2，
当0＜a＜1时，y1＜y2；
（3）∵二次函数v＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），
整理可得：y＝ax2﹣a（a+2）x+a（a+1），
由（1）可知：当y＝0时，解得：x＝1，x＝1+a，
∴二次函数的图象交轴于（﹣1，0）和（1+a，0）两点，
对称轴x＝﹣＝，
当x＝时，
y＝a（﹣1）（﹣1﹣a）＝a××（﹣）＝﹣
∴二次函数图象的顶点坐标为（，﹣），
由（2）可知：当x＝0时，y1＝a2+a，
当t＝3时，y2＝﹣2a2+4a，
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
∵0＜x＜3，
∴，
解得：﹣2≤a≤1，
∴0＜a≤I，
当a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵对称轴x＝，
当0＜＜3，即_2＜a＜0时，
二次函数图象在顶点处取得最大值，
∴﹣＜2
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
当≤0，即a≤﹣2，
由题意可知，a2+a≤2，解得：﹣2≤a≤1，
即a＝﹣2，
综上所述，当0＜x＜3时，y＜2，a的取值范围是：﹣2≤a≤1，且a≠0．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x：轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式（组）等知识，采用了分情况讨论的解题方法，解题的关键是在某一范围内的函数最大值的确定．
13．（2022•盐城一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，3），与x轴负半轴交于点C，点D是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，连接BF，当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的坐标．
【分析】（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）先确定∠BAO＝45°，再由AE＝，则AF＝2，求出F（1，0），E（2，1），求出直线DF的解析式为y＝x﹣1，联立方程组，即可求D（，）．
【解答】解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵A（3，0）和B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴∠BAO＝45°，
∵DF⊥AB，
∴EF＝AE，
∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，
∴AE＝，
∴AF＝2，
∴F（1，0），
∴E（2，1），
∴设直线DF的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣1，
联立方程组，
解得x＝或x＝，
∵点D在第一象限，
∴x＝，
∴D（，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够正确利用待定系数法是解题的关键．
14．（2022•邗江区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是（3，0），点D是抛物线的顶点，点P是抛物线对称轴上的一个动点．
（1）求a的值和顶点D的坐标；
（2）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将点B代入解析式求得a的值，得到函数解析式，然后求得顶点的坐标；
（2）
【解答】解：（1）将点B（3，0）代入y＝﹣x2+2x+a，得﹣9+6+a＝0，
解得：a＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴函数的顶点D的坐标为（1，4）．
（2）记对称轴与x轴的交点为点H，则DH＝4，BH＝2，
∴BD＝2，tan∠BDH＝＜，
∴∠BDH＜30°，
∴∠D+∠DBP＝60°或∠D+∠DPB＝60°，点P在点D的下方，
设点P（1，p），则DP＝4﹣p，
①如图，当∠D+∠DBP1＝90°时，∠BP1H＝60°，
∴tan∠BP1H＝，
∴p＝，
∴点P1的坐标为（1，）；
②当∠D+∠DP2B＝60°时，∠DPB1＝∠DP2B，
∴△DBP1∽△DP2B，
∴，即，
解得：DP2＝，
∴P2（1，﹣），
综上所述，点P的坐标为（1，）或（1，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征求得二次函数的解析式．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共5小题）
15．（2021秋•沭阳县校级月考）根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
16．（2021秋•沭阳县月考）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c
﹣1
﹣0.5
1
3.5
7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
17．（2021•盐都区二模）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
0.04
0.59
1.16
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2，
故选：C．
【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
18．（2022秋•通州区校级月考）阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2＝0的根所在的范围．
第一步：画出函数y＝2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线．
第二步：因为当x＝0时，y＝﹣2＜0；当x＝1时，y＝1＞0，所以图象与x轴的一个公共点的横坐标在0，1之间，所以可确定方程2x2+x﹣2＝0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x＝＝0.5，因为当x＝0.5时，y＝﹣1＜0，又因为当x＝1时，y＞0，所以0.5＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算验证2x2+x﹣2＝0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）小明在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小，得到的近似值约为﹣1.6，请问小明的这个结论是否正确，并说明理由．
【分析】（1）计算x＝﹣2和x＝﹣1时，y的值，确定其x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）先根据第三步﹣2和﹣1的平均数确定x＝﹣，计算x＝﹣时y的值，得﹣＜x2＜﹣1，即可判断小明的这个结论不正确．
【解答】解：（1）因为当x＝﹣2时，y＞0；当x＝﹣1时，y＜0，
所以方程2x2+x﹣2＝0的另一个根x2所在的范围是﹣2＜x2＜﹣1．
（2）小明的这个结论不正确，理由如下：
取x＝＝﹣，因为当x＝﹣时，y＝2×﹣﹣2＝1＞0，
又因为当x＝﹣1时，y＝﹣1＜0，
所以﹣＜x2＜﹣1．
故小明的这个结论不正确．
【点评】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合、
19．（2021秋•灌云县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
根据表格中的信息，完成下列各题
（1）当x＝3时，y＝ ﹣1 ；
（2）当x＝ 1 时，y有最 小 值为 ﹣2 ；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1 ＞ y2
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是 ﹣2≤y≤2 ．
【分析】（1）由表中给出的三组数据，列方程组求得二次函数的解析式，再求出x＝3时，y的值；
（2）实际上是求二次函数的顶点坐标；
（3）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；再进行判断即可；
（4）根据抛物线的顶点，当x＝5时，y最大，当x＝1时，y最小．
【解答】解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣，
当x＝3时，y＝＝﹣1；
（2）将y＝x2﹣x﹣配方得，y＝（x﹣1）2﹣2，
∵a＝＞0，∴函数有最小值，当x＝1时，最小值为﹣2；
（3）令y＝0，则x＝±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2
（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x＝5时，y最大，即y＝2；当x＝1时，y最小，即y＝﹣2，
∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2；
故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，是中考压轴题，难度较大．
三．二次函数与不等式（组）（共11小题）
20．（2022•淮阴区校级一模）已知关于x的一元二次方程为x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x2＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞4 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣2 D．x＞4
【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣4）＞0，求出解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4，
∴不等式x2+px+q＞0可化为（x+2）（x﹣4）＞0．
解得x＜﹣2或x＞4，
∴关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为x＜﹣2或x＞4．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，该题利用了“十字相乘法”对所求不等式进行转化．
21．（2021秋•徐州期末）如图，已知函数y1＝kx+b与y2＝ax2+bx+c的图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞4 D．0＜x＜4
【分析】根据图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：已知两函数图象交于A（0，﹣1）、B（4，3）两点，
∴当有y1＞y2时，有0＜x＜4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式组，利用数形结合思想是解题的关键．
22．（2022•秦淮区校级模拟）函数y＝﹣x3+x的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 x＜﹣1或0＜x＜1 ．
【分析】先解出方程﹣x3+x＝0，根据函数图象解答即可．
【解答】解：当y＝0时，﹣x3+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，x3＝﹣1，
由图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜1时，y＞0，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
23．（2022•惠山区一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】根据两图象交点横坐标求解．
【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3时，抛物线在直线下方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．
24．（2022秋•启东市校级月考）在学习一次函数时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程下面我们尝试利用之前的学习经验研究函数y＝x2的性质及其应用，请按要求完成下列各题．
（1）函数y＝x2中自变量x的取值范围是： x取任意实数 ．
（2）请同学们通过列表、描点、连线画出此函数的图象；
（3）根据函数图象，写出此函数的三条性质；
（4）写出不等式﹣x+6＜x2的解集．
【分析】（1）二次函数的自变量x的取值范围是任意实数；
（2）列表、描点、连线画出此函数的图象；
（3）结合图象可从函数的增减性及对称性等进行分析；
（4）再画出一次函数y＝﹣x+6的图象，利用数形结合进行解答即可．
【解答】解：（1）二次函数的自变量x的取值范围是任意实数，
故答案为：x取任意实数．
（2）列表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
4
1
0
1
4
…
描点、连线：
（3）答案不唯一，如：①图象关于y轴对称；
②此函数有最小值0；
③当x＞0时，y随x的增大而增大．
（4）如上图，再画出一次函数y＝﹣x+6的图象，
可以看出两个图象的交点坐标为（﹣3，9）和（2，4），
∴不等式﹣x+6＜x2的解集为：x＜﹣3或x＞2．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数的图象和性质问题，利用描点法画一次函数及反比例函数的图象是解答此题的关键．
25．（2022•建邺区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；
（2）找出函数值小于0时x的取值范围即可；
（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．
【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；
（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；
（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．
26．（2022•江都区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，交y轴于点（0，﹣1），有如下结论：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③若A（﹣3，y1），B（，y2）在该函数的图象上，则y1＞y2；④关于x的不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2．其中结论正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①②，根据点A，B到对称轴的距离及抛物线开口方向可判断③，由抛物线与y轴的交点及开口方向可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1
∴abc＜0，①正确，
∵b＝2a，
∴b﹣2a＝0，②正确．
∵A（﹣3，y1）到对称轴的距离小于B（，y2）到对称轴的距离，抛物线开口向上，
∴y1＜y2，③错误．
∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣2，﹣1），
∴不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2，④正确．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27．（2022秋•通州区校级月考）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与y轴交于点C，则不等式ax2﹣2ax＞0的解集是 0＜x＜2 ．
【分析】由图象可得a＜0，根据抛物线y＝ax2﹣2ax与x轴的交点坐标求解．
【解答】解：由抛物线开口向下可得a＜0，
设y＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），
则x＝0或x＝2时，y＝0，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax开口向下，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴0＜x＜2时，y＞0，
即不等式ax2﹣2ax＞0的解集是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
28．（2022•相城区校级自主招生）已知二次函数y＝ax2+c的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（﹣2，p），B（1，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：分两种情况：
①当a＞0时，当x＜﹣2或x＞1时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1；
②当a＜0时，当﹣2＜x＜1时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是﹣2＜x＜1．
综上，关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．
故答案为：x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
29．（2022秋•启东市校级月考）如图，直线y＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象直接写出不等式x2+bx+c＞﹣2x+8的解集；
（3）若点C（1，y1），D（m，y2）都在抛物线上，当y2＞y1时，求m的取值范围．
【分析】（1）由一次函数解析式求出点A，B坐标，再通过待定系数法求解．
（2）由图象中抛物线在直线上方时x的取值范围求解．
（3）由抛物线解析式求出抛物线对称轴，根据点C坐标求出其关于抛物线对称轴的对称点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+8得y＝8，
∴点B的坐标为（0，8），
把y＝0代入y＝﹣2x+8得0＝﹣2x+8，
解得x＝4，
∴点A坐标为（4，0），
将（0，8），（4，0）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+8．
（2）由图象可得不等式x2+bx+c＞﹣2x+8的解集为x＜0或x＞4．
（3）∵y＝x2﹣6x+8，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝3，
点C（1，y1）关于对称轴的对称点C'坐标为（5，y1），
∵抛物线开口向上，
∴当y2＞y1时，m＜1或m＞5．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
30．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．
【分析】（1）将（1，0）、（0，﹣5）代入函数解析式求解．
（2）由抛物线解析式及x1+x2＝2，可得y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．
【解答】解：（1）将（1，0）、（0，﹣5）代入y＝x2﹣2（p+1）x+q得，
解得．
（2）由（1）得y＝x2+4x﹣5，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，
∴y1＝x+4x1﹣5，y2＝x+4x2﹣5，
∴y1+y2＝x+x+4（x1+x2）﹣10，
∵x1+x2＝2，
∴x2＝2﹣x1，
∴y1+y2＝x+（2﹣x1）2﹣2＝2x﹣4x1+2＝2（x1﹣1）2，
∵点A，B是图象上两点，
∴x1≠x2≠1，
∴y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握待定系数法求函数解析．
巩固提升
一、单选题
1．（2021·江苏宝应·九年级期中）根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
x
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
﹣0.02
0.01
0.03
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
【答案】B
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02<0；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01>0，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，掌握估算一元二次方程的近似解是解题关键．
2．（2021·江苏海安·九年级期中）若二次函数的图象与x轴相交于(1，0)，(4，0)两点，则一元二次方程的解为（ ）
A．x1= -1， x2= -4 B．x1= 1， x2= 4
C．x1= -1， x2= 4 D．x1= 1， x2= -4
【答案】B
【分析】根据二次函数与x轴的交点即可直接求得方程的解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于（1，0），（4，0）两点，
∴y=0时，即时，方程的解为：x1=1，x2=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
3．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；⑤（1+c）2＜b2．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①由函数 与x轴无交点，可得＜0．
②当x=1时，y=1+b+c=1．
③当x=3时，y=9+3b+c=3．
④当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得＜x，即可求出答案．
⑤根据对称轴方程得到b的值；由抛物线与y轴的交点坐标得到c的值，代入数值进行比较即可．
【详解】①∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4c＜0；
故①错误；
②当x＝1时，y＝1+b+c＝1，
故②错误；
③∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0；
故③正确；
④∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
⑤如图所示，抛物线与y轴的交点坐标是 ，则c＝3．
对称轴x＝ ＝ ，则b＝﹣3，
所以（1+c）2＝（1+3）2＝16，b2＝（﹣3）2＝9，
则（1+c）2＞b2，
故⑤错误．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数确定．
4．（2021·江苏灌云·九年级期中）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：
①；
②；
③若为任意实数，则有；
④若图象经过点，方程的两根为，，则．
其中正确的结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0，，
∴b=2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，
∴3a＜-c，故②正确；
∵x=-1时，y有最大值，
∴a-b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a-b≥am2+bm，即a-bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（-3，-2），方程ax2+bx+c+2=0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的另一个交点为（1，-2），
即x1=1，x2=-3，
∴2x1-x2=2-（-3）=5，故④正确．
所以正确的是②④；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级月考）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据得出，然后分和分别对应图像求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时：，
由图得：，
当时，，
有图得：(舍去)，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数综合，根据题意得出然后根据图形判断解集范围是解本题的关键．
6．（2021·江苏·南通市启秀中学九年级月考）如图所示是函数的部分图象，与轴交于点，对称轴是直线．下列结论：
（1）；（2）；（3）当时，；（4），（为任意实数）．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】先求出抛物线与轴的另一交点（-1，0），确定＞0， b＜0， c＜0符号，由符号法则可判断（1）正确；利用当=-1时的函数值可判断（2）正确；由时，抛物线图像在轴下方可判断（3）正确；当=1时，抛物线取最小值y=，利用函数图像上任意一点的函数值可判断（4）正确即可．
【详解】
解：∵与轴交于点，对称轴是直线，
设与轴另一交点为（n,0），
∴，
解得，
∴另一交点为（-1，0），
抛物线开口向上，＞0；对称轴在y轴右侧，b＜0，抛物线与y轴交点在轴下方，则c＜0，
∴，故（1）正确；
当=-1时，，故（2）正确；
当时，抛物线图象在x轴下方，即当时，，故（3）正确；
当=1时，抛物线取最小值=
设函数图像上任意一点的横坐标为m，
其函数值，整理得，故（4）正确
其中正确结论的个数有4个
故选择D．
【点睛】本题考查抛物线的符号，函数值，不等式问题，掌握抛物线的性质是解题关键．
7．（2021·江苏工业园区·九年级期中）如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜ B．＜m＜3 C．1＜m＜3 D．＜m＜1
【答案】B
【分析】根据图象可以判断当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．
【详解】解：y＝2x2﹣8x+6，令y＝0，即2x2﹣8x+6＝0，
解得x＝1或3，
则A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移两个单位得到C2，
则C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5），由图象知当直线y＝﹣x+m在过B点和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，
∴①当y＝﹣x+m与C2相切时，
令y＝﹣x+m＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6，即2x2﹣15x+30﹣m＝0，
∴△＝152-8（30-m）=8m﹣15＝0，
解得，
②当y＝﹣x+m'过点B时，即0＝﹣3+m'，
解得m'＝3，
综上，当时，直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选B．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
二、填空题
8．（2012·江苏·九年级期末）如图，二次函数与一次函数的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是_______________________．
【答案】或
【分析】找出二次函数的图象位于一次函数的图象的上方时，的取值范围即可得．
【详解】解：表示的是二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
，
使成立的的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，读懂函数图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
9．（2020·江苏·苏州市金阊实验中学校九年级期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是____________ ．
【答案】-1＜x＜5
【分析】观察图象知抛物线的对称轴及抛物线与x轴的一个交点坐标，由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点，再根据图象即可求得不等式的解集．
【详解】由题图可知，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为(5，0)
∴函数图象与轴的另一交点坐标为(，0)
∴不等式的解集是．
故条案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性质、借助二次函数图象解一元二次不等式，数形结合是本题的关键．
10．（2021·江苏高淳·九年级期中）已知二次函数y＝（x－1）（x－a）（a为常数）的图象的对称轴是过（2，0）且平行于y轴的直线，则a的值为___．
【答案】3
【分析】由题意根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
【详解】解：由二次函数y＝（x－1）（x－a）（a为常数）可知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴是过（2，0）且平行于y轴的直线，即x=2，
∴，解得a=3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，利用抛物线的轴对称性质是解决本题的关键．
11．（2021·江苏高淳·九年级期中）已知点P（－3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2＋bx－1的图像上．将这个二次函数图像向上平移____单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点．
【答案】3个
【分析】根据点P（－3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2＋bx－1的图像上，可求出 ，从而得到二次函数的解析式，再设将这个二次函数图像向上平移 个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，然后根据判别式的意义 ，即可求解．
【详解】解：∵点P（－3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2＋bx－1的图像上，
∴二次函数的对称轴为 ，
∴ ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
设将这个二次函数图像向上平移 个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，
则得到的函数解析式为，
∴ ，
解得： ，
即将这个二次函数图像向上平移3单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点．
故答案为：3个
【点睛】本题主要考查了抛物线与 轴的交点问题，熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点是解题的关键．
12．（2021·江苏·星海实验中学九年级期中）已知（a，0）（b，0）是抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴的两个交点，则ab＝_____．
【答案】-4
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题，得到a、b为方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
【详解】解：∵（a，0）（b，0）是抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴的两个交点，
∴a、b为方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，
∴ab＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
13．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是_______ ．
【答案】2≤m≤4
【分析】根据完美点的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根为，从而求得a＝﹣1，c＝，所以函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【详解】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，
又方程的根为，
解得a＝﹣1，c＝，
故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．
由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题的关键是能利用解一元二次方程求出二次函数的解析式，能利用二次函数图像的增减性求出自变量的取值范围，本题对学生的数形结合的能力有一定的要求．
14．（2021·江苏工业园区·九年级期中）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是_____．
【答案】﹣12＜t≤4
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象的交点横坐标，再由﹣2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解．
【详解】
解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴，
解得：b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象的交点横坐标，
∵函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，且a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣1时，y取得最大值为4，
又∵当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3；
当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12；
∴当﹣2＜x＜3时，y的取值范围为﹣12＜y≤4，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
∴t的取值范围是﹣12＜t≤4．
故答案为：﹣12＜t≤4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的联系，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解决本题的关键．
15．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，有以下结论：①abc＜0；②2a+b=0；③若方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜-2＜4＜x2．其中一定正确的是____．（填序号）
【答案】②③
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，-＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-2，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y=ax2+bx+c=a（x+2）（x-4），
若方程a（x+2）（4-x）=-2，即方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜-2＜4＜x2，
故③正确；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
三、解答题
16．（2021·江苏·南通市启秀中学九年级月考）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1，0)和点B(0，3)，对称轴为直线x=1．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若0≤x≤4求函数y的取值范围；
（3）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，根据图像直接写出满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）-5≤y≤4；（3）-1
（2）先分别计算出x为0和4时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；
（3）根据点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，或求得C点坐标，再根据函数图象可以直接写出满足不等式ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．
【详解】解：（1）根据题意得
，解得，
所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3；
（2）因为y=-（x-1）2+4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4），
当x=0时，y=3；x=4时，y=-5；
而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，
所以当0≤x≤4时，-5≤y≤4；
（3）∵B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，
∴点C（2，3），
由图象可知，
不等式ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：-1
17．（2021·江苏·南通田家炳中学九年级月考）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围．
【答案】（1）y=x2 ；（2）4；（3）-2＜x＜1
【分析】（1）根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将直线AB的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组，解之得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出S△AOC的值；
（3）观察图象求得即可．
【详解】解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y=ax2上，
∴1=a，
∴抛物线的解析式为y=x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y=-x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（-2，4）．
∴S△AOC=×2×4=4；
（3）由图象可知，当-x+2＞ax2时，x的取值范围-2＜x＜1．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，数形结合是解题的关键．
18．（2021·江苏通州·九年级月考）已知二次函数（k为常数）．
（1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当k取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴上方．
【答案】（1）见解析；（2）k＞0
【分析】（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出≥0，根据判别式的意义即可证明；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．
【详解】（1）证明：∵y＝x2﹣（k+3）x+3k，
∴，
∴＝[﹣（k+3）]2﹣4×3k
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：∵当x＝0时，y＝x2﹣（k+3）x+3k＝3k，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为3k，
∴当3k＞0，即k＞0时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由可得该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．
19．（2021·江苏高淳·九年级期中）已知二次函数y＝－x2＋2x＋3．
（1）这个二次函数图像与x轴的交点坐标为 ，它的顶点坐标为 ；
（2）画出这个二次函数的图象，并说明y＝－x2的图象经过怎样的平移可得到该函数的图象；
（3）x取什么值时，该函数图象在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案】（1）（3，0），（-1，0）；（1，4）；（2）见解析；（3）当－1＜x＜3时，函数图像在x轴上方；（4）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
【分析】（1）令，解出 的值，即可得到二次函数图象与x轴的交点坐标，再将二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据（1）中二次函数图象与x轴的交点坐标，顶点坐标，即可画出图象，再由y＝－x2的顶点坐标为 ，二次函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标为（1，4），即可得到平移方式；
（3）观察图象，即可求解；
（4）观察图象，即可求解．
【详解】解：（1）当 时， ，
解得： ，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）；
∵ ，
∴二次函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标为（1，4）；
（2）根据（1）中二次函数图象与x轴的交点坐标，顶点坐标，列出如下表格：
x
-2
-1
1
3
4
y
-5
0
4
0
-5
根据表格，画出如下图象：
∵y＝－x2的顶点坐标为 ，二次函数y＝－x2＋2x＋3的顶点坐标为（1，4），
∴由y＝－x2的图象向右平移1个单位，向上平移4个单位长度可得该函数的图象；
（3）观察图象，得：当－1＜x＜3时，函数图象在x轴上方；
（4）观察图象，得：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC．
（1）点B的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）点P是BC上方抛物线上的一点，点P的横坐标为2，求四边形OBPC的面积．
【答案】（1），；（2）四边形OBPC的面积为．
【分析】（1）分别将，代入二次函数解析式求解，然后根据点在坐标系中的位置即可确定点的坐标；
（2）过点P作PD⊥y轴，将代入函数解析式确定点P、点D的坐标，然后根据图象中用梯形的面积减去三角形的面积即可得．
【详解】解：（1）将代入函数解析式中可得：
，
解得：，，
∴，；
当时，，
∴点C的坐标为；
故答案为：，；
（2）如图所示：过点P作PD⊥y轴，交y轴于点D，
将代入函数解析式可得：
，
点P的坐标为，D的坐标为，
，
，
，
．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的关系，理解题意，结合图形找准图形面积的求法是解题关键．
21．（2021·江苏·南通市启秀中学九年级月考）已知抛物线与轴有两个交点和，与轴交于点，顶点为点．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
（3）若，点在抛物线上，且是直角三角形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）m＞-1；（2）；（3）点P的坐标为（2，-1）或（3，2）．
【分析】（1）由抛物线与轴有两个交点A和，可得有两个不等实根，由△=4+4m＞0，解不等式即可；
（2）由，可得，，可求点A（），B（）由，可求，解方程即可；
（3），抛物线为可得，点D（1，-2）点C（0，-1），设点P的横坐标为，点P（，）分别求出CD，DP，CP，分类考虑当∠D=90°，∠C=90°，∠P=90°时，根据勾股定理，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）抛物线与轴有两个交点A和，
令y=0，即有两个不等实根，
∴△=4+4m＞0，
解得m＞-1；
（2）∵
解得
∴，
∴点A（），B（）
∵
∴，
∴
∴；
（3）∵，
∴
∴点D（1，-2）
令=0,y=-1,点C（0，-1）
设点P的横坐标为，点P（，）
∴CD=，
DP=，
CP=
当∠D=90°时，根据勾股定理CP2=CD2+DP2，
则，
解得或（舍去）
点P（2，-1）
当∠C=90°时，根据勾股定理DP2=CD2+CP2，
则
解得或（舍去）
点P（3，2）
当∠P=90°时，过点D作DE⊥y轴于E，延长CP交DE于F，
点E（0，-2）∠CED=90°，
∵点P在△CED内，
∴∠CPD＞∠PFD＞∠CED，
∴此种情况不存在点P，使∠P=90°
综合点P的坐标为（2，-1）或（3，2）．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线内接三角形是直角三角形，勾股定理，三角形外角先性质，掌握抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线内接三角形是直角三角形，根据勾股定理建构方程是解题关键．
22．（2021·江苏工业园区·九年级月考）如图，已知抛物线y= - x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；
（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标，
【答案】（1）m＝2，（1，4）；（2）6；（3）（1，2）．
【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，即可求解；
（2）求出点A、C的坐标，利用三角形面积公式计算即可；
（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，即可求解．
【详解】解：（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，解得：m＝2，
则函数对称轴为：x＝﹣＝1，代入y= - x2+2x+3，y= 4，则顶点的坐标为（1，4）；
（2）函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），
AB=4，OC=3，
△ABC的面积为．
（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，故点P（1，2）．
【点睛】本题考查了求函数解析式和图象与坐标轴交点坐标，最短路径问题，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，利用对称性确定点P的位置．
23．（2021·江苏·苏州市立达中学校九年级期中）已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣4的顶点在直线y＝﹣2x﹣3上．
（1）求证：无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）求抛物线顶点坐标．
【答案】（1）见解析；（2）（1，﹣5）
【分析】（1）令y＝0，则x2﹣2ax﹣4＝0，根据根的判别式b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4×（﹣1）＞0，可得该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）利用配方法将y＝x2﹣2ax﹣4配成y＝(x﹣a)2﹣a2﹣4，由此即可求得顶点坐标（a，﹣a2﹣4），再将代入y＝﹣2x﹣3即可求得a的值，由此可求得答案．
【详解】（1）证明：令y＝0，则x2﹣2ax﹣4＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4×（﹣1）
＝4a2＋4，
∵4a2≥0，
∴4a2＋4＞0，
∴无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：∵y＝x2﹣2ax﹣4＝(x﹣a)2﹣a2﹣4，
∴顶点坐标为（a，﹣a2﹣4），
∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣4的顶点在直线y＝﹣2x﹣3上，
∴将（a，﹣a2﹣4）代入y＝﹣2x﹣3，
得：﹣a2﹣4＝﹣2a﹣3，
解得：a1＝a2＝1，
∴﹣a2﹣4＝﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣5）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及配方法求顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
24．（2021·江苏昆山·九年级期中）已知二次函数y＝x2＋6x＋k﹣1（k是常数）．
（1）如果该二次函数的图像经过原点，求k的值；
（2）如果该二次函数的图像顶点在x轴上，求k的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据时，二次函数过原点，即可求解；
（2）将二次函数化为顶点式，当二次函数的图像顶点在x轴上时，即可求解．
【详解】解：（1）∵该二次函数的图像经过原点
∴
∴
（2）∵该二次函数的图像顶点在x轴上
∴
∴
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系是解答此题的关键．
25．（2021·江苏海安·九年级期中）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点(-1，-1)是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点(-，-3)是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y=x2-8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”．
（2）将函数的图象记为W1，其沿直线翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．
（3）若抛物线y=ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点(点M在点N的左侧)．当a>1时．
求：①c的取值范围；
②∠EMN的度数．
【答案】（1）存在，(4，8)，(-2，-4)；（2）＜或-2＜＜4；（3）①0＜c＜4 ；②45°
【分析】（1）假设存在“2倍点”，设“2倍点”为，代入函数解析式求解即可得；
（2）由（1）可得：有两个“2倍点”，分别为：，，根据图象翻折可得：，然后对m的取值进行分类讨论，理清每种情况下“2倍点”存在的个数，即可得出m的取值范围；
（3）根据抛物线上只有一个“1倍点”可得，利用一元二次方程根的判别式可得，再由，即可得出c的取值范围；根据，将其变形代入方程求解可得点M的坐标，将其变形代入求解可得点E的坐标，过点E作轴于点H，可得为等腰直角三角形，即可得出角的度数．
【详解】解：（1）假设存在“2倍点”，设“2倍点”为，则：
，
解得：，，
∴存在两个“2倍点”，分别为：，；
（2）由（1）可得：图象有两个“2倍点”，分别为：，，
，
，
①当时，，两部分组成的图象必有两个“2倍点”，，
令，
整理可得：，
图象上不存在“2倍点”，
∴，
解得：，
综合可得：；
②当时，图象有3个“2倍点”，分别为，，；
③当时，图象有2个“2倍点”；
④当时，图象有1个“2倍点”，为；
⑤当时，图象没有“2倍点”；
综上可得：图象恰好有2个“2倍点”时，m的取值范围为：或；
（3）①抛物线上只有一个“1倍点”，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
则，
解得：或，即点M的坐标为，
结合图象，如图所示：
由，，
解得，
即点E的坐标为，
过点E作轴于点H，
则，
，
∴．
【点睛】题目主要考查二次函数与新定义综合运用，包括一元二次方程根的判别式、图象翻折的性质等，理解并运用新定义，运用分类讨论思想是解题关键．
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