苏科版九年级下册第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程课后练习题

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\l "_Tc18897" 【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】 PAGEREF _Tc18897 \h 2
\l "_Tc16637" 【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】 PAGEREF _Tc16637 \h 4
\l "_Tc9106" 【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】 PAGEREF _Tc9106 \h 7
\l "_Tc17012" 【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】 PAGEREF _Tc17012 \h 11
\l "_Tc29983" 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】 PAGEREF _Tc29983 \h 14
\l "_Tc17814" 【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】 PAGEREF _Tc17814 \h 18
\l "_Tc6012" 【题型7 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】 PAGEREF _Tc6012 \h 22
\l "_Tc8668" 【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】 PAGEREF _Tc8668 \h 27
【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】
【例1】（2023春·广东广州·九年级期末）已知抛物线y=kx2+2x−1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（ ）
A．k≥−1B．k>−1C．k≥−1且k≠0D．k>−1且k≠0
【答案】D
【分析】由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根，再判断△即可．
【详解】解：由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根
∴△=4+4k＞0即k＞-1，
因为二次项的系数不能为0
∴k＞-1且k≠0，
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系．
【变式1-1】（2018·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期末）若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 ．
【答案】﹣2，2或174
【详解】∵关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，
∴可分如下三种情况：
①当函数为一次函数时，有a+2=0，
∴a=﹣2，此时y=5x﹣4，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时（a≠﹣2），与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，
∵函数与x轴有一个交点，
∴△=0，
∴（2a﹣1）2﹣4（a+2）（a﹣2）=0，
解得a=174；
③函数为二次函数时（a≠﹣2），与x轴有两个交点，且y轴的交点和与x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，
∴a﹣2=0，a=2．
当a=2，此时y=4x2﹣3x，与坐标轴有两个交点．
故答案为﹣2，2或174.
【变式1-2】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期中）已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，−12）的下方，那么m的取值范围是（ ）
A．1614D．全体实数
【答案】A
【详解】解：∵抛物线y=x2−(4m+1)x+2m−1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，
∴当x=2时，y<0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，
解得：m＞16，
又∵抛物线与y轴的交点在点（0，−12）的下方，
∴2m-1＜−12，
解得：m＜14，
综上可得：16故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，正确理解题意是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·广东惠州·九年级校考期末）已知二次函数y=mx2−6mx+6的图象与x交于点A和点B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，那么m的值为 ．
【答案】m=−38
【分析】令二次函数y=mx2−6mx+6=0，可得含参数m的A、B点的公式，再由△ABC是以BC为底的等腰三角形，可知AB=AC，根据两点间距离公式可算出m的值．
【详解】令y=mx2−6mx+6=0，
由题意可知，Δ=36m2−24m>0即m<0或m>23,
则可以得出 A6m+36m2−24m2m,0，B6m−36m2−24m2m,0，
再令x=0，y=6，则可以得出点C0,6，
∵△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴AB=AC，则AB=AC，
AB=6m−36m2−24m2m−6m+36m2−24m2m=36m2−24mm，
AC=0−6m+36m2−24m2m2+6−02，
∵AB=AC，
∴0−6m+36m2−24m2m2+6−02=36m2−24mm，
解得m=−38，
故答案为：m=−38．
【点睛】本题涉及了两点间距离公式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等内容，熟记两点间距离公式是解题的关键．
【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】
【例2】（2023春·山西临汾·九年级统考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点3,0，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②a−b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实数根；⑤4a+c<0．其中正确的结论为 （填序号）．
【答案】②④⑤
【分析】根据二次函数图象，依次判断a<0、b>0、c>0，可判断①；根据抛物线的对称性与过点(3,0)，可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，可判断②；根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3，可判断③；由函数y=ax2+bx+c与y=−1的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，可知9a+3b+c=0，再根据b=−2a、a<0推导4a+c<0，可判断⑤；从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a<0，c>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
∴a−b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由ax2+bx+c+1=0可得ax2+bx+c=−1，
根据图象，抛物线与直线y=−1有交点，
∴ax2+bx+c+1=0有实数根，故④正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴9a+3b+c=0，
又∵b=−2a，
∴9a+3×(−2a)+c=3a+c=0，
∵a<0，
∴a+(3a+c)<0，即4a+c<0，故⑤正确．
综上所述，正确的为②④⑤．
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，点A的坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 ．
【答案】x1=x2=3
【分析】根据图象与x轴的交点坐标直接写出答案即可．
【详解】解：观察图象知：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，点A的坐标为(3,0)，
所以一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=x2=3，
故答案为：x1=x2=3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是了解一元二次方程与二次函数的关系，难度不大．
【变式2-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，则二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为（ ）
A．−3,0、1,0B．−2,0、2,0
C．−1,0、1,0D．−1,0、3,0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根为2，得出x+1=2，利用对称性求出坐标即可．
【详解】解：二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标纵坐标为0，
即0=ax+12+k，
关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，
所以，x+1=2，
解得，x=1，
二次函数y=ax+12+k的对称轴为直线x=−1，
所以，二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为−3,0、1,0，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根确定二次函数与x轴的交点坐标．
【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+x−n的顶点在第 象限．
【答案】三
【分析】根据对称轴公式求出顶点横坐标，再根据开口向上及有两个交点即可得到顶点纵坐标与0的关系，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
顶点横坐标为：x=−b2a=−12×1=−12<0，
∵a=1>0，
∴抛物线y=x2+x−n开口向上，
∵一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，
∴抛物线y=x2+x−n与x轴有两个交点，
顶点纵坐标：y<0，
∴抛物线顶点在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数顶点公式，解题的关键是根据开口方向及与x轴交点确定顶点纵坐标与0的关系．
【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例3】（2023春·福建厦门·九年级大同中学校考期中）已知抛物线y=(x−x1)(x−x2)+1(x1A．x1C．m【答案】A
【分析】设y′=x−x1x−x2，而y=x−x1x−x2+1=y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．
【详解】解：设y′=x−x1x−x2，则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y=x−x1x−x2+1=y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示(省略了y轴)，
从图象看，x1故选：A．
【点睛】本题考查函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是数形结合，画出函数的大致图象．
【变式3-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）抛物线y=ax2+bx+ca>0与x轴交于x1,0，x2,0两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于x3,0，x4,0两点，下列说法正确的是（ ）
A．x1+x2>x3+x4B．x1+x2C．x1+x2=x3+x4D．x1−x2=x3−x4
【答案】C
【分析】根据抛物线上下平移，对称轴不变，结合一元二次方程根与系数的关系可得结论．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+ca>0与x轴交于x1,0，x2,0两点，
∴当y=0时，ax2+bx+c=0，此时，x1+x2=−b2a，
将抛物线y=ax2+bx+ca>0向上平移，对称轴不变，即为x=−b2a，
故有，x3+x4=−b2a，
∴x1+x2=x3+x4
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，正确掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
【变式3-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α、β(α<β)，而x2+bx+c−2=0的两根为M、N(MA．α<βC．α【答案】B
【分析】根据题意，画出函数y=x2+bx+c和y=2的图象草图，根据函数图象可直接求解．
【详解】解：∵a=1>0
∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是α、β(α<β)
又∵x2+bx+c−2=0的两根是抛物线y=x2+bx+c与直线y=2的交点横坐标，且M∴抛物线y=x2+bx+c的图象如图，
由图象可知：M<α<β故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系和数形结合思想，解题的关键是正确画出函数的图象．
【变式3-3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2−x+n与x轴交于A、B两点，抛物线y=−12x2+x+n与x轴交于C、D两点，其中n>0．若AD=2BC，则n的值为______．
【答案】4
【分析】二次函数的图像与x轴交点的横坐标，是对应该二次函数y=0时的实数根，所以令y=0，求出A、B、C、D四点的横坐标，再利用AD=2BC的关系即可求出n的值．
【详解】解：把y=0代入y=−12x2−x+n得：
0=−12x2−x+n，
解得：x1=−b+b2−4ac2a=−−1+−12−4−12×n2×−12=−1−1+2n，
x2=−b−b2−4ac2a=−−1−−12−4−12×n2×−12=−1+1+2n，
∴ A−1−1+2n,0，B−1+1+2n,0，
把y=0代入y=−12x2+x+n得：
0=−12x2+x+n，
解得：x3=−b+b2−4ac2a=−1+12−4−12×n2×−12=1−1+2n，
x4=−b−b2−4ac2a=−1−12−4−12×n2×−12=1+1+2n，
∴ C1−1+2n,0，D1+1+2n,0，
∵AD=2BC，
∴x1−x4=2x2−x3，
∴x1−x42=4x2−x32，
∴−1−1+2n−1−1+2n2=4−1+1+2n−1+1+2n2，
令1+2n=m，则
−2−2m2=4−2+2m2，
解得：m1=3，m2=13，
当m1=3时，1+2n=3，解得：n=4，
∵n>0，
∴n=4符合题意，
当m2=13时，1+2n=13，解得：n=−49，
∵n>0
∴n=−49不符合题意．
故答案为：4
【点睛】本题考查了二次函数与方程的关系及二次函数的图像与性质，找到A、B、C、D四点的横坐标是解答本题的关键．
【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】
【例4】（2023春·广西玉林·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2mx+m−3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（ ）
A．m>0B．316C．m>316D．316【答案】B
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，从而得m>0，再根据线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，可得当x=4时，y=9m−3≤0，当x=5时，y=16m−3>0，进而即可求解．
【详解】解：∵y=mx2−2mx+m−3=mx−12−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为1,−3，
∴m>0．
∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，
∴这些整数为−2，−1，0，1，2，3，4.
∵m>0，
∴当x=4时，y=9m−3≤0，当x=5时，y=16m−3>0，
∴m≤13且m>316，
∴316故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据函数图像点的坐标特征，列出关于m的不等式组，是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当y=0时，x的值为 ；
(3)该二次函数图像与直线y=n有两个交点A、B，若AB>6时，n的取值范围为 ．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)−3或1
(3)n<−5
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）令y=0，解一元二次方程即可；
（3）把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于n的不等式，解不等式即可求得．
【详解】（1）解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(−1,4)，
设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4(a≠0)，
将(1,0)代入得4a+4=0，
解得a=−1，
∴该二次函数的表达式为y=−x2−2x+3；
（2）令y=0，则−x2−2x+3=0，
解得：x1=−3，x2=1；
（3）令−x2−2x+3=n，
整理得x2+2x−3+n=0，
设点A、B的横坐标为x1，x2，
∴x1，x2是方程x2+2x−3+n=0的两个实数根，
∴x1+x2=−2，x1x2=n−3，
∵AB>6，
∴|x1−x2|>6，
∴(x1−x2)2>36，
∴(x1+x2)2−4x1x2>36，即4−4(n−3)>36，
∴n<−5，
∴n的取值范围是n<−5．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·福建福州·九年级统考期末）对于每个非零的自然数n，抛物线y=n(n+1)x2−(2n+1)x+1与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+⋅⋅⋅+A2018B2018的值是（ ）
A．20182017B．20172018C．20192018D．20182019
【答案】D
【分析】根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，一个是1n,另一个是1n+1，，根据x轴上两点间的距离公式，得AnBn=1n－1n+1，再代入计算即可．
【详解】解：令y=0时，n(n+1)x2−(2n+1)x+1=0，
解得：x1=1n，x2=1n+1
∴抛物线与x轴交点的横坐标是1n和1n+1，
∴AnBn=1n－1n+1
∴A1B1+A2B2+…+A2018B2019= 1−12+12−13+...+12018−12019 ＝1−12019=20182019．
故选D．
【点睛】本题考查了找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标．
【变式4-3】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；
(2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值．
【答案】(1)4
(2)22≤AB<25
(3)m=2，n=2或m=4，n=1
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得AB=(n+1)2+4，根据n的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得l1,l2，根据s=l12−l22，求得出s与t之间的函数关系式，根据s≥0恒成立，可得mn=4，根据m，n为正整数，且m≠1，即可求解．
（1）解：x2−2x−3=0，x−3x+1=0，∴x1=3，x2=−1，∴雅礼弦长AB=4；
（2）x2+(n+1)x−1=0，A(x1,0)B(x1,0)，∴AB=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2，∵Δ=(n+1)2+4>0，x1+x2=−(n+1)x1x2=−1，∴AB=(n+1)2+4，∵1≤n<3，∴当n=1时，AB最小值为22，当n=3时，AB最大值小于25，∴22≤AB<25；
（3）由题意，令y=x2+(4−mt)x−4mt=0，∴x1+x2=mt−4，x1x2=−4mt，则l12=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(mt+4)2，同理l22=(n+t)2，s=(mt+4)2−(n+t)2=(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)，∵m2−1≠0，∴要不论t为何值，S≥0恒成立，即：(m2−1)t2+(8m−2n)t+(16−n2)≥0恒成立，由题意得：m2−1>0，Δ=(8m−2n)2−4(m2−1)(16−n2)≤0，解得：(mn−4)2≤0，mn=4 ∵m，n为正整数，且m≠1，则m=2，n=2或m=4，n=1．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例5】（2023春·广东潮州·九年级统考期末）在估算一元二次方程x2+12x−15=0的根时，小彬列表如右：由此可估算方程x2+12x−15=0的一个根x的范围是（ ）．
A．11.3
【答案】B
【分析】结合表中的数据，根据代数式x2+12x−15的值的变化趋势，即可进行解答．
【详解】解：由表可知，
当x=1.1时，x2+12x−15=−0.59<0，
当x=1.2时，x2+12x−15=0.84>0，
∴方程x2+12x−15=0的一个根x的范围是1.1故选：B．
【点睛】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．
【变式5-1】（2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中）二次函数y=2x2+4x−1的图象如图所示，若方程2x2+4x−1=0的一个近似根是x=−2.2，则方程的另一个近似根为 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.2．
【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1，
∵方程2x2+4x−1=0的一个根为x=-2.2，
∴另一个根为：-1×2-（-2.2）=0.2，
故答案为：0.2．
【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键．
【变式5-2】（2023春·全国·九年级期中）小朋在学习过程中遇到一个函数y=12xx−32．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
结合上表，画出当x≥0时，函数y=12xx−32的图像；
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程12xx−32=kx−1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)最小；0
(2)见解析
(3)4.2
【分析】（1）根据解析式12xx−32 ≥0，即可求解；
（2）根据描点法画函数图像；
（3）根据图像法求解即可，作经过点0,−1,2,1的直线，与y=12xx−32的另一个交点的横坐标即为方程的解
【详解】（1）解：∵12xx−32 ≥0，
∴y有最小值，这个值是0；
故答案为：最小；0
（2）根据列表，描点连线，如图，
（3）依题意，12xx−32=kx−1有一个实数根为2，
则过点2,1
∵ 12xx−32=kx−1的解即为y=12xx−32与y=kx−1的交点的横坐标，
且y=kx−1过点0,−1
如图，作过点0,−1,2,1的直线，与y=12xx−32交于点A
根据函数图像的交点可知点A的横坐标约为4.2
则该方程其它的实数根约为4.2
故答案为：4.2
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图像，根据函数图像的交点求方程的解，数形结合是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 （填序号）
①−12③−12【答案】③
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．
【详解】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：y=0在y=−14与y=1之间，
∴-12＜x1＜0，2＜x2＜52时y的值最接近0，
x1，x2的取值范围是：-12＜x1＜0；2＜x2＜52．
故答案为：③．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．
【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】
【例6】（2023春·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ℎ交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是2B．ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是x>4
C．ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是x<2
D．ax2+(b−k)x+c=ℎ的解是x=2或x=4
【答案】D
【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即ax2+(b−k)x+c=ℎ的解为x=2或x=4．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即ax2+(b−k)x+c=ℎ的解为x=2或x=4，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数y=−x2+2x+3．
(1)将函数关系式化为y=ax−ℎ2+k的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)利用描点法画出所给函数的图像．
(3)当−1【答案】(1)y=−x−12+4，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，4
(2)见解析
(3)0【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为y=−x2+2x+3=−x2−2x+1−1+3=−x−12+4，
∴二次函数对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，4；
（2）解：列表如下：
函数图象如下所示：
（3）解：由函数图象可知，当−1【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，画二次函数图象，图象法求函数值的取值范围等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·山西运城·九年级校考期末）定义mina,b,c为a，b，c中的最小值，例如：min5,3,1=1，min8,5,5=5．如果min4,−x2+4x,3=3，那么x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤3B．x≤1或x≥3C．13
【答案】A
【分析】由4，−x2+4x，3中最小值为3，可得−x2+4x≥3，即x2−4x+3≤0，设y=x2−4x+3，进而求解即可．
【详解】解：由题意得4，−x2+4x， 3中最小值为3，
∴−x2+4x≥3，即x2−4x+3≤0，
设y=x2−4x+3，如图，
当y≤0时，
解得：1≤x≤3，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【变式6-3】（2023春·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如y=ax2+bx+ca<0的函数叫作“M型”函数．如图是“M型”函数y=−x2+4x−3的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于y轴对称；
②不等式x2−4x+3<0的解集是−3③方程−x2+4x−3=k有两个实数解时k<−3．正确的是（ ）
A．①②．B．②③．C．①③．D．①②③．
【答案】A
【分析】根据函数图象直接判断A，根据二次函数与坐标轴的交点分析，根据对称性可得y轴与x轴左边的交点为−1，0，−3，0，即可判断B，根据图象可知当k<−3或k=1时，原方程有两个实数根，据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，此图像关于y轴对称，故①正确；
②对称性可得y轴与x轴左边的交点为−1，0，−3，0，则不等式x2−4x+3<0即−x2+4x−3>0的解集是−3③∵y=−x2+4x−3=−x−22+1，当x=2时，y=1，顶点坐标为−2,1和2，1，且与y轴交于点0,−3，
∴当k<−3或k=1时，方程−x2+4x−3=k有两个实数解，
故③不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【题型7 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】
【例7】（2023春·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐标分别为−2,0，2,2，抛物线y=ax2−x+2a>0也在该平面直角坐标系中．若抛物线与线段PQ有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【答案】12≤a<916
【分析】首先利用待定系数法求得直线PQ的解析式，再与抛物线联立方程，判断Δ>0时，求得a<916，当00，画出草图，抛物线过定点(0,2)，当经过点Q(2,2)时，代入点Q得4a−2+2=2，解得a=12，由于a越大，开口越小，可得a的取值范围为12≤a<916．
【详解】解：设直线PQ为y=kx+b，
将点P(−2,0)，Q(2,2)代入得−2k+b=02k+b=2，解得k=12b=1，
∴直线PQ：y=12x+1，
抛物线与直线PQ有两个交点，即方程ax2−x+2=12x+1有两个不同的解，
化简得：2ax2−3x+2=0，
∴Δ=b2−4ac=9−16a>0，
解得a<916，
当00，如图，
当x=0，y=2，即：抛物线过定点(0,2)，
当经过点Q(2,2)时，
代入点Q得4a−2+2=2，
解得a=12，
由于a越大，开口越小，
故a的取值范围12≤a<916．
故答案为：12≤a<916．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是利用待定系数法联立方程，判断Δ进而得出a的取值范围，解题关键是数形结合．
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知二次函数y=x2−2mx+2m−1（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上．
(3)已知点Aa,−1,Ba+2,−1，线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)−2≤a≤2
【分析】（1 ）计算判别式的值得到△≥0，从而根据判别式的意义得到结论；
（ 2）利用配方法得到二次函数y=x2−2mx+2m−1的顶点坐标为m,−m−12，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
（ 3）先计算出抛物线y=−x−12与直线y=−1的交点的横坐标，然后结合图象得到a+2≥0且a≤2．
【详解】（1）证明：∵△=4m2−42m−1
=4m2−8m+4
=4m−12≥0，
所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）证明：y=x2−2mx+2m−1=x−m2−m−12，
二次函数y=x2−2mx+2m−1的顶点坐标为m,−m−12
当x=m时，y=−x−12=−m−12，
所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上；
（3）当y=−1时，y=−(x−1)2=−1，解得x1=0，x2=2，
当a+2≥0且a≤2时，线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点，
所以a的范围为−2≤a≤2．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【变式7-2】（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线y=−x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t取值范围．
【答案】(1) B2，−2；(2)抛物线表达式为y=−x2−2x+6；(3) 抛物线顶点横坐标t的取值范围时−4≤t<−3或0【分析】（1）根据点的平移规律向右平移6，横坐标加6，可得点B坐标；
（2）根据A、B两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；
（3）由顶点在直线l上可设顶点坐标为（t，t+2），继而可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣t）2+t+2，根据抛物线与线段AB有一个公共点，考虑抛物线过点A或点B临界情况可得t的范围．
【详解】解：(1)根据平移的性质向右平移几，横坐标加几，可得：点B坐标为（-4+6，-2）即B2，−2；
(2) ∵抛物线y=−x2+bx+c过点A，B，
∴−16−4b+c=−2−4+2b+c=−2，
解得：b=−2c=6，
∴抛物线表达式为y=−x2−2x+6；
(3)∵抛物线y=−x2+bx+c顶点在直线y=x+2上 ，
∴抛物线顶点坐标为t，t+2 ，
∴抛物线表达式可化为y=−x−t2+t+2．
抛物线与AB仅有一个交点，
当点A为顶点时，抛物线与AB开始有交点，此时t=-4,
当抛物线与AB有两个交点，其中A为左交点，
把A−4，−2代入表达式可得：−2=−−4−t2+t+2
解得：t1=−3，t2=−4．
∴−4≤t<−3．
当抛物线与AB的右交点在点B时，开始有一个交点，直到点B为抛物线的左交点
把B2，−2代入表达式可得−2−t2+t+2=−2．
解得：t3=0，t4=5，
∴0综上可知：
抛物线顶点横坐标t的取值范围时−4≤t<−3或0【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本，将抛物线与线段AB有一个公共点转化为方程问题是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·福建泉州·九年级校考期末）已知：在平面直角坐标系中，A−1,0，B4,0，抛物线y=x2−2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取 （写出所有正确结论的序号）．①n=1；②n=2；③n≤−8；④−8≤n<−3；⑤−8≤n≤−3，
【答案】①④/④①
【分析】分两种情况，当抛物线的顶点在线段AB上和抛物线顶点不在线段AB上时，根据题意，画出图形，求解即可．
【详解】解：抛物线y=x2−2x+n，则开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为1,n−1
抛物线的顶点在线段AB上，如下图：
则n−1=0，解得n=1，①正确；
当抛物线顶点不在线段AB上时，
若n−1>0时，顶点在x轴上方，此时抛物线与线段AB没有交点，
当n−1>0时，如下图所示，
当抛物线y=x2−2x+n过点A时，此时刚好有两个交点，将−1,0代入可得
0=1+2+n，解得n=−3，
抛物线y=x2−2x+n继续向下平移，此时与线段AB有一个交点，符合题意，即n<−3；
当抛物线y=x2−2x+n过点B时，此时刚好有一个交点，将4,0代入可得
0=16−8+n，解得n=−8，
抛物线y=x2−2x+n继续向下平移，此时与线段AB没有交点，不符合题意，即n≥−8；
则−8≤n<−3，④正确；
故答案为：①④
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是通过数形结合方法求解．
【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】
【例8】（2023春·广东广州·九年级统考期中）抛物线y=x2−2x−3的图象为G1，G1关于x轴对称的图象为G2，G1和G2组成的图象与直线y=x+m有3个公共点时，m的范围（或值）是 ．
【答案】−3，1，134，−214
【分析】分别求出G1与直线y=x+m的图形有唯一交点、G2与直线y=x+m的图形有唯一交点、直线y=x+m经过抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点时，对应m的值，然后观察图象即可得出答案．
【详解】解：当y=0时，x2−2x−3=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴抛物线y=x2−2x−3与x轴的交点为−1,0，3,0，
∵G1、G2关于x轴对称，
∴G2的解析式为y=−x+1x−3=−x2+2x+3，
联立方程组y=x2−2x−3y=x+m，
化简得x2−3x−3−m=0，
当G1与直线y=x+m的图形有唯一交点时，方程x2−3x−3−m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=−32−4−3−m=0，
∴m=−214；
联立方程组y=−x2+2x+3y=x+m，
化简得x2−x−3+m=0，
当G2与直线y=x+m的图形有唯一交点时，方程x2−x−3+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=−12−4−3+m=0，
∴m=134；
当线y=x+m经过−1,0时，
则0=−1+m，
∴m=1；
当线y=x+m经过3,0时，
则0=3+m，
∴m=−3；
观察图象可知：当m=−3，1，134，−214时，G1和G2组成的图象与直线y=x+m有3个公共点．
故答案为：−3，1，134，−214．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象的性质，二次函数与一次函数的交点等知识，较难，利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键．
【变式8-1】（2023春·浙江·九年级期末）如图，将二次函数y=x2−m（其中m>0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+2的图象记为y2，若y1与y2恰有两个交点时，则m的范围是 ．
【答案】04
【分析】根据题意得出翻折后的抛物线解析式为y=−x2+m，若y1与y2恰有两个交点，则需分两种情况，①当直线与y=−x2+m和y=x2−m分别有一个交点时，结合图象即可解答；②当直线与y=x2−m有两个交点，直线与y=−x2+m无交点时，联立方程组，利用根的判别式求出m的值，结合图象即可解答．
【详解】解：二次函数y=x2−m（其中m>0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折得到的抛物线解析式为：y=−x2+m，
∵直线y=x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=-2，
∴直线y=x+2与x轴交点为（-2,0），与y轴的交点为（0,2），
①如下图，当抛物线经过点（-2,0）时，0=4-m，解得m=4，
观察图象可知，当m＞4时，y1与y2恰有两个交点，
②由y=x+2y=−x2+m得x2+x+2−m=0，当Δ=1−8+4m=0时，解得：m=74，
观察图象可知，当0故答案为：04．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点、一次函数的应用、函数与方程的关系等知识，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，学会利用根的判别式解决函数图象的交点问题，属于中考常考题型．
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期末）如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
【答案】−3【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C1向右平移两个长度单位得C2,则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－158，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－158时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－158.
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.
【变式8-3】（2023春·浙江·九年级期末）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m，当自变量x≥m时，函数y关于x的函数图象为G1，将G1沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G2，函数G的图象由G1和G2两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x(x≥2)的对折函数为y=x(x≥2)−x+4(x<2).
(1)求函数y=(x−1)2−4(x≥−1)的对折函数；
(2)若点P(m,5)在函数y=(x−1)2−4(x≥−1)的对折函数的图象上，求m的值；
(3)当函数y=(x−1)2−4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围.
【答案】(1)y=(x−1)2−4(x≥−1)(x+3)2−4(x<−1)；(2)m=4或-6；(3)n<-1时，与x轴有4个交点，n=-1时，与x轴有3个交点；−13时，与x轴无交点.
【分析】（1）根据定义得出对折后函数的顶点坐标为(−3,−4)，该函数表达式为：y=(x+3)2−4；
（2）将点P(m,5)代入y=(x-1）2−4(x≥−1)(x+3）2−4(x<−1)求解出m的值即可；
（3）)分当n<−1时、当n=−1时、 当−13时，画出具体的函数图像进行观察与x轴的交点个数即可
【详解】(1)令y=(x−1)2−4=0，则x=−1或3，如图1：即点A,B的坐标为(−1,0)，(3,0)，则对折后函数的顶点坐标为(−3,−4)，该函数表达式为：y=(x+3)2−4，
即对折函数为y=(x-1）2−4(x≥−1)(x+3）2−4(x<−1).
(2)将点P(m,5)代入y=(x-1）2−4(x≥−1)(x+3）2−4(x<−1)
解得：m=4或-6(不合题意的值已舍去)
即m=4或-6；
(3)①当n<−1时，如图2：
此时x=n在点A(−1,0)的左侧，从图中可以看出：函数与x轴有4个交点(A,B,C,D)；
②当n=−1时，x=n过点A，从图1可以看出：函数与x轴有3个交点；
③同理：当−1④同理：当n=3时，函数与x轴有3个交点；
⑤同理：当n>3时，无交点.

【点睛】本题属于新定义问题，读懂题目中限减函数以及限减系数的定义是解题的关键.
根的判别式
二次函数的图象
二次函数与x轴的交点坐标
一元二次方程根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
x
……
−2
−1
0
1
2
……
y
……
3
4
3
0
−5
……
x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x−15
−2
−0.59
0.84
2.29
x
0
12
1
32
2
52
3
72
4
…
y
0
2516
2
2716
1
516
0
716
2
…
x
-1
-12
0
12
1
32
2
52
3
y
-2
−14
1
74
2
74
1
−14
-2
x
···
−1
0
1
2
3
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y
···
···
x
···
−1
0
1
2
3
···
y
···
0
3
4
3
0
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