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第10讲 整式的乘法（7大考点）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）
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这是一份第10讲 整式的乘法（7大考点）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版），文件包含第10讲整式的乘法7大考点解析版docx、第10讲整式的乘法7大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
第10讲 整式的乘法（7大考点）
考点考向
一、同底数幂的乘法性质
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
二、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
三、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
四、单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
五、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
六、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
考点精讲
考点一：同底数幂的乘法
1、计算：
（1）；（2）；
（3）．
【答案与解析】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体．
2.计算：
（1）；
（2）（为正整数）；
（3）（为正整数）．
【答案】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
3、已知，求的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：
【答案与解析】解：由得．∴ ．
【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：．
考点二：幂的乘方
1、计算：
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.
2、已知，求的值．
【答案与解析】 解：∵ ，∴ ．
【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
3.已知，．求的值．
【答案】解：．
4.已知，，求的值．
【答案】解：因为, .
所以.
5. 已知，请用含m、n的代数式表示.
【答案】.
【解析】.利用“”与求解！
6. 已知，求n的值；
【答案】2.
【解析】，所以，，故n＝2. 本题关键在于将左边整理成底数为3的形式，难点在于运用乘法对加法分配律的逆用！
考点三：积的乘方
1 、 计算：.
【答案】12.
【解析】原式＝.本题的关键是“积的乘方”运算的逆运用.
2、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）； （2）； （3）．
【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：．
（2）对．
（3）错，系数应为9，应为：．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
3.计算：
（1） （2）
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
考点四：单项式乘单项式
1.（2021春•沭阳县期末）计算：ab2•4a2b＝ ．
【完整解答】解：原式＝2a1+2b2+1＝2a3b3．
故答案为：2a3b3．
2.（2021•南岗区校级开学）下列计算正确的是（ ）
A．3x3•2x2y＝6x5 B．2a2•3a3＝6a5
C．（﹣2x）•（﹣5x2y）＝﹣10x3y D．（﹣2xy）•（﹣3x2y）＝6x3y
【完整解答】解：A、3x3×2x2y＝6x5y，故此选项错误；
B、2a2×3a3＝6a5，故此选项正确；
C、（﹣2x）×（﹣5x2y）＝10x3y，故此选项错误；
D、（﹣2xy）×（﹣3x2y）＝6x3y2，故此选错误．
故选：B．
3.计算：＝ ．
【完整解答】解：原式＝﹣2x•＝﹣x3y4，
故答案为：﹣x3y4，
考点五：单项式乘多项式
1.今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写 3xy ．
【完整解答】解：根据题意得：
﹣3xy（4y﹣2x﹣1）+12xy2﹣6x2y
＝﹣12xy2+6x2y+3xy+12xy2﹣6x2y
＝3xy．
故答案为：3xy．
2.如图，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）＝a2+ab成立，根据图2，利用面积的不同表示方法，仿照上边的式子写出一个等式 （a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 ．
【完整解答】解：由图示，得
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
3.（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）
【完整解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：
3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）
＝3y2+4xy﹣2y2
＝y2+4xy（平方米）．
∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．
（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，
两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，
∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），
∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．
4.（2020秋•安居区期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．
【完整解答】解：（1）设多项式为A，
则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）＝﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x＝，y＝，
∴原式＝﹣6×+2×﹣1＝﹣4+1﹣1＝﹣4．
考点六：多项式乘多项式
1.（2021春•天桥区期末）已知在（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16中，a、b为整数，则m的值一共有 种可能．
【完整解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16，
∴x2+bx+ax+ab＝x2+mx﹣16．
∴x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣16．
∴a+b＝m，ab＝﹣16．
又∵a、b为整数，
∴a＝±1或a＝±2或a＝±4或a＝±8或a＝±16．
当a＝1时，b＝﹣16，则a+b＝﹣15．
当a＝﹣1时，b＝16，则a+b＝15．
当a＝2时，b＝﹣8，则a+b＝﹣6．
当a＝﹣2时，b＝8，则a+b＝6．
当a＝4时，b＝﹣4，则a+b＝0．
当a＝﹣4时，b＝4，则a+b＝0．
当a＝8时，b＝﹣2，则a+b＝6．
当a＝﹣8时，b＝2，则a+b＝﹣6．
当a＝16时，b＝﹣1，则a+b＝15．
当a＝﹣16时，b＝1，则a+b＝﹣15．
综上：a+b＝﹣15或15或﹣6或6或0．
故答案为：5．
2.（2021春•宽城县期末）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1）①计算：S甲＝ ，S乙＝ ；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲 S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 （用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
【完整解答】解：（1）①S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24．
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24．
②∵S甲﹣S乙
＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24）
＝2m+3＞0，
∴S甲＞S乙．
故答案为：＞．
（2）①∵C乙＝2（m+6+m+4）＝4m+20，
∴C正＝4m+20．
∴该正方形的边长为．
故答案为：m+5．
②正确，理由如下：
∵＝m2+10m+25，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
∴S正与S乙的差是1，故与m无关．
3.如图所示，现有边长分别为b、a的正方形、邻边长为b和a（b＞a）的长方形硬纸板若干．
（1）请选择适当形状和数量的硬纸板，拼出面积为2b2+3ab+a2的长方形，画出拼法的示意图；
（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为8ab的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有 种不同情况；
（3）现有①类纸板1张，②类纸板4张，则应至少取③类纸板 张才能用它们拼成一个新的正方形；
（4）已知长方形②的周长为20，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和．
【完整解答】解：（1）如图所示：S＝2b2+3ab+a2＝（a+b）（a+2b）；
（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为8ab的不同形状的长方形，
∵8ab可以分解为：a，8b；8a，b；2a，4b；4a，2b．
∴这些长方形的周长共有4种不同情况．
故答案为：4．
（3）设还需要③类纸片x张才能用它们拼成一个新的正方形；
则新正方形面积为：a2+4ab+xb2，且它是完全平方式．
∴x＝4．
故答案为：4．
（4）由已知得：a+b＝10，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76．
考点七：整式的乘法及其应用
1.（2021春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【解题思路】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．
【解答过程】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2
＝﹣4x3+（a+3）x2+x，
因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，
所以a+3＝0，
所以a＝﹣3．
故选：C．
2.（2021春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．1，﹣1 D．1，1
【解题思路】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．
【解答过程】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，
（a2﹣ma+2n）（a+1）
＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n
＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n
所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，
2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．
或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．
故选：A．
3.（2021春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【解题思路】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．
【解答过程】解：∵（a+3b）（a+2b）＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故选：C．
4.（2021春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 ．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
【解题思路】（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得等式；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，可得等式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形．
【解答过程】解：（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：
巩固提升
一、单选题
1．（2021·福建连江·八年级期中）下列各式运算中结果是x6是（ ）
A．x4+x2 B．x12÷x2 C．（x2）3 D．x2•x3
【答案】C
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】解：A、x4+x2，无法计算，不合题意；
B、x12÷x2＝x10，不合题意；
C、（x2）3＝x6，符合题意；
D、x2•x3＝x5，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2021·福建台江·八年级期中）2x3可以表示为（ ）
A．2x4﹣x B．x3＋x3 C．x3•x3 D．2x6÷x2
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘除法运算法则求解即可．合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变．同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】解：A、2x4和x不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，
∴2x3可以表示为x3＋x3，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了合并同类项和同底数幂的乘除法运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变．同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
3．（2021·黑龙江五常·八年级期中）若，，则的值为（ ）．
A．8 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法的性质计算，即可得到答案．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的知识；解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法的性质，从而完成求解．
4．（2021·天津南开·八年级期中）计算：0.252020×（﹣4）2021＝（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【答案】A
【分析】利用积的乘方可以解答本题．
【详解】解：0.252020×(-4)2021
=(-0.25×4)2020×(-4)
=(-1)2020×(-4)
=-4．
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方把(-4)2021化成(-4)2020×(-4)是解题的关键．
5．（2021·天津南开·八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．b3•b3＝2b3 B．（a5）2＝a7
C．（﹣2a）2＝4a2 D．（ab）5÷（ab）2＝ab3
【答案】C
【分析】分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】解：A、b3•b3 =b6，原计算错误，故该选项不合题意；
B、（a5）2=a10，原计算错误，故该选项不合题意；
C、（﹣2a）2=4a2，正确，故该选项符合题意；
D、（ab）5÷（ab）2=（ab）3=a3b3，原计算错误，故该选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
6．（2021·河南·漯河市实验中学八年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．a2·a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（2m）2＝2m2 D．a5÷a3＝a2
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方计算法则进行逐一判断即可．
【详解】解：A、a2·a4＝a6，故此选项不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；
C、（2m）2＝4m2，故此选项不符合题意；
D、a5÷a3＝a2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方，解题的关键在于能够熟知相关计算法则．
7．（2021·山东阳信·八年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、 ，原选项正确，符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、 与不是同类项，无法合并，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则是解题的关键．
8．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中） 下列各运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则计算出各项结果后再进行判断即可结论．
【详解】解：A、，所以A选项不正确，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C. ，所以C选项不正确，不符合题意；
D. ，所以D选项不正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂的除法：am÷an=am-n（m、n为正整数，m>n）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项．
二、填空题
9．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算______．
【答案】
【分析】根据同底数幂乘法法则计算即可得答案．
【详解】===．
【点睛】本题考查同底数幂乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；熟练掌握运算法则是解题关键．
10．（2021·山东阳信·八年级期中）已知，那么的值为__________．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得，由此即可得．
【详解】解：，
则，
所以，
解得，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
11．（2021·贵州思南·八年级期中）若a3m＝2，a2n＝3，（m，n都是整数），则a6m﹣4n的值为 ___．
【答案】
【分析】直接利用同底数幂的除法以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵a3m=2，a2n=3，
∴a6m-4n
=a6m÷a4n
=（a3m）2÷（a2n）2
=22÷32
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）若____________．
【答案】
【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】，
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
13．（2021·辽宁大石桥·八年级期中）若am=3，则(a3)m=__．
【答案】27
【分析】根据幂的乘方的逆运算可得结果．
【详解】解：∵am=3，
∴(a3)m=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方以及其逆运算法则是解题的关键．
14．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）若，则______．
【答案】－3
【分析】根据两个非负数的和为零则它们均为零，可求得a与b的值，把a与b的值代入代数式中即可求得结果．
【详解】∵，，且
∴，
即a+3=0，3b+1=0
∴，
当，时，
故答案为：－3
【点睛】本题考查了两个非负数的和为零的性质，积的乘方逆用，求代数式的值等知识，利用两个非负数和为零的性质是本题的关键，积的乘方逆用是难点．
三、解答题
15．（2021·福建福清·八年级期中）计算：m•m7﹣（2m4）2．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项的计算法则进行求解即可
【详解】解： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
16．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】按照多项式乘多项式的法则乘出来，再合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘法法则是关键，但注意的是，不要出现漏乘．
17．（2021·辽宁大石桥·八年级期中）计算：
（1）[(-a)3]4； （2）(-m2)3·(-m3)2．
（3）[(m-n)2]5(n-m)3 （4）(-x2)5+(-x5)2
【答案】（1）a12；（2）-m12；（3）（n-m）13；（4）0
【分析】（1）由题意利用积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算即可；
（2）由题意先利用积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算，继而利用同底数幂的乘法进行计算即可；
（3）由题意先利用幂的乘方的运算法则进行计算，继而利用同底数幂的乘法进行计算即可；
（4）由题意先利用积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算，继而利用合并同类项原则进行计算即可.
【详解】解：（1）[(-a)3]4；
（2）(-m2)3·(-m3)2；
（3）[(m-n)2]5(n-m)3；
（4）(-x2)5+(-x5)2.
【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则是解题的关键.
18．（2019·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期中）定义：对于依次排列的多项式，，，，（，，，是常数），当它们满足，且为常数是，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡印子，例如：对于多项式，，，，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，
（1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子；
（2）若，，，是一组平衡数，则 ；
（3）当，，，之间满足什么数量关系时，他们是一组平衡数，并说明理由．
【答案】（1）-10；（2）-3；（3），证明见解析
【分析】（1）直接根据定义计算M的值；
（2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可；
（3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式．
【详解】解：（1）由题意有：M=
=18-28
=-10
（2）∵，，，是一组平衡数，
∴的结果为常数
∵=-x-12-(2+m)x-2m，
∴2+m=-1，
解的m=-3
故答案为：-3
（3）
证明：假设，，，是平衡数，
则结果为常数，
原式=x2+(d+a)x+ad-[x2+(c+d)x+ba]
=(d+a)x-(c+d)x+ ad- ba
=[(d+a) -(c+d)] x+ ad- ba
结果为常数，
，
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2020·黑龙江·哈尔滨市第三十九中学校八年级期中）如图，哈市某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a-b）米的长方形地块，角上有四个边长为a米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（a>b）
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a=20，b=10，求出当时绿化的总面积；
（3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项绿化任务.已知甲队每小时可绿化6平方米，乙队每小时绿化4平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？
【答案】（1）（）平方米；（2）500平方米；（3）50小时．
【分析】（1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论；
（2）把把a=20，b=10代入（1）的代数式即可得到结论；
（3）设甲队至多工作x小时，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）
答：绿化的总面积为（）平方米；
（2）把a=20，b=10代入得：
（平方米）
答：当时绿化的总面积为500平方米；
（3）设甲队至多工作x小时
∵要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间
∴甲队至多工作的时间=乙队的工作时间
∴乙队的工作时间为x小时
∴
答：甲队至多工作50小时．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算：
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据单项式乘单项式的法则进行即可；
（2）先用幂的乘方，再用同底数幂的乘法进行即可；
（3）先计算幂的乘方，再分别计算同底数幂的乘法及同底数幂的除法．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查了正整数幂的混合运算，单项式乘单项式，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法及单项式乘单项式法则是关键．
21．（2021·辽宁大石桥·八年级期中）（1）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．
（2）已知a3m=3，b3n=2．求（a2m）3+（bn）3-a2mbn·a4mb2n的值．
【答案】（1）8；（2）-7
【分析】（1）先化为以2为底的幂的形式，再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，最后采用整体代入思想解题；
（2）先利用幂的乘方公式将所要求的式子化简，再代入解题．
【详解】解：（1）若2x+5y﹣3=0，则2x+5y=3
；
（2）（a2m）3+（bn）3-a2mbn·a4mb2n
=（a3m）2+（b3n）-a6mb3n
=（a3m）2+（b3n）-（a3m）2b3n
=32+2-32×2
=9+2-18
=-7．
【点睛】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、整体思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22．（2020·吉林大学附属中学八年级月考）已知：
（1）当时，______．
（2）试求：的值．
（3）判断的值的个位数是______．
【答案】（1）80；（2）63；（3）7．
【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则即可得；
（2）先根据已知等式归纳类推出一般规律，再将代入求值即可得；
（3）先根据一般规律可求出结果，再根据有理数的乘方即可得．
【详解】（1），
故答案为：80；
（2）归纳类推得：，其中，且为整数，
则，
，
；
（3），
，
∵，，，，，，且，
∴的个位数与的个位数相同，即为8，
∴的个位数为7，
即的值的个位数为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、整式乘法的规律性问题等知识点，根据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
23．（2021·北京·人大附中八年级期中）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 ．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为（6，﹣3），求整式B的表达式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式．
【答案】（1）（5，4）；（2）B＝3x－2；（3）或．
【分析】（1）根据整式得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根据关联点的定义得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的关联点坐标；
（2）根据题意得出B中x的次数为1次，设B＝nx+m，计算出，进而表达出a，b，c，d的值，再根据C的关联点为（6，﹣3），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；
（3）设，根据题意求出，进而表达出a，b，c，d的值，再根据F的关联点为（﹣200，0），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．
【详解】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，
∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，
A的关联点坐标为：（5，4），
故答案为：（5，4），
（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，
（x﹣2）（x+2）＝x2－4是二次多项式，且C的次数不能超过3次，
∴B中x的次数为1次，
∴设B＝nx+m，
∴，
∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，
∵整式C的关联点为（6，﹣3），
∴，，
解得：，，
∴B＝3x－2，
（3）根据题意：设，
∴
，
∴，
∵整式F的关联点为（﹣200，0），
∴，，
，，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴，，
∴或．
【点睛】本题考查了整式的乘法和规律探索，解题的关键是理解题意，灵活运用关联点的定义解决问题．
第10讲 整式的乘法（7大考点）
考点考向
一、同底数幂的乘法性质
(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.
二、幂的乘方法则
(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
三、积的乘方法则
(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
四、单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
五、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
六、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
考点精讲
考点一：同底数幂的乘法
1、计算：
（1）；（2）；
（3）．
【答案与解析】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体．
2.计算：
（1）；
（2）（为正整数）；
（3）（为正整数）．
【答案】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
3、已知，求的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：
【答案与解析】解：由得．∴ ．
【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：．
考点二：幂的乘方
1、计算：
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.
2、已知，求的值．
【答案与解析】 解：∵ ，∴ ．
【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
3.已知，．求的值．
【答案】解：．
4.已知，，求的值．
【答案】解：因为, .
所以.
5. 已知，请用含m、n的代数式表示.
【答案】.
【解析】.利用“”与求解！
6. 已知，求n的值；
【答案】2.
【解析】，所以，，故n＝2. 本题关键在于将左边整理成底数为3的形式，难点在于运用乘法对加法分配律的逆用！
考点三：积的乘方
1 、 计算：.
【答案】12.
【解析】原式＝.本题的关键是“积的乘方”运算的逆运用.
2、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）； （2）； （3）．
【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：．
（2）对．
（3）错，系数应为9，应为：．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
3.计算：
（1） （2）
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
考点四：单项式乘单项式
1.（2021春•沭阳县期末）计算：ab2•4a2b＝ ．
【完整解答】解：原式＝2a1+2b2+1＝2a3b3．
故答案为：2a3b3．
2.（2021•南岗区校级开学）下列计算正确的是（ ）
A．3x3•2x2y＝6x5 B．2a2•3a3＝6a5
C．（﹣2x）•（﹣5x2y）＝﹣10x3y D．（﹣2xy）•（﹣3x2y）＝6x3y
【完整解答】解：A、3x3×2x2y＝6x5y，故此选项错误；
B、2a2×3a3＝6a5，故此选项正确；
C、（﹣2x）×（﹣5x2y）＝10x3y，故此选项错误；
D、（﹣2xy）×（﹣3x2y）＝6x3y2，故此选错误．
故选：B．
3.计算：＝ ．
【完整解答】解：原式＝﹣2x•＝﹣x3y4，
故答案为：﹣x3y4，
考点五：单项式乘多项式
1.今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写 3xy ．
【完整解答】解：根据题意得：
﹣3xy（4y﹣2x﹣1）+12xy2﹣6x2y
＝﹣12xy2+6x2y+3xy+12xy2﹣6x2y
＝3xy．
故答案为：3xy．
2.如图，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）＝a2+ab成立，根据图2，利用面积的不同表示方法，仿照上边的式子写出一个等式 （a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 ．
【完整解答】解：由图示，得
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
3.（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）
【完整解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：
3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）
＝3y2+4xy﹣2y2
＝y2+4xy（平方米）．
∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．
（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，
两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，
∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），
∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．
4.（2020秋•安居区期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．
【完整解答】解：（1）设多项式为A，
则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）＝﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x＝，y＝，
∴原式＝﹣6×+2×﹣1＝﹣4+1﹣1＝﹣4．
考点六：多项式乘多项式
1.（2021春•天桥区期末）已知在（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16中，a、b为整数，则m的值一共有 种可能．
【完整解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16，
∴x2+bx+ax+ab＝x2+mx﹣16．
∴x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣16．
∴a+b＝m，ab＝﹣16．
又∵a、b为整数，
∴a＝±1或a＝±2或a＝±4或a＝±8或a＝±16．
当a＝1时，b＝﹣16，则a+b＝﹣15．
当a＝﹣1时，b＝16，则a+b＝15．
当a＝2时，b＝﹣8，则a+b＝﹣6．
当a＝﹣2时，b＝8，则a+b＝6．
当a＝4时，b＝﹣4，则a+b＝0．
当a＝﹣4时，b＝4，则a+b＝0．
当a＝8时，b＝﹣2，则a+b＝6．
当a＝﹣8时，b＝2，则a+b＝﹣6．
当a＝16时，b＝﹣1，则a+b＝15．
当a＝﹣16时，b＝1，则a+b＝﹣15．
综上：a+b＝﹣15或15或﹣6或6或0．
故答案为：5．
2.（2021春•宽城县期末）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示（m＞0），面积分别为S甲和S乙．
（1）①计算：S甲＝ ，S乙＝ ；
②用“＜”，“＝”或“＞”填空：S甲 S乙．
（2）若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为S正．
①该正方形的边长是 （用含m的代数式表示）；
②小方同学发现：S正与S乙的差与m无关．请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
【完整解答】解：（1）①S甲＝（m+9）（m+3）＝m2+12m+27，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24．
故答案为：m2+12m+27，m2+10m+24．
②∵S甲﹣S乙
＝m2+12m+27﹣（m2+10m+24）
＝2m+3＞0，
∴S甲＞S乙．
故答案为：＞．
（2）①∵C乙＝2（m+6+m+4）＝4m+20，
∴C正＝4m+20．
∴该正方形的边长为．
故答案为：m+5．
②正确，理由如下：
∵＝m2+10m+25，S乙＝（m+6）（m+4）＝m2+10m+24，
∴S正﹣S乙＝（m2+10m+25）﹣（m2+10m+24）＝1．
∴S正与S乙的差是1，故与m无关．
3.如图所示，现有边长分别为b、a的正方形、邻边长为b和a（b＞a）的长方形硬纸板若干．
（1）请选择适当形状和数量的硬纸板，拼出面积为2b2+3ab+a2的长方形，画出拼法的示意图；
（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为8ab的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有 种不同情况；
（3）现有①类纸板1张，②类纸板4张，则应至少取③类纸板 张才能用它们拼成一个新的正方形；
（4）已知长方形②的周长为20，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和．
【完整解答】解：（1）如图所示：S＝2b2+3ab+a2＝（a+b）（a+2b）；
（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为8ab的不同形状的长方形，
∵8ab可以分解为：a，8b；8a，b；2a，4b；4a，2b．
∴这些长方形的周长共有4种不同情况．
故答案为：4．
（3）设还需要③类纸片x张才能用它们拼成一个新的正方形；
则新正方形面积为：a2+4ab+xb2，且它是完全平方式．
∴x＝4．
故答案为：4．
（4）由已知得：a+b＝10，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76．
考点七：整式的乘法及其应用
1.（2021春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【解题思路】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．
【解答过程】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2
＝﹣4x3+（a+3）x2+x，
因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，
所以a+3＝0，
所以a＝﹣3．
故选：C．
2.（2021春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．1，﹣1 D．1，1
【解题思路】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．
【解答过程】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，
（a2﹣ma+2n）（a+1）
＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n
＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n
所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，
2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．
或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．
故选：A．
3.（2021春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【解题思路】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．
【解答过程】解：∵（a+3b）（a+2b）＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故选：C．
4.（2021春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 ．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
【解题思路】（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得等式；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，可得等式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形．
【解答过程】解：（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：
巩固提升
一、单选题
1．（2021·福建连江·八年级期中）下列各式运算中结果是x6是（ ）
A．x4+x2 B．x12÷x2 C．（x2）3 D．x2•x3
【答案】C
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】解：A、x4+x2，无法计算，不合题意；
B、x12÷x2＝x10，不合题意；
C、（x2）3＝x6，符合题意；
D、x2•x3＝x5，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2021·福建台江·八年级期中）2x3可以表示为（ ）
A．2x4﹣x B．x3＋x3 C．x3•x3 D．2x6÷x2
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘除法运算法则求解即可．合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变．同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】解：A、2x4和x不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，
∴2x3可以表示为x3＋x3，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了合并同类项和同底数幂的乘除法运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变．同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
3．（2021·黑龙江五常·八年级期中）若，，则的值为（ ）．
A．8 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【分析】根据同底数幂乘法的性质计算，即可得到答案．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的知识；解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法的性质，从而完成求解．
4．（2021·天津南开·八年级期中）计算：0.252020×（﹣4）2021＝（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【答案】A
【分析】利用积的乘方可以解答本题．
【详解】解：0.252020×(-4)2021
=(-0.25×4)2020×(-4)
=(-1)2020×(-4)
=-4．
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方把(-4)2021化成(-4)2020×(-4)是解题的关键．
5．（2021·天津南开·八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．b3•b3＝2b3 B．（a5）2＝a7
C．（﹣2a）2＝4a2 D．（ab）5÷（ab）2＝ab3
【答案】C
【分析】分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】解：A、b3•b3 =b6，原计算错误，故该选项不合题意；
B、（a5）2=a10，原计算错误，故该选项不合题意；
C、（﹣2a）2=4a2，正确，故该选项符合题意；
D、（ab）5÷（ab）2=（ab）3=a3b3，原计算错误，故该选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
6．（2021·河南·漯河市实验中学八年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．a2·a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（2m）2＝2m2 D．a5÷a3＝a2
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方计算法则进行逐一判断即可．
【详解】解：A、a2·a4＝a6，故此选项不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；
C、（2m）2＝4m2，故此选项不符合题意；
D、a5÷a3＝a2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方，解题的关键在于能够熟知相关计算法则．
7．（2021·山东阳信·八年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、 ，原选项正确，符合题意；
B、，原选项错误，不符合题意；
C、 与不是同类项，无法合并，原选项错误，不符合题意；
D、，原选项错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则是解题的关键．
8．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中） 下列各运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则计算出各项结果后再进行判断即可结论．
【详解】解：A、，所以A选项不正确，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C. ，所以C选项不正确，不符合题意；
D. ，所以D选项不正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂的除法：am÷an=am-n（m、n为正整数，m>n）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及合并同类项．
二、填空题
9．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算______．
【答案】
【分析】根据同底数幂乘法法则计算即可得答案．
【详解】===．
【点睛】本题考查同底数幂乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；熟练掌握运算法则是解题关键．
10．（2021·山东阳信·八年级期中）已知，那么的值为__________．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得，由此即可得．
【详解】解：，
则，
所以，
解得，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
11．（2021·贵州思南·八年级期中）若a3m＝2，a2n＝3，（m，n都是整数），则a6m﹣4n的值为 ___．
【答案】
【分析】直接利用同底数幂的除法以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵a3m=2，a2n=3，
∴a6m-4n
=a6m÷a4n
=（a3m）2÷（a2n）2
=22÷32
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）若____________．
【答案】
【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】，
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
13．（2021·辽宁大石桥·八年级期中）若am=3，则(a3)m=__．
【答案】27
【分析】根据幂的乘方的逆运算可得结果．
【详解】解：∵am=3，
∴(a3)m=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方以及其逆运算法则是解题的关键．
14．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）若，则______．
【答案】－3
【分析】根据两个非负数的和为零则它们均为零，可求得a与b的值，把a与b的值代入代数式中即可求得结果．
【详解】∵，，且
∴，
即a+3=0，3b+1=0
∴，
当，时，
故答案为：－3
【点睛】本题考查了两个非负数的和为零的性质，积的乘方逆用，求代数式的值等知识，利用两个非负数和为零的性质是本题的关键，积的乘方逆用是难点．
三、解答题
15．（2021·福建福清·八年级期中）计算：m•m7﹣（2m4）2．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项的计算法则进行求解即可
【详解】解： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
16．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】按照多项式乘多项式的法则乘出来，再合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘法法则是关键，但注意的是，不要出现漏乘．
17．（2021·辽宁大石桥·八年级期中）计算：
（1）[(-a)3]4； （2）(-m2)3·(-m3)2．
（3）[(m-n)2]5(n-m)3 （4）(-x2)5+(-x5)2
【答案】（1）a12；（2）-m12；（3）（n-m）13；（4）0
【分析】（1）由题意利用积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算即可；
（2）由题意先利用积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算，继而利用同底数幂的乘法进行计算即可；
（3）由题意先利用幂的乘方的运算法则进行计算，继而利用同底数幂的乘法进行计算即可；
（4）由题意先利用积的乘方和幂的乘方的运算法则进行计算，继而利用合并同类项原则进行计算即可.
【详解】解：（1）[(-a)3]4；
（2）(-m2)3·(-m3)2；
（3）[(m-n)2]5(n-m)3；
（4）(-x2)5+(-x5)2.
【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则是解题的关键.
18．（2019·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期中）定义：对于依次排列的多项式，，，，（，，，是常数），当它们满足，且为常数是，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡印子，例如：对于多项式，，，，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，
（1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子；
（2）若，，，是一组平衡数，则 ；
（3）当，，，之间满足什么数量关系时，他们是一组平衡数，并说明理由．
【答案】（1）-10；（2）-3；（3），证明见解析
【分析】（1）直接根据定义计算M的值；
（2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可；
（3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式．
【详解】解：（1）由题意有：M=
=18-28
=-10
（2）∵，，，是一组平衡数，
∴的结果为常数
∵=-x-12-(2+m)x-2m，
∴2+m=-1，
解的m=-3
故答案为：-3
（3）
证明：假设，，，是平衡数，
则结果为常数，
原式=x2+(d+a)x+ad-[x2+(c+d)x+ba]
=(d+a)x-(c+d)x+ ad- ba
=[(d+a) -(c+d)] x+ ad- ba
结果为常数，
，
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2020·黑龙江·哈尔滨市第三十九中学校八年级期中）如图，哈市某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a-b）米的长方形地块，角上有四个边长为a米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（a>b）
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a=20，b=10，求出当时绿化的总面积；
（3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项绿化任务.已知甲队每小时可绿化6平方米，乙队每小时绿化4平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？
【答案】（1）（）平方米；（2）500平方米；（3）50小时．
【分析】（1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论；
（2）把把a=20，b=10代入（1）的代数式即可得到结论；
（3）设甲队至多工作x小时，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）
答：绿化的总面积为（）平方米；
（2）把a=20，b=10代入得：
（平方米）
答：当时绿化的总面积为500平方米；
（3）设甲队至多工作x小时
∵要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间
∴甲队至多工作的时间=乙队的工作时间
∴乙队的工作时间为x小时
∴
答：甲队至多工作50小时．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级期中）计算：
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据单项式乘单项式的法则进行即可；
（2）先用幂的乘方，再用同底数幂的乘法进行即可；
（3）先计算幂的乘方，再分别计算同底数幂的乘法及同底数幂的除法．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查了正整数幂的混合运算，单项式乘单项式，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法及单项式乘单项式法则是关键．
21．（2021·辽宁大石桥·八年级期中）（1）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．
（2）已知a3m=3，b3n=2．求（a2m）3+（bn）3-a2mbn·a4mb2n的值．
【答案】（1）8；（2）-7
【分析】（1）先化为以2为底的幂的形式，再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，最后采用整体代入思想解题；
（2）先利用幂的乘方公式将所要求的式子化简，再代入解题．
【详解】解：（1）若2x+5y﹣3=0，则2x+5y=3
；
（2）（a2m）3+（bn）3-a2mbn·a4mb2n
=（a3m）2+（b3n）-a6mb3n
=（a3m）2+（b3n）-（a3m）2b3n
=32+2-32×2
=9+2-18
=-7．
【点睛】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、整体思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22．（2020·吉林大学附属中学八年级月考）已知：
（1）当时，______．
（2）试求：的值．
（3）判断的值的个位数是______．
【答案】（1）80；（2）63；（3）7．
【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则即可得；
（2）先根据已知等式归纳类推出一般规律，再将代入求值即可得；
（3）先根据一般规律可求出结果，再根据有理数的乘方即可得．
【详解】（1），
故答案为：80；
（2）归纳类推得：，其中，且为整数，
则，
，
；
（3），
，
∵，，，，，，且，
∴的个位数与的个位数相同，即为8，
∴的个位数为7，
即的值的个位数为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、整式乘法的规律性问题等知识点，根据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
23．（2021·北京·人大附中八年级期中）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 ．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为（6，﹣3），求整式B的表达式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式．
【答案】（1）（5，4）；（2）B＝3x－2；（3）或．
【分析】（1）根据整式得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根据关联点的定义得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的关联点坐标；
（2）根据题意得出B中x的次数为1次，设B＝nx+m，计算出，进而表达出a，b，c，d的值，再根据C的关联点为（6，﹣3），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；
（3）设，根据题意求出，进而表达出a，b，c，d的值，再根据F的关联点为（﹣200，0），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．
【详解】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，
∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，
A的关联点坐标为：（5，4），
故答案为：（5，4），
（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，
（x﹣2）（x+2）＝x2－4是二次多项式，且C的次数不能超过3次，
∴B中x的次数为1次，
∴设B＝nx+m，
∴，
∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，
∵整式C的关联点为（6，﹣3），
∴，，
解得：，，
∴B＝3x－2，
（3）根据题意：设，
∴
，
∴，
∵整式F的关联点为（﹣200，0），
∴，，
，，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴，，
∴或．
【点睛】本题考查了整式的乘法和规律探索，解题的关键是理解题意，灵活运用关联点的定义解决问题．
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第06讲 角平分线的性质（5大考点）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）： 这是一份第06讲 角平分线的性质（5大考点）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版），文件包含第06讲角平分线的性质5大考点解析版docx、第06讲角平分线的性质5大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
