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第08讲 二次函数定义、图像与性质（7大考点）-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）
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这是一份第08讲 二次函数定义、图像与性质（7大考点）-九年级数学考试满分全攻略（苏科版），文件包含第08讲二次函数定义图像与性质7大考点解析版docx、第08讲二次函数定义图像与性质7大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
第08讲 二次函数定义、图像与性质（7大考点）
考点考向
一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
四．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
五．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
六．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
七．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
考点精讲
一．二次函数的定义（共5小题）
1．（2021秋•淮阴区期末）函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝ ．
2．（2022秋•启东市校级月考）函数是关于x的二次函数，求m的值．
3．（2022秋•启东市校级月考）下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝x（﹣x+1） B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2x+3 D．y＝（x﹣1）2﹣x2
4．（2022秋•通州区校级月考）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
5．（2022•宿豫区开学）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
二．二次函数的图象（共1小题）
6．（2022秋•海安市月考）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是 ．
三．二次函数的性质（共6小题）
7．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
8．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣1，﹣4）
9．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022•苏州二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a＜0），则该函数图象的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2021秋•灌南县期末）在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝﹣x2+2x+1 C．y＝﹣2x2+x D．y＝﹣0.5x2+x
12．（2021秋•邗江区期末）已知函数y＝x2﹣2kx+k2+1．
（1）求证：不论k取何值，函数y＞0；
（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标．
四．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
13．（2022•南京一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＜0，c＜0
14．（2022•天宁区校级一模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）
A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0
15．（2022•仪征市二模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，若（m+1）a+b＞0，则m的取值范围是 ．
16．（2022秋•通州区校级月考）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0； ②b2＞4ac； ③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2022•灌南县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+c，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是 ．
18．（2021秋•南京期末）已知函数y1＝x+1和y2＝x2+3x+c（c为常数）．
（1）若两个函数图象只有一个公共点，求c的值；
（2）点A在函数y1的图象上，点B在函数y2的图象上，A，B两点的横坐标都为m，若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共8小题）
19．（2022秋•启东市校级月考）已知点A（2，3）在函数y＝ax2﹣x+1的图象上，则a等于 ．
20．（2021秋•淮阴区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣2，5）和（1，﹣4），求b、c的值．
21．（2022•武进区校级一模）已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为 ．
22．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
23．（2021秋•盐都区期末）如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y＝2x2上，点C，点D在x轴上．
（1）求点A的坐标；
（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．
24．（2022•溧阳市模拟）抛物线y＝x2上有三个点A、B、C，其横坐标分别为m、m+1、m+3，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．（2022•常熟市模拟）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝ B．m＝ C．m＝1 D．m＝4
26．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4与y轴的交点坐标是 ．
六．二次函数图象与几何变换（共8小题）
27．（2022•天宁区模拟）将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
28．（2022秋•如皋市校级月考）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
29．（2022•钟楼区校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣3关于y轴对称，所得到的抛物线解析式为 ．
30．（2022秋•启东市校级月考）在同一平面直角坐标系中，将函数y＝x2+1的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2单位，得到的图象的顶点坐标是 ．
31．（2022•东台市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点P，其顶点是A，点P'的坐标是（3，﹣2），将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P'，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是 ．
32．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2（x﹣1）2+1的图象为抛物线C．
（1）抛物线C顶点坐标为 ；
（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；
（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
33．（2022•泗洪县一模）把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式．
34．（2021秋•仪征市期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C．
（1）抛物线C顶点坐标为 ；
（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；
（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
七．二次函数的最值（共6小题）
35．（2022•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是 ．
36．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．
37．（2022•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 ．
38．（2022•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 ．
39．（2022•高邮市模拟）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S．
（1）当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝ ；
（2）在点P、Q的运动过程中，
①若S＝，求AP的长；
②求S的最大值．
40．（2022•宿豫区开学）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒时，PQ的长度为3cm？
（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？
（3）当t（0＜t＜5）为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．
巩固提升
一．选择题（共13小题）
1．（2022•武进区一模）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
2．（2022秋•启东市校级月考）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝4x+2 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝
3．（2022•钟楼区校级模拟）以下对二次函数y＝4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图像经过点（﹣1，﹣4）
D．x＞0时，y随x的增大而增大
4．（2022秋•通州区校级月考）已知两点A（﹣5，y1），B（1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≥y2＞yl，则x0的取值范围是（ ）
A．x0＞﹣2 B．x0＜﹣2 C．﹣5＜x0＜1 D．﹣2＜x0＜1
5．（2022•吴中区模拟）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣1
6．（2022•宿豫区校级开学）已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
7．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（ ）
A．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0 B．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0
C．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＞0 D．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＜0
8．（2022秋•启东市校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2022•工业园区校级二模）在平面直角坐标系，xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
10．（2022秋•通州区校级月考）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
11．（2022秋•如皋市校级月考）若A（m+1，y1）、B（m，y2），C（m﹣2，y3）为抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）上三点，且总有y2＞y3＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B． C． D．m＞3
12．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022•虎丘区校级模拟）设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．2
二．填空题（共9小题）
14．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，则当x 时，y随x增大而增大．
15．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3开口方向是 ．
16．（2022•昆山市校级一模）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[m，l﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值：④若m＜0，则当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ．
17．（2021秋•灌南县期末）关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是 ．
18．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是 ．
19．（2022秋•启东市校级月考）对于两个实数，规定min{a，b}表示a，b中的较小值，当a≥b时，min{a，b}＝b，当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{﹣1，3}＝﹣1．则函数y＝min{x2+2x+2，﹣x2+2}的最大值是 ．
20．（2022•相城区校级自主招生）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为 ．
21．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ．
22．（2022秋•通州区校级月考）二次函数y＝（x+1）2﹣5，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值是2m，最大值是2n，则m﹣n＝ ．
三．解答题（共3小题）
23．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 ；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 ；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 ．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
24．（2022•宿豫区开学）已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；
（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
25．（2022秋•通州区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：y＝x2﹣2（k﹣1）x+k（k为常数）．
（1）若抛物线G经过点（2，k），求k的值；
（2）若抛物线G经过点（k+1，y1），（1，y2），且y1＞y2．求出k的取值范围；
（3）若将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为（m，n），当k≥0时，求n﹣m的最大值．
第08讲 二次函数定义、图像与性质（7大考点）
考点考向
一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
四．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
五．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
六．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
七．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
考点精讲
一．二次函数的定义（共5小题）
1．（2021秋•淮阴区期末）函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝ ．
2．（2022秋•启东市校级月考）函数是关于x的二次函数，求m的值．
3．（2022秋•启东市校级月考）下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝x（﹣x+1） B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2x+3 D．y＝（x﹣1）2﹣x2
4．（2022秋•通州区校级月考）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
5．（2022•宿豫区开学）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
二．二次函数的图象（共1小题）
6．（2022秋•海安市月考）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是 ．
三．二次函数的性质（共6小题）
7．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
8．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣1，﹣4）
9．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022•苏州二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a＜0），则该函数图象的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2021秋•灌南县期末）在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝﹣x2+2x+1 C．y＝﹣2x2+x D．y＝﹣0.5x2+x
12．（2021秋•邗江区期末）已知函数y＝x2﹣2kx+k2+1．
（1）求证：不论k取何值，函数y＞0；
（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标．
四．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
13．（2022•南京一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＜0，c＜0
14．（2022•天宁区校级一模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）
A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0
15．（2022•仪征市二模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，若（m+1）a+b＞0，则m的取值范围是 ．
16．（2022秋•通州区校级月考）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0； ②b2＞4ac； ③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2022•灌南县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+c，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是 ．
18．（2021秋•南京期末）已知函数y1＝x+1和y2＝x2+3x+c（c为常数）．
（1）若两个函数图象只有一个公共点，求c的值；
（2）点A在函数y1的图象上，点B在函数y2的图象上，A，B两点的横坐标都为m，若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共8小题）
19．（2022秋•启东市校级月考）已知点A（2，3）在函数y＝ax2﹣x+1的图象上，则a等于 ．
20．（2021秋•淮阴区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣2，5）和（1，﹣4），求b、c的值．
21．（2022•武进区校级一模）已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为 ．
22．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
23．（2021秋•盐都区期末）如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y＝2x2上，点C，点D在x轴上．
（1）求点A的坐标；
（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．
24．（2022•溧阳市模拟）抛物线y＝x2上有三个点A、B、C，其横坐标分别为m、m+1、m+3，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．（2022•常熟市模拟）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝ B．m＝ C．m＝1 D．m＝4
26．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4与y轴的交点坐标是 ．
六．二次函数图象与几何变换（共8小题）
27．（2022•天宁区模拟）将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
28．（2022秋•如皋市校级月考）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
29．（2022•钟楼区校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣3关于y轴对称，所得到的抛物线解析式为 ．
30．（2022秋•启东市校级月考）在同一平面直角坐标系中，将函数y＝x2+1的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2单位，得到的图象的顶点坐标是 ．
31．（2022•东台市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点P，其顶点是A，点P'的坐标是（3，﹣2），将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P'，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是 ．
32．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2（x﹣1）2+1的图象为抛物线C．
（1）抛物线C顶点坐标为 ；
（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；
（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
33．（2022•泗洪县一模）把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式．
34．（2021秋•仪征市期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C．
（1）抛物线C顶点坐标为 ；
（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；
（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
七．二次函数的最值（共6小题）
35．（2022•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是 ．
36．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．
37．（2022•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 ．
38．（2022•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 ．
39．（2022•高邮市模拟）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S．
（1）当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝ ；
（2）在点P、Q的运动过程中，
①若S＝，求AP的长；
②求S的最大值．
40．（2022•宿豫区开学）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒时，PQ的长度为3cm？
（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？
（3）当t（0＜t＜5）为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．
巩固提升
一．选择题（共13小题）
1．（2022•武进区一模）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
2．（2022秋•启东市校级月考）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝4x+2 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝
3．（2022•钟楼区校级模拟）以下对二次函数y＝4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图像经过点（﹣1，﹣4）
D．x＞0时，y随x的增大而增大
4．（2022秋•通州区校级月考）已知两点A（﹣5，y1），B（1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≥y2＞yl，则x0的取值范围是（ ）
A．x0＞﹣2 B．x0＜﹣2 C．﹣5＜x0＜1 D．﹣2＜x0＜1
5．（2022•吴中区模拟）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣1
6．（2022•宿豫区校级开学）已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
7．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（ ）
A．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0 B．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0
C．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＞0 D．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＜0
8．（2022秋•启东市校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2022•工业园区校级二模）在平面直角坐标系，xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
10．（2022秋•通州区校级月考）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
11．（2022秋•如皋市校级月考）若A（m+1，y1）、B（m，y2），C（m﹣2，y3）为抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）上三点，且总有y2＞y3＞y1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B． C． D．m＞3
12．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022•虎丘区校级模拟）设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．2
二．填空题（共9小题）
14．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，则当x 时，y随x增大而增大．
15．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3开口方向是 ．
16．（2022•昆山市校级一模）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[m，l﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值：④若m＜0，则当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ．
17．（2021秋•灌南县期末）关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是 ．
18．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是 ．
19．（2022秋•启东市校级月考）对于两个实数，规定min{a，b}表示a，b中的较小值，当a≥b时，min{a，b}＝b，当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{﹣1，3}＝﹣1．则函数y＝min{x2+2x+2，﹣x2+2}的最大值是 ．
20．（2022•相城区校级自主招生）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为 ．
21．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ．
22．（2022秋•通州区校级月考）二次函数y＝（x+1）2﹣5，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值是2m，最大值是2n，则m﹣n＝ ．
三．解答题（共3小题）
23．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 ；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 ；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 ．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
24．（2022•宿豫区开学）已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；
（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
25．（2022秋•通州区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：y＝x2﹣2（k﹣1）x+k（k为常数）．
（1）若抛物线G经过点（2，k），求k的值；
（2）若抛物线G经过点（k+1，y1），（1，y2），且y1＞y2．求出k的取值范围；
（3）若将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为（m，n），当k≥0时，求n﹣m的最大值．
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