初中数学5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式精品练习题

第09讲 用待定系数法确定二次的函数的表达式（2大考点）

一．待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式．

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

二．二次函数的三种形式

二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；

②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；

③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．

一．待定系数法求二次函数解析式（共10小题）

1．（2022秋•启东市校级月考）某二次函数的图象过点（0，1），（1，6），且它的形状与抛物线y＝﹣3x2形状相同，开口方向相反，求这个二次函数的解析式．

2．（2022秋•通州区校级月考）形状与开口都与抛物线y＝﹣2x2+3x﹣1相同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线对应的函数解析式为 　   　．

3．（2022秋•通州区校级月考）已知抛物线y＝ax2经过点A（2，1）．

（1）求这个函数的解析式；

（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；

（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2021秋•建邺区校级期末）已知点（0，3）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，且当x＝1时，函数y有最小值2．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）如果两个不同的点C（m，6），D（n，6）也在这个函数的图象上，则m+n＝　   　．（直接写出结果）

5．（2022•宜兴市一模）请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式y＝　   　

6．（2022•通州区一模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点（﹣1，8），（4，3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点（t，y1），（t+1，y2）在该抛物线上，当t＞2时，试比较y1与y2的大小；

（3）点A（m，n）为该抛物线上一点，当2m﹣n取得最大值时，求点A的坐标．

7．（2021秋•启东市期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；

（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．

8．（2022•南通一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，求n的值．

9．（2022•惠山区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+m）2+m2﹣m的顶点为A，与y轴交于点B，则点B的坐标为 　   　（用含m的代数式表示）；若作AC⊥AB，且∠ABC＝∠ABO（C、O在AB的两侧），设点C的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为 　   　．

10．（2022秋•通州区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5）三点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜5时，y的取值范围为　   　；

（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝21，求出此时点P的坐标．

二．二次函数的三种形式（共6小题）

11．（2022秋•通州区校级月考）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1配方成顶点式为（　　）

A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣2

12．（2021秋•江都区校级月考）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）

A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 

C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25

13．（2021秋•崇川区月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，

（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．

（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．

14．（2021秋•张家港市月考）用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　   　．

15．（2021秋•灌云县校级月考）把二次函数y＝x2+4x﹣3化成y＝a（x+h）2+k的形式，正确的是（　　）

A．y＝（x+2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2+7 C．y＝（x﹣2）2﹣7 D．y＝（x+2）2+1

16．（2021秋•灌云县校级月考）（1）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0；

（2）用配方法求二次函数y＝x2+2x+3的最小值．

一、单选题

1．（2020·江苏徐州·九年级期末）已知抛物线与二次函数的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020·江苏·南通市海门区能仁中学九年级月考）在抛物线y＝x2﹣4-4上的一个点是（　　）

A．（4，0） B．（2，0） C．（-2，0） D．（0，-4）

3．（2020·江苏吴江·九年级期末）抛物线 的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为（     ）

A． B． C． D．

4．（2019·江苏射阳·二模）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟

5．（2020·江苏惠山·一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（   ）

A．16 B．15 C．12 D．11

6．（2021·江苏·九年级专题练习）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

则m、n的大小关系为（    ）

A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定

7．（2021·江苏宜兴·九年级期末）如图，抛物线交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C、D两点（点C在点D的左边），对称轴为直线，连接BD、AD、BC，若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（    ）

A．B的坐标是（－10，－8） B． 

C．D点坐标为（6，0） D．

8．（2020·江苏·靖江市实验学校九年级月考）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．（2020·江苏·苏州市金阊实验中学校九年级期中）若二次函数的的图像经过点，则_________．

10．（2020·江苏·滨海县滨淮农场学校九年级月考）抛物线与直线交于，则抛物线的解析式______________．

11．（2021·江苏新吴·九年级期末）在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点P为“对等点”．已知一个二次函数的图像上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为_________．

12．（2021·江苏滨海·九年级期末）如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么的值是_________．

13．（2021·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校二模）若二次函数的图像经过点，则代数式的值等于______．

14．（2021·江苏沛县·九年级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

则当x＝4时，y＝_____．

15．（2021·江苏省天一中学三模）如图，在平面直角坐标系中，有五个点，将二次函数的图象记为W．下列的判断中

①点A一定不在W上；

②点B，C，D可以同时在W上；

③点C，E不可能同时在W上．

所有正确结论的序号是_________．

16．（2021·江苏·沭阳红岩学校九年级期末）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：

下列结论：

①；

②当时，函数最小值为；

③若点，点在二次函数图象上，则；

④方程有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）

三、解答题

17．（2021·江苏·沭阳县修远中学九年级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

18．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，5）．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）连接AC、BC，求△ABC的面积．

19．（2021·江苏·高港实验学校二模）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线y＝kx+m（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE．

①若k＝1，求△CDE的面积；

②求证：CE∥AB．

20．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级月考）在平面直角坐标系中，抛物线过点和．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．

21．（2021·江苏·海安市紫石中学九年级月考）小明同学在用描点法画二次函数图象时，由于粗心，他算错了一个y值，列出了下面表格：

（1）请指出这个错误的y值，并说明理由；

（2）若点M（m，y1），N（m+4，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c图象上，且m＞1，试比较y1与y2的大小．

22．（2021·江苏·景山中学九年级期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．

（1）直接写出抛物线的函数表达式；

（2）如图1，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形AOCM面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由；

23．（2021·江苏海安·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格边长为1个单位长度，ABC在平面直角坐标系中如图所示．

（1）将ABC绕原点O逆时针旋转90°，画出对应的A1B1C1，并写出C1点的坐标；

（2）若抛物线经过A、B、C三点，求出该函数图像的解析式．