湘教版（2019）必修 第一册5.1 任意角与弧度制导学案

5．1.2　弧度制

教材要点

要点一　度量角的两种单位制

状元随笔　正确理解弧度与角度的概念

要点二　弧度数的计算

(1)正角：正角的弧度数是一个________．

(2)负角：负角的弧度数是一个________．

(3)零角：零角的弧度数是________．

(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.

要点三　角度制与弧度制的换算

状元随笔　对角度制与弧度制换算公式的理解

(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．

(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．

要点四　扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝________．

(2)扇形面积公式：S＝lr＝α·r2.

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)1 rad的角和1°的角大小相等．(　　)

(2)用弧度来表示的角都是正角．(　　)

(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．(　　)

(4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝|α|r＝30 cm.(　　)

2．(多选)下列各种说法中，正确的是(　　)

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的

C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad的角

D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关

3．将864°化为弧度为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．π

4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．

题型1　角度与弧度的互化

例1　(1)把－1 125°化为2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式是(　　)

A．－6π－    B．－6π＋

C．－8π－    D．－8π＋

(2)把－化成角度是(　　)

A．18°　　　B．－18°    C．36°　　　D．－36°

方法归纳

进行角度制与弧度制互化的原则和方法

(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．

(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·.

提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．

(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．

(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．

跟踪训练1　(多选)下列转化结果正确的是(　　)

A．30°化成弧度是

B．－化成度是－600°

C．67°30′化成弧度是

D．化成度是288°

题型2　用弧度制表示角

例2　已知角α＝2 005°.

(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；

(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．

方法归纳

(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．

(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．

跟踪训练2　(1)终边在直线y＝－x上的所有角的集合是(　　)

A．    B．

C．     D．

(2)用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

题型3　弧长公式与扇形面积公式的应用

例3　(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．

(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．

(3)已知一扇形的周长为40 cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

方法归纳

弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法

(1)将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是[0，2π)；

(2)利用α，l，r，S四个量“知二求二”代入公式．

跟踪训练3　(1)一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是(　　)

A．1    B．2

C．3    D．4

(2)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2.

易错辨析　混用角度与弧度致误

例4　下列与的终边相同的角的表示正确的是(　　)

A．2kπ＋45°(k∈Z)    B．k·360°＋(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)    D．kπ＋(k∈Z)

解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．

故选C.

答案：C

易错警示

课堂十分钟

1．1 920°的角化为弧度数为(　　)

A．     B．

C．    D．

2．已知α＝－2 rad，则角α的终边在(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

3．已知半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为(　　)

A．6     B．8

C．10    D．12

4．已知弧长为π的弧所对圆心角为60°，则这条弧所在圆的半径为________．

5．已知角α＝1 200°.

(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角．

(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．

5．1.2　弧度制

新知初探·课前预习

要点一

度　弧度　半径长　rad

要点二

(1)正数　(2)负数　(3)0　

要点三

2π rad　360°　π rad　180°　

要点四

α·r　

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关．

故选ABC.

答案：ABC

3．解析：864°＝864×＝.

故选C.

答案：C

4．解析：∵216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，

∴r＝25.

答案：25

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)－1 125°＝－3×2π－＝－4×2π＋＝－8π＋.

故选D.

(2)－＝－×°＝－36°.

故选D.

答案：(1)D　(2)D

跟踪训练1　解析：30°化成弧度是，A正确；－化成度是－600°，B正确；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C错误；化成度是288°，D正确．

故选ABD.

答案：ABD

例2　解析：(1)∵2 005°＝2 005× rad＝ rad＝rad，又∵π<<，

∴角α与终边相同，是第三象限的角．

(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，

由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.

∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－.

跟踪训练2　解析：(1)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限的角平分线所在的直线，故在0～2π范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：，.因此终边在直线y＝－x上的角的集合

S＝∪＝＝.故选D.

(2)对于题图①，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.

对于题图②，同理可得，所求集合为

{α}∪

{α}＝

{α}．

答案：(1)D　(2)见解析

例3　解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm，

依题意有

联立①②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.

当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，舍去；

当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad).∴θ＝ rad.

(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为r cm，面积为S cm2.

∵72°＝72×＝(rad)，∴l＝αr＝×20＝8π(cm).

∴S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2).

(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r cm，弧长为l cm，面积为S cm2，

则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，

∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.

∴当r＝10时，扇形的面积最大．

这个最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.

跟踪训练3　解析：(1)设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由扇形的弧长为6，面积为6.

则解得α＝3，

即扇形的圆心角为3 rad.

故选C.

(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为r cm，面积为S cm2，

因为120°＝120× rad＝(rad)，

所以l＝αr＝×＝(cm).

所以S＝lr＝××＝π(cm2).

答案：(1)C　(2)π

[课堂十分钟]

1．解析：∵1°＝rad，∴1 920°＝1 920×rad＝rad.

故选D.

答案：D

2．解析：∵1 rad＝()°，∴α＝－2 rad＝－()°≈－114.6°.故角α的终边在第三象限．

故选C.

答案：C

3．解析：由题可得该弧的弧长l＝3×4＝12.

故选D.

答案：D

4．解析：由弧长公式l＝|α|·r，可得半径r＝＝＝3.

答案：3

5．解析：(1)因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，又<<π，所以角α与的终边相同，所以角α是第二象限的角．

(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.

因为k∈Z，

所以k＝－2或k＝－1或k＝0.

故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.