高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.1 任意角与弧度制背景图ppt课件

5.1.2　弧度制

知识点1　角度制与弧度制

(1)度量角的两种制度

(2)弧度数的计算

比值与所取的圆的半径大小是否有关？

[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．

(3)角度制与弧度制的换算

(4)一些特殊角与弧度数的对应关系

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)1弧度的角是周角的.  (　　)

(2)1弧度的角大于1度的角．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)√

2.(1) rad化为角度是________；

(2)105°的弧度数是________．

(1)252°　(2)　[(1) rad＝°＝252°；

(2)105°＝105× rad＝ rad.]

知识点2　扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为r，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝αr.

(2)扇形面积公式：S＝lr＝αr2.

3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝R|α|＝1×30＝30(cm)．               (　　)

(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍．               (　　)

(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍．               (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

4.半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．

　[由已知得S扇＝××22＝.]

类型1　角度与弧度的互化与应用

【例1】　(1)①将112°30′化为弧度为________．

②将－rad化为角度为________．

(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．

(1)①rad　②－75°　[(1)①因为1°＝rad，

所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.

②因为1 rad＝，

所以－rad＝－＝－75°.]

(2)[解]　法一(化为弧度)：

α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad.显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

法二(化为角度)：

β＝ rad＝×＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，

φ＝×＝105°.

显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

角度制与弧度制互化的关键与方法

(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．

(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数．

(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．

1．(1)将－157°30′化成弧度为________．

(2)将－ rad化为度是________．

(1)－π rad　(2)－396°　[(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad.

(2)－ rad＝－×＝－396°.]

2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)

π，π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．

当k＝0时，θ＝72°＝π rad；

当k＝1时，θ＝432°＝π rad，

所以在[0,4π]中与72°角终边相同的角有π，π.]

类型2　用弧度数表示角

【例2】　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)

A．　　　　　 B．

C． D．

(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．

(1)D　[因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，

所以角α的终边落在直线y＝x上，

所以角α的集合是.]

(2)[解]　因为30°＝ rad,210°＝ rad，

这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.

1．弧度制下与角α终边相同的角的表示

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．

2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤

(1)仔细观察图形．

(2)写出区域边界作为终边时角的表示．

(3)用不等式表示区域范围内的角．

提醒：角度制与弧度制不能混用.

3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)

A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)

C　[A，B中弧度与角度混用，不正确．

π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C．]

4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．

[解]　30°＝ rad,150°＝ rad.

终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.

类型3　弧长公式与扇形面积公式的应用

【例3】　已知扇形的周长为8 cm.

(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；

(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．

以扇形的面积和弧长公式为切入点，建立面积与变量r或l的关系式，并思考最值的求解方法.

[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.

(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，

解得r＝2，l＝4，S＝lr＝4(cm2)．

(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0,4)，

则S＝lr＝(8－2r)r＝4r－r2

＝－(r－2)2＋4，

当r＝2时，Smax＝4，此时l＝4，圆心角α＝＝2.

扇形的弧长和面积的求解策略

(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝αr2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．

(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．

5．求半径为1 cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．

[解]　因为r＝1，α＝120×＝，

所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.

1．与1°角终边相同的角的集合是(　　)

A．

B．

C．

D．

C　[角度制与弧度制不能混用，故选C．]

2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)

A． rad　　 B． rad

C． rad D． rad

B　[由弧度数公式|α|＝，得|α|＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.]

3．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)

A．60°化成弧度是 rad

B．－π rad化成度是－600°

C．－150°化成弧度是－π rad

D． rad化成度是15°

ABD　[对于A,60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°.故选ABD．]

4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.

　[－570°＝－＝－4π＋.]

5．在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为________．

π　[150°＝，∴弧长l＝×＝π.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．角度制与弧度制怎样转化？

[提示]　1°＝ rad,1 rad＝.

2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？

[提示]