湘教版（2019）必修 第一册5.1 任意角与弧度制公开课教学设计及反思

5．2　任意角的三角函数

5．2.1　任意角三角函数的定义

第一课时　用比值定义三角函数

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角，sin α＝，cos α＝，tan α＝，三角函数值为两个边长的比值．

[问题]　(1)若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

(2)若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？

三、合作探究

知识点一　任意角的三角函数的定义

如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，r＝|OP|＝，利用点P的坐标定义sin α＝；cos α＝；tan α＝．以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切．

对于任意的角α，sin α，cos α都分别唯一对应一个值；当α≠＋kπ(k∈Z)时，tan α也唯一对应一个值，此时y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数称为三角函数．

对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？

知识点二　三角函数值的符号

如图所示：

正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；

正切：一三象限正，二四象限负．

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．　　　

四、精讲点拨

[例1]　(链接教科书第160页例1)(1)已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；

(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

[例2]　(链接教科书第162页例3)(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)A．第一象限　　　　　　　              B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

(2)填空sin 285°·cos(－105°)________0(填“＜”或“＞”)．

[例3]　求函数f(x)＝的定义域．

五、达标检测

1．(2021·南通高一月考)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(1，－2)，则sin α＝(　　)A．－　　　　B．     C.               D．－

2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2，3]    B．(－2，3)    C．[－2，3)               D．[－2，3]

3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为(　　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．以上三种情况都可能

4．若角60°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是_______．

5．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________．

六、课堂小结

   1. 三角函数的定义及应用;

   2. 三角函数值符号的判定;

   3. 三角函数的定义域.

课后作业

教后反思

第二课时　用有向线段表示三角函数

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

如图，已知锐角α的终边交单位圆(圆心在原点，半径为单位长度的圆)于点P，过点P作PM⊥OA于M，过A作单位圆的切线，交锐角α的终边于T.

[问题]　试用锐角α的三角函数表示OM，MP，AT?

三、合作探究

知识点　有向线段与三角函数线

1．有向线段的概念

规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．

规定：以坐标轴的方向为有向线段的正方向．

2．三角函数线

有向线段，，分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．

其中有向线段DP，OD，AT的方向和长度分别代表了sin α，cos α，tan α的符号和绝对值、正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．

四、精讲点拨

[例1]　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

(1)70°；(2)－110°；(3).

[例2]　利用三角函数线比较下列各组数的大小：

①sin 与sin ；②tan 与tan .

[例3]　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：

(1)sin α≥；(2)cos α≤－.

[例4]　求函数f(x)＝＋ln的定义域．

五、达标检测

1．下列三个命题：

①与的正弦线相等；②与的正切线相等；③与的余弦线相等．其中正确命题的个数为(　　)A．1　　　　　B．2           C．3                  D．0

2．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是(　　)

A.  B．

C.  D．[0，π]

3．若α∈，试判断sin α＋cos α与1的大小关系，并给出证明．

六、课堂小结

   1. 角度与弧度的换算;

   2. 三角函数线的作法;

   3. 三角函数线的应用.

课后作业

教后反思