湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数导学案，共12页。

教材要点
要点一 三角函数线
1．如图，设单位圆的圆心为直角坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D.
由单位圆与角α的交点P作出的这条带方向的线段DP，它的方向和长度分别代表了sin α的符号和绝对值，DP代表的实数就是角α的正弦，故DP称为角α的正弦线．同理有向线段OD称为角α的余弦线．
2．如图，过点A(1，0)作单位圆的切线x＝1，如果tan α存在，设该切线与角α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T(1，y1)，则tan α＝AT，称AT为角α的正切线．
要点二 三角函数值在各象限的符号
状元随笔 对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．因为从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．所以根据三角函数定义知：
(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；
(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)角α的正弦线的长度等于sin α.( )
(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( )
(3)已知α是三角形的内角，则必有cs α＞0.( )
(4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．( )
2．角π5和角6π5有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
3．若sin α＜0，tan α＞0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若α是第三象限角，则点P(sin α，cs α)在第________象限．
题型1 三角函数线的作法
例1 作出34π的正弦线、余弦线和正切线．
方法归纳
三角函数线的作法步骤
(1)作直角坐标系和角的终边．
(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)即向量MP，OM，AT分别为角的正弦线，余弦线和正切线．
跟踪训练1 作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．
题型2 利用三角函数线解三角不等式
例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥32；
(2)cs α≤－12.
方法归纳
1．用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤
(1)作出取等号的角的终边；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来．
2．求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．
跟踪训练2 求y＝lg (1－2cs x)的定义域．
题型3 三角函数值在各个象限的符号
角度1 三角函数值符号的判断
例3 判断下列各式的符号．
(1)sin 155°cs (－200°)；(2)sin2·cs3sin4·cs6.
方法归纳
求三角函数值或相关式子的符号的步骤
角度2 由三角函数值的符号判断角所在象限
例4 若sin αtan α＜0，且csαtanα＜0，则角α是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
方法归纳
由三角函数值的符号判断角所在象限的方法
根据三角函数值的符号逆推出角所在的象限(或坐标轴)，当已知该角的两个三角函数值时应取其所在象限的交集．
跟踪训练3 角x的终边在第三象限，则下列各式中符号为正的是( )
A．sin x＋cs x B．cs x－tan x
C．tan x·sin x D．tan x－sin x
易错辨析 判断三角函数值符号时忽略轴线角致误例5 已知角α的终边过点P(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
解析：方法一 ∵cs α≤0，
∴α的终边在第二或第三象限内，或y轴上，或x轴的非正半轴上．
∵sin α＞0，∴α的终边在第一或第二象限内，或y轴的非负半轴上．
∴点P在第二象限或y轴的非负半轴上．
∴3a-9≤0，a+2＞0，∴－2＜a≤3，
∴实数a的取值范围是(－2，3].
方法二 由三角函数的定义可知，cs α＝3a-9r≤0，
sin α＝a+2r＞0，
∴3a-9≤0，a+2＞0，∴－2＜a≤3，
∴实数a的取值范围是(－2，3].
答案：(－2，3]
易错警示
课堂十分钟
1．在[0，2π]上满足sin x≥12的x的取值范围是( )
A．[0，π6] B．[π6，5π6]
C．[π6，2π3] D．[5π6，π]
2．已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若角α的终边过点(－5，－3)，则( )
A．sin αtan α＞0 B．cs αtan α＞0
C．sin αcs α＞0 D．sin αcs α＜0
4．当α为第二象限角时，sinαsinα-csαcsα的值是________．
5．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝23；
(2)cs α＝－35.
第2课时 用有向线段表示三角函数
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：π5与6π5的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．
答案：C
3．解析：若sin α<0，则α是终边落在第三、四象限或y轴非正半轴上的角．若tan α>0，则α是终边落在第一或三象限的角，故α在第三象限内．
答案：C
4．解析：∵α为第三象限角，
∴sin α<0，cs α<0，
∴P(sin α，cs α)位于第三象限．
答案：三
题型探究·课堂解透
例1 解析：在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴为始边作角34π，角的终边与单位圆交于点P作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin34π＝MP，cs34π＝OM，tan34π＝AT， 即34π的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
跟踪训练1 解析：如图所示，所以角－58π的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
例2 解析：(1)作直线y＝32，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为α2kπ+π3≤α≤2kπ＋2π3,k∈Z
(2)作直线x＝－12，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为α2kπ+2π3≤α≤2kπ＋4π3,k∈Z.
跟踪训练2 解析：如图所示，因为1－2cs x＞0，所以cs x＜22，所以2kπ＋π4＜x＜2kπ＋7π4 (k∈Z)，所以函数定义域为(2kπ＋π4,2kπ＋7π4) (k∈Z).
例3 解析：(1)∵155°是第二象限角，∴sin 155°>0.
∵－200°＝－360°＋160°，∴－200°是第二象限角，∴cs (－200°)<0.
∴sin 155°cs (－200°)<0.
(2)∵2∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，3∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) ，4∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) ，6∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π)) ，
∴sin 2>0，cs 3<0，sin 4<0，cs 6>0，∴ eq \f(sin 2·cs 3,sin 4·cs 6) >0.
例4 解析：由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．
由 eq \f(cs α,tan α) <0可知cs α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．
答案：C
跟踪训练3 解析：由于角x的终边在第三象限，那么有sin x<0，cs x<0，tan x>0，所以sin x＋cs x<0，cs x－tan x<0，tan x·sin x<0，tan x－sin x>0.故选D.
答案：D
[课堂十分钟]
1．解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥12的取值范围是[π6,5π6].
答案：B
2．解析：因为点P在第三象限，
所以tan α<0，cs α<0，所以α为第二象限角．
故选B.
答案：B
3．解析：∵角α的终边过点(－5，－3)，
∴sin α<0，cs α<0，tan α>0，
∴sin αcs α>0
故选C.
答案：C
4．解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cs α<0，∴sinαsinα-csαcsα＝sinαsinα－csα-csα＝2.
答案：2
5．解析：(1)作直线y＝23交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－35交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．
易错原因
纠错心得
忽略了角α的终边落在y轴的非负半轴上，导致得到错误答案(－2，3)．
由三角函数值的符号确定参数的取值范围时，要注意“等号”(轴线角)问题，掌握三角函数的定义是解决该问题的关键．如角α的终边过点(x，y)，则sin α＞0⇔y＞0⇔α的终边在第一或第二象限内，或y轴的非负半轴上．