湘教版（2019）必修 第一册5.1 任意角与弧度制当堂达标检测题

课时跟踪检测(三十七)　弧度制

[A级　基础巩固]

1．(2021·常州高一月考)学校操场上的铅球投掷落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为(　　)

A．0.6　　　　　　　　 B．6

C．60  D．600

解析：选A　根据条件得，扇形半径为10，弧长为6，所以圆心角为＝0.6 rad.

2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为π，则这个圆心角所对的弧长为(　　)

A．2π  B．πsin 2

C.  D．

解析：选C　由题知弧度数θ＝2的圆心角所对的弦长为π，设圆的半径为r，由sin 1＝，得r＝.根据弧长公式l＝θr＝2r＝.故选C.

3．把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为(　　)

A．－3π－π  B．－4π＋150°

C．－3kπ－30°  D．－4π＋π

解析：选D　因为－570°与π的终边相同，所以把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π)的形式为－4π＋π.

4．(多选)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选CD　直线y＝－x过原点，经过第二、四象限，故在[0，2π)内终边在直线y＝－x上的角有两个：，.因此终边在直线y＝－x上的角的集合：

S＝∪

＝∪

＝.

或者表示为.故选C、D.

5．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步＝1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(　　)

A．135平方米  B．270平方米

C．540平方米  D．1 080平方米

解析：选B　根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝lr＝×45×＝270(平方米)．

6．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________．

解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为 rad.

答案：

7．－105°化为弧度为________，化为角度为________．

解析：－105°＝－105×＝－π，

π＝π×°＝660°.

答案：－π　660°

8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________．

解析：如图所示，设角的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，则以OB为终边且在0到2π之间的角为，

故以OB为终边的角的集合为.

∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋<4π，∴－<k<.

∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1.

∴α＝－，－，，.

答案：－，－，，

9．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．

(1)－1 500°；(2)π.

解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋，

∴－1 500°与终边相同，是第四象限角．

(2)∵π＝2π＋π，

∴π与π终边相同，是第四象限角．

10．已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

(1)求弦AB所对的圆心角α(0＜α＜π)的大小；

(2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.

解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝.

(2)因为α＝，所以l＝αr＝，

S扇形＝lr＝××10＝.

又因为S△AOB＝×10×10×＝25，

所以S＝S扇形－S△AOB＝－25＝50.

[B级　综合运用]

11.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)

A.  B．

C.  D．π

解析：选B　设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B.

12.(2021·张家界高一质检)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图所示．

设制作扇子的扇形面积为S1，圆面中剪下丢去部分的面积为S2，当＝≈0.618时，扇面看上去形状较为美观，那么此时制作扇子的扇形圆心角的度数约为(　　)

A．127.50°  B．137.50°

C．147.50°  D．150.50°

解析：选B　设圆的半径为R，圆面中剪下扇形的圆心角为α，剪下丢去部分的圆心角为β，依题意得＝＝＝，∴β＝α.又α＋β＝360°，

∴α＋α＝360°，解得α＝×360°≈137.50°.故选B.

13．(2021·六安舒城中学高一统考)若角θ与2θ的终边关于x轴对称，且－π≤θ≤π，则θ所构成的集合为________．

解析：角θ与2θ的终边关于x轴对称，

所以得到θ＝2kπ－2θ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z.

因为－π≤θ≤π，所以k＝－1，0，1，所以θ＝－，0， .

答案：

14．集合A＝∪，B＝∪，求证：BA.

证明：因为＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪；而＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪.

比较集合A，B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B中的元素，所以BA.

[C级　拓展探究]

15.某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和线段AD，BC围成的．设圆弧，所在圆的半径分别为r1，r2(单位：米)，圆心角为θ(单位：弧度)．

(1)若θ＝，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；

(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1 200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？

解：(1)花坛的面积S＝×62×－×32×＝π(平方米)．

(2)弧的长为r1θ米，弧的长为r2θ米，线段AD的长为(r2－r1)米．

由题意知60·2(r2－r1)＋90(r1θ＋r2θ)＝1 200，

即4(r2－r1)＋3(r2θ＋r1θ)＝40(*)．

则花坛的面积S＝rθ－rθ＝(r2θ＋r1θ)(r2－r1)．

由(*)式知，r2θ＋r1θ＝－(r2－r1)，

记r2－r1＝x，则0<x<10，

所以S＝x＝－(x－5)2＋，x∈(0，10)，

当x＝5时，S取得最大值，即AD＝5米时，花坛的面积最大．