湘教版（2019）必修 第一册5.1 任意角与弧度制当堂检测题

课时跟踪检测(三十六)　角的概念的推广

[A级　基础巩固]

1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　)

A．120°　　　　　　　　　　 B．－120°

C．240°  D．－240°

解析：选D　按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.

2．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为(　　)

A．－480°  B．－240°

C．150°  D．480°

解析：选D　由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为480°，∴α＝480°.

3．在－720°～0°范围内所有与30°角终边相同的角为(　　)

A．－330°  B．－690°

C．－690°或－330°  D．－300°或－330°

解析：选C　所有与30°角终边相同的角可表示为β＝30°＋k·360°(k∈Z)，

则令－720°≤30°＋k·360°≤0°(k∈Z)，

得－750°≤k·360°≤－30°(k∈Z)，

解得≤k≤(k∈Z)，

从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－690°或β＝－330°.故选C.

4．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：选AC　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三角限角．故选A、C.

5．若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是(　　)

解析：选C　当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°；

当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，故选C.

6．与2 020°角终边相同的最小正角是________；与2 020°角终边相同的最大负角是________．

解析：因为与2 020°角终边相同的角是2 020°＋ k·360°(k∈Z)，所以当k＝－5时，与2 020°角终边相同的最小正角是220°角．当k＝－6时，与2 020°角终边相同的最大负角是－140°.

答案：220°　－140°

7．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________．

解析：因为α与120°角终边相同，

故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.

又因为－990°<α<－630°，

所以－990°<k·360°＋120°<－630°，

即－1 110°<k·360°<－750°.

当k＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.

答案：－960°

8．若α是第四象限角，则的终边所在的象限是第________象限．

解析：∵α是第四象限角，∴270°＋360°·k<α<360°·k＋360°，∴135°＋180°·k<<180°·k＋180°，∴45°＋180°·k<－90°<180°·k＋90°.

当k为偶数时，角的终边在第一象限，当k为奇数时，角的终边在第三角限．

答案：一或三

9．如图所示：

(1)分别写出终边落在射线OA，OB位置上的角的集合；

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

解：(1)终边在射线OA的最小正角为150°，故终边在射线OA的角的集合为{α|α＝150°＋k·360°，k∈Z}．

同理，终边在射线OB上的最大负角为－45°，

故终边在射线OB的角的集合为{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．

(2)由题图知，阴影部分区域表示为{x|－45°＋k·360°≤x≤150°＋k·360°，k∈Z}．

10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：

(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？

(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．

解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，得－<k<，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.

(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，

∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.

[B级　综合运用]

11．如果角α与x＋45°的终边相同，角β与x－45°的终边相同，那么α与β的关系是(　　)

A．α＋β＝0°

B．α－β＝0°

C．α＋β＝k·360°(k∈Z)

D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)

解析：选D　由题意知α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，

∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．

12．(多选)设α是第三象限角，则的终边所在的象限可能是(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选BD　法一：如图所示，作各个象限的角平分线，

标号Ⅲ所在的区域即为所在的区域，故选B、D.

法二：由α是第三象限角得180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z，

∴90°＋k·180°＜＜135°＋k·180°，k∈Z，

当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则90°＋n·360°＜＜135°＋n·360°(n∈Z)，∴为第二象限角；

当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，

则270°＋n·360°＜＜315°＋n·360°(n∈Z)，

∴为第四象限角．

∴为第二或第四象限角，故选B、D.

13．已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________．

解析：∵角α，β都是锐角，

∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜α－β＜90°.

由题意可知，α＋β＝－280°＋k1·360°，k1∈Z，

∴α＋β＝80°.①

又α－β＝670°＋k2·360°，k2∈Z，

∴α－β＝－50°.②

由①②得，α＝15°，β＝65°.

答案：15°　65°

14．(2021·无锡高一周练)已知α是第一象限角，β是第二象限角，试确定终边所在的位置．

解：由已知得k1·360°<α<90°＋k1·360°， ①

90°＋k2·360°<β<180°＋k2·360°. ②

由①＋②得90°＋(k1＋k2)·360°<α＋β<270°＋(k1＋k2)·360°.∴45°＋(k1＋k2)·180°<<135°＋(k1＋k2)·180°(k1，k2∈Z)．当k1＋k2＝2m(m∈Z)时，45°＋m·360°<<135°＋m·360°.的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上；当k1＋k2＝2m＋1(m∈Z)时，225°＋m·360°<<315°＋m·360°，的终边在第三象限或第四象限或y轴的非正半轴上．

[C级　拓展探究]

15.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．

解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.

又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，

∴67.5°<<112.5°.

又k∈Z，∴k＝3或4，∴所求的θ的值为或.

∵0°<<90°，90°<<180°，

∴θ在第一象限或第二象限．