高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.1 任意角与弧度制学案

5．1　任意角与弧度制

5．1.1　角的概念的推广

周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．

[问题]　小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？

知识点一　任意角的概念

1．角的概念

角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形．

2．角的分类

3．角的加法

(1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β；

(2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β；

(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)．

当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？

提示：不是的．虽然始边、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)小于90°的角都是锐角．(　　)

(2)大于90°的角都是钝角．(　　)

(3)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

2．下列说法正确的是(　　)

A．最大的角是180°　　　 B．最大的角是360°

C．角不可以是负的  D．角可以是任意大小

答案：D

3．下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．

解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.

在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.

同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.

答案：①④　②③

知识点二　象限角与终边相同的角

1．象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．各象限角的集合

3.终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解

(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；

(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；

(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)终边相同的角一定相等．(　　)

(2)－30°是第四象限角．(　　)

(3)第二象限角是钝角．(　　)

(4)225°是第三象限角．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．与 610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)(　　)

A．k·360°＋230°  B．k·360°＋250°

C．k·360°＋70°  D．k·180°＋270°

答案：B

3．－179°角是(　　)

A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

答案：C

[例1]　(多选)下列说法正确的是(　　)

A．锐角都是第一象限角

B．第一象限角一定不是负角

C．小于180°的角是钝角、直角或锐角

D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角

[解析]　锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；

－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；

0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；

由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．

[答案]　AD

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．　　　　

[跟踪训练]

1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　)

A．150°　　　　　　　　 B．－150°

C．390°  D．－390°

解析：选B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B.

2．下列结论：

①三角形的内角必是第一、二象限角；

②始边相同而终边不同的角一定不相等；

③钝角比第三象限角小．

其中正确的结论为________(填序号)．

解析：①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；

②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；

③钝角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故③不正确．

答案：②

[例2]　(链接教科书第153页例2)已知角α＝2 021°.

(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜360°；

(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角．

[解]　(1)由2 021°除以360°，得商为5，余数为221°，∴取k＝5，β＝221°，则α＝5×360°＋221°.又β＝221°是第三象限角，∴α为第三象限角．

(2)与2 021°角终边相同的角为k·360°＋2 021°，k∈Z.令－360°≤k·360°＋2 021°＜360°，k∈Z，∴k可取－6，－5，将k的值代入k·360°＋2 021°中，得角θ为－139°，221°.

(3)由(2)知，与α终边相同的最大负角是－139°，最小正角是221°.

终边相同角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．　　　　

[跟踪训练]

1．(2021·吉林实验中学高一月考)将－880°化为α＋k×360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　)

A．160°＋(－3)×360°  B．200°＋(－2)×360°

C．160°＋(－2)×360°  D．200°＋(－3)×360°

解析：选D　易知－880°＝200°＋(－3)×360°，故选D.

2．在直角坐标系中写出下列角的集合：

(1)终边在x轴的非负半轴上；

(2)终边在y＝x(x≥0)上．

解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．

(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．

[例3]　(链接教科书第153页例1)(1)(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是(　　)

A．①  B．②

C．③  D．④

[解析]　第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角．故选A、B、C.

[答案]　ABC

(2)已知α是第二象限角，求角所在的象限．

[解]　∵α是第二象限角，

∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．

∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．

当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得

n·360°＋45°<<n·360°＋90°，

这表明是第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得

n·360°＋225°<<n·360°＋270°，

这表明是第三象限角．

∴为第一或第三象限角．

[母题探究]

1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．

解：∵α是第二象限角，

∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．

∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．

∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．

2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？

解：∵k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，

∴k·180°<<k·180°＋45°(k∈Z)．

当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<<n·360°＋45°，

∴是第一象限角．

当k＝2n＋1(n∈Z)时，

n·360°＋180°<<n·360°＋225°，

∴是第三象限角．

∴是第一或第三象限角．

1．给定一个角判断它是第几象限角的思路

判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°(其中k∈Z，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．

2．分角、倍角所在象限的判定思路

(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；

(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．　　　　

[跟踪训练]

1．－1 060°的终边落在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选A　因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边落在第一象限．

2．若α是第四象限角，则180°－α是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：选C　因为α是第四象限角，则角α应满足：

k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z，

所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，则－k·360°＋180°＜180°－α＜－k·360°＋270°，k∈Z，

当k＝0时，180°＜180°－α＜270°，故180°－α为第三象限角．

1．期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了(　　)

A．360°  B．720°

C．－360°  D．－720°

解析：选D　因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.

2．已知集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)

A．A＝B  B．B＝C

C．A＝C  D．A＝D

解析：选D　集合A中锐角θ满足0°<θ<90°；集合B中θ<90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°<θ<90°.故A＝D.

3．下面各组角中，终边相同的是(　　)

A．390°，690°  B．－330°，750°

C．480°，－420°  D．3 000°，－840°

解析：选B　∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°角与750°角的终边相同．

4．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________．

解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.

又180°＜α＜360°，∴α＝270°.

答案：270°