高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.1 任意角与弧度制导学案

5．1.2　弧度制

公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念．欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算．

[问题]　按照上述定义30°是多少弧度？

知识点一　度量角的两种制度

1．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．

2．不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值．　　　　

知识点二　角度制与弧度制的换算

1．弧度数的计算

2．弧度与角度的换算

1．一个角的度数是否对应一个弧度数？

提示：是．一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的．

2．在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？

提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　　)

(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　)

(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.(　　)

(4)1 rad的角比1°的角要大．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　

2．(多选)下列转化结果正确的是(　　)

A．60°化成弧度是

B．－π化成度是－600°

C．－150°化成弧度是－π

D.化成度是15°

答案：ABD

知识点三　扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝αR；

(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2．

在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm)．(　　)

(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．(　　)

答案：(1)×　(2)×

2．已知扇形的半径r＝30，圆心角α＝，则该扇形的弧长等于________，面积等于________．

答案：5π　75π

[例1]　(链接教科书第156页例4、例5)将下列角度与弧度进行互化：

(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.

[解]　(1)π＝×180°＝15 330°.

(2)－＝－×180°＝－105°.

(3)10°＝10×＝.

(4)－855°＝－855×＝－.

角度制与弧度制的互化原则和方法

(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算；

(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝°；n°＝n· rad.

[注意]　用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．　　　　

[跟踪训练]

1．把下列弧度化为角度：

(1)＝________；

(2)－＝________．

解析：(1)＝°＝690°.

(2)－＝－°＝－390°.

答案：(1)690°　(2)－390°

2．把下列角度化为弧度：

(1)－1 500°＝________；

(2)67°30′＝________．

解析：(1)－1 500°＝－1 500×＝－π.

(2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝.

答案：(1)－　(2)

[例2]　(链接教科书第157页练习2题)把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．

(1)－；(2)－1 485°.

[解]　(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.

(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，

它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.

弧度制下与角α终边相同的角的表示

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．

[注意]　(1)注意角度与弧度不能混用；

(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z.　　　　

[跟踪训练]

1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第四象限

C．x轴上  D．y轴上

解析：选D　∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，

∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上，故选D.

2．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　)

A.

B.

C.

D.(k∈Z)

解析：选D　阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．

[例3]　(链接科书第156页例6)若扇形的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，则扇形圆心角(正角)的弧度数为(　　)

A.　　　 B．　　　

C.　　　 D．

[解析]　设扇形的半径为r，圆心角为α(0＜α＜2π)，

由题意，得

由②得，r＝， ③

把③代入①，得2α2－17α＋8＝0.

解得α＝或α＝8(舍去)．

故扇形圆心角的弧度数为.

[答案]　A

关于弧度制下扇形问题的解决方法

(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；

(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．　　　　

[跟踪训练]

1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．

解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π.

答案：4　6π

2．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，

则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，

所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.

所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.

扇形的弧长公式的应用

如图，点P，Q从点A(4，0)同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转.

[问题探究]

1．点P，Q第一次相遇时用了多少秒？

提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t·＋t·＝2π，解得t＝4，∴第一次相遇时用了4 s.

2．点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？

提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角－的终边与圆相交的位置，

∴点P走过的弧长为·4＝，点Q走过的弧长为×4＝.

3．若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？

提示：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t·－t·＝2π，解得t＝12 s．所以第一次相遇时用了12 s.

[迁移应用]

圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为(　　)

A．2π　　　　　　　　 B．π

C.π  D．π

解析：选D　因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示，故当点A首次回到点P的位置时，正方形在圆周上滚动了2圈，而自身滚动了3圈．设第i(i∈N＋)次滚动点A的路程为Ai，则A1＝×AB＝，A2＝×AC＝，A3＝×DA＝，A4＝0，所以点A所走过的路程为3(A1＋A2＋A3＋A4)＝π.

1.对应的角度为(　　)

A．75°　　　　　　　　　 B．125°

C．135°  D．155°

解析：选C　由于1 rad＝°，所以＝π×°＝135°，故选C.

2．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　)

A.π cm  B．π cm

C.π cm  D．π cm

解析：选A　根据弧长公式，得l＝×8＝(cm)．

3．与角终边相同的角是(　　)

A.  B．2kπ－(k∈Z)

C．2kπ－(k∈Z)  D．(2k＋1)π＋(k∈Z)

解析：选B　A错误，＝2π＋，与角的终边不同；B正确，2kπ－，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)上的角为，与角有相同的终边；C错误，2kπ－，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同；D错误，(2k＋1)π＋，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同．

4．用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．

解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ<α<2kπ＋π(k∈Z)．

答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z}