5.1.2　弧度制

课标要求　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.

2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.

素养要求　1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，发展学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，发展学生的数学运算素养.

自 主 梳 理

1.度量角的两种单位制

2.弧度数

(1)正角：正角的弧度数是一个正数.

(2)负角：负角的弧度数是一个负数.

(3)零角：零角的弧度数是0.

(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.

3.角度制与弧度制的换算

4.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.(×)

提示　1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.

(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(√)

(3)160°化为弧度制是π rad.(√)

(4)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30.(×)

提示　扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.

2.下列命题中，假命题是(　　)

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的

C.1 rad的角比1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关

答案　D

解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.

3.2 340°转化为弧度为________.

答案　13π

解析　2 340×＝13π.

4.已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为________.

答案　

解析　由S＝|α|r2得＝×α×12，所以α＝.

题型一　角度与弧度的互化

例1 将下列角度与弧度进行互化：

(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π.

解　(1)20°＝20×＝；

(2)－800°＝－800×＝－π；

(3)＝×°＝105°；

(4)－π＝－π×°＝－144°.

思维升华　角度制与弧度制互化的原则和方法

(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算.

(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·°；n°＝n·.

训练1 (1)把112°30′化成弧度；

(2)把－化成度.

解　(1)112°30′＝°＝×＝.

(2)－＝－×°＝－75°.

题型二　用弧度制表示角的集合

例2 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).

解　(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为.

(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是.

思维升华　根据已知图形写出区域角的集合的步骤

(1)仔细观察图形.

(2)写出区域边界作为终边时角的表示.

(3)用不等式表示区域范围内的角.

(4)按逆时针方向书写.

训练2 已知角α＝2 010°.

(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；

(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.

解　(1)2 010°＝2 010×＝

＝5×2π＋，

又π<<，∴α与终边相同，是第三象限的角.

(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ<0，

∴当k＝－3时，γ＝－π；

当k＝－2时，γ＝－π；

当k＝－1时，γ＝－π.

题型三　扇形的弧长公式与面积公式的应用

例3 如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，的长度为100π m.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？

解　如图所示，

∵∠AOB＝60°＝，的长度为100π m，

∴OA＝＝300(m).

根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C.

则∠O1OC＝30°＝，

OO1＝OA－O1C＝300－O1C，

又O1C＝O1O·sin ，

故O1C＝(300－O1C)×，

解得O1C＝100 m.

这时⊙O1的面积为π×1002＝10 000 π(m2).

即当圆形广场所在的圆为扇形AOB内切圆且半径为100 m时，其广场所占面积最大，且最大面积为10 000π m2.

思维升华　弧长公式及扇形面积公式的应用类问题的解决方法

首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.

训练3 若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为(　　)

A.1∶3   B.2∶3 

C.4∶3   D.4∶9

答案　B

解析　设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则R＝r＋＝r＋2r＝3r.

∴S内切圆＝πr2.

S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2.∴S内切圆∶S扇形＝2∶3.

[课堂小结]

1.角度制与弧度制互化的原则是应用180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算.

2.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度，根据具体的条件选用公式，涉及最值问题往往转化为二次函数的最值问题.

一、基础达标

1.与α＝＋2kπ(k∈Z)终边相同的角是(　　)

A.345°   B.375° 

C.－   D.

答案　B

解析　因为k＝1，α＝＋2π＝375°，所以选B.

2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为(　　)

A.3   B.6 

C.9   D.12

答案　B

解析　设扇形的半径为R，由题意可得＝3，则R＝2，扇形的面积S＝lR＝×6×2＝6.

3.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为(　　)

A.sin 2   B. 

C.2sin 1   D.tan 1

答案　B

解析　由图可知，弦长AB＝2，所以半径为，由弧长公式可得：lAB＝αr＝，故选B.

4.把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)

A.－π   B.－2π

C.π   D.－π

答案　A

解析　和－π终边相同的角的表示为－π＋2kπ，k∈Z，即2k1π－π或2k2π＋π，要使|θ|最小，所以θ＝－π.

5.(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　AD

解析　设该弦所对的圆周角为α，

则其圆心角为2α或2π－2α，

由于弦长等于半径，

所以可得2α＝或2π－2α＝，

解得α＝或α＝.

6.若的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为________.

答案　4

解析　∵l＝|α|r，∴r＝＝4.故答案为4.

7.若α∈(0，π)，且α与角－终边相同，则α＝________.

答案　

解析　－＝－2π＋，故α＝.

8.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________.

答案　2

解析　由扇形面积公式S＝lr＝l·＝，知1＝，所以α＝2.

9.如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.

解　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成.故满足条件的角的集合为.

(2)将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为.

(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为.

(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.

10.已知α＝1 690°.

(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).

解　(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.

(2)∵θ与α终边相同，

∴θ＝2kπ＋π(k∈Z).

又θ∈(－4π，4π)，

∴－4π<2kπ＋π<4π，

∴－<k<(k∈Z).

∴k＝－2，－1，0，1.

∴θ的值是－π，－π，π，π.

二、能力提升

11.如图，Rt△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A，若弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝αrad，则(　　)

A.tan α＝α   B.tan α＝2α

C.sin α＝2cos α   D.2sin α＝cos α

答案　B

解析　在Rt△POB中，PB＝OBtan α，

所以S△POB＝PB·OB＝OB2tan α.

又S扇形AOB＝OB2·α，

且S扇形AOB＝S△POB，

所以tan α＝2α.故选B.

12.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________.

答案　＋，－

解析　设这两个角为α，β弧度，

不妨设α>β，则

解得

13.已知扇形的圆心角为α，半径为r.

(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；

(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值.

解　(1)由题意，可得2r＋αr＝C，

则αr＝C－2r，

得扇形面积

S＝αr2＝(C－2r)r＝－r2＋Cr，

故当r＝C时，S取得最大值C2，

此时α＝－2＝2.

(2)由题意，可得S＝αr2，则αr＝，

得扇形周长C＝2r＋αr＝2r＋≥4，

当且仅当2r＝，即r＝时取等号，

即r＝时，C取得最小值4，

此时α＝＝2.

三、创新拓展

14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　　)

A.6平方米   B.9平方米

C.12平方米   D.15平方米

答案　B

解析　如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝4，

在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，

可得矢＝4－2＝2，

由AD＝AO·sin＝4×＝2，

可得弦＝2AD＝2×2＝4，

所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米).