人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案设计，共8页。


授课提示：对应学生用书第79页
[教材提炼]
知识点一 角度制与弧度制
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
设 α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧eq \x\t(PP1)的长为l.由初中所学知识可知l＝eq \f(nπr,180)，于是eq \f(l,r)＝neq \f(π,180).如果n°确定，eq \f(l,r)的值变化吗？
知识梳理 (1)度量角的单位制
(2)弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq \f(l,r).这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
(3)弧度制与角度制的换算公式
(4)角的集合与实数集R的关系
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．
知识点二 扇形的弧长、面积
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？
知识梳理 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝eq \f(nπ,180)，则
[自主检测]
1．2 rad的角的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
2．若一扇形的圆心角为eq \f(2,5)π，半径为20 cm，则扇形的面积为( )
A．40π cm2 B．80π cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
解析：因为扇形的圆心角为eq \f(2,5)π，半径为20 cm，所以扇形的面积为S扇形＝eq \f(1,2)αR2＝80π cm2，故选B.
答案：B
3．请将下列角度化为弧度，弧度化为角度．
(1)60°＝________，150°＝________；
(2)eq \f(π,6)＝________，eq \f(2π,3)＝________.
解析：根据角度与弧度的互化公式知
60°＝eq \f(π,3)，150°＝eq \f(5π,6)，eq \f(π,6)＝30°，eq \f(2π,3)＝120°.
答案：(1)eq \f(π,3) eq \f(5π,6) (2)30° 120°
4．终边在y轴上的角的集合用弧度表示为________．
答案：{β|β＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
授课提示：对应学生用书第80页
探究一 角度与弧度之间的互化
[例1] (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：
α1＝－eq \f(11,7)π，α2＝eq \f(511,6)π，α3＝9，α4＝－855°；
(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式：eq \f(16π,3)，－315°，－eq \f(11π,7)；
(3)在0°～720°中找出与eq \f(2π,5)终边相同的角．
[解析] (1)α1＝－eq \f(11,7)π＝－eq \f(11,7)×180°≈－282.86 °；
α2＝eq \f(511,6)π＝eq \f(511,6)×180°＝15 330°；
α3＝9＝9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈515.66°；
α4＝－855°＝－855×eq \f(π,180)＝－eq \f(19,4)π.
(2)eq \f(16π,3)＝4π＋eq \f(4π,3)；
－315°＝－360°＋45°＝－2π＋eq \f(π,4)；
－eq \f(11π,7)＝－2π＋eq \f(3π,7).
(3)∵eq \f(2π,5)＝eq \f(2,5)×180°＝72°，
∴与eq \f(2π,5)终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在0°～720°中与eq \f(2π,5)终边相同的角为72°，432°.
1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×(eq \f(180,π))°＝度数．
2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记：
(1)已知α＝15°，β＝eq \f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq \f(7,12)π，试比较它们的大小．
(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
解析：(1)法一：(化为弧度)：
α＝15°＝15×eq \f(π,180)＝eq \f(π,12)，
θ＝105°＝105×eq \f(π,180)＝eq \f(7π,12)，
显然eq \f(π,12)＜eq \f(π,10)＜1＜eq \f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二：(化为角度)：
β＝eq \f(π,10)＝eq \f(π,10)×(eq \f(180,π))°＝18°，γ＝1≈57.30°，
φ＝eq \f(7π,12)×(eq \f(180,π))°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
(2)－1 480°＝－1 480×eq \f(π,180)＝－eq \f(74π,9)＝－10π＋eq \f(16π,9)，其中0≤eq \f(16π,9)<2π，因为eq \f(16π,9)是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．
探究二 用弧度制表示角
[例2] 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
[解析] 对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－eq \f(3π,4)，60°角的终边即eq \f(π,3)的终边，
∴所求集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(3π,4)＜α＜2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).
对于题图(2)，同理可得，
所求集合为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))∪
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋π＋\f(π,2)，k∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)＜α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边．
用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．
解析：因为150°＝eq \f(5,6)π，所以终边落在阴影区域内角的集合为
S＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋2kπ≤β≤\f(3,2)π＋2kπ，k∈Z)))).
因为2 014°＝214°＋5×360°＝eq \f(107π,90)＋10π.
又eq \f(5,6)π所以2 014°＝eq \f(107π,90)∈S.
探究三 扇形的弧长、面积公式的应用
[例3] [教材P174例6拓展探究]
(1)已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
[解析] 设扇形的圆心角为α，半径为r，则
2r＋|α|r＝4，∴|α|＝eq \f(4,r)－2.
∴S扇形＝eq \f(1,2)|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1.
∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.
[答案] 1 cm 2 1 cm2
(2)求半径为2，圆心角为eq \f(5π,3)的圆弧的长度．
[解析] ∵半径R＝2，圆心角α＝eq \f(5π,3)，
∴弧长l＝|α|·R＝eq \f(10π,3).
(3)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
[解析] 设扇形的半径为r，弧长为l，所对圆心角为α(0<α<2π)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝10，,\f(1,2)rl＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝8，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝4，,l＝2.))
当r＝1时，l＝8，此时α＝eq \f(l,r)＝8(rad)>2π，不符合，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)(rad)．
∴所求圆心角的弧度数为eq \f(1,2)rad.
求扇形的弧长和面积的解题技巧
(1)记公式：弧长公式为：l＝|α|R.面积公式为S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)|α|R2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
授课提示：对应学生用书第81页
一、弧度的实际应用
生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便．
[典例] 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．
(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少？
[解析] 设大齿轮的半径为R，小齿轮的半径为r.
根据题意设大齿轮的周长L＝48.
小齿轮的周长l＝20.
故eq \f(2πR,2πr)＝eq \f(48,20)，即eq \f(R,r)＝eq \f(48,20).
(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为θ，
∴θr＝2πR，
θ＝eq \f(R,r)×2π＝eq \f(48,20)×2π＝eq \f(24,5)π.
(2)大轮的转速v1＝3 r/s，
故小轮的转速v2＝eq \f(48,20)×3，
1 s转过的弧长为eq \f(48,20)×3×2π×10.5＝151.2π(cm)．
二、角度制与弧度制混用
[典例] 把角－570°化为2kπ＋α(0≤α＜2π)的形式为( )
A．－3π－eq \f(1,6)π B．－4π＋150°
C．－3kπ－30° D．－4π＋eq \f(5,6)π
[解析] －570°＝－2×360°＋150°，
化为弧度为－4π＋eq \f(5,6)π.
[答案] D
纠错心得 (1)－3π不是2kπ的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2kπ＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A，C错．
(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B错．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．
数学运算
数学抽象
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．
3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公式.
单位制
内容
角度制
周角的eq \f(1,360)为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制
弧度制
规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝(eq \f(180,π))°≈57.30°
度量单位
类 别
弧度制
角度制
扇形的弧长
l＝αR
l＝eq \f(nπR,180)
扇形的面积
S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2
S＝eq \f(nπR2,360)
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
eq \f(2,3)π
eq \f(3,4)π
eq \f(5,6)π
π
角度
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
eq \f(7,6)π
eq \f(5,4)π
eq \f(4,3)π
eq \f(3,2)π
eq \f(5,3)π
eq \f(7,4)π
eq \f(11,6)π
2π