高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.1 任意角与弧度制优质课件ppt

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1.了解任意角、相反角的概念，能正确区分正角、负角和零角.2.理解象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角是不是终边相同的角.3.会用集合的形式表示象限角、轴线角和终边相同的角，能进行简单的角的集合之间的运算.核心素养：数学抽象、逻辑推理
【导入】现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体 540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0°~360°，并 且旋转的方向也不相同.
【探究】如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两 个齿轮旋转的方向刚好相反，联想到角的旋转定义
(一个角的大小取决于绕顶点旋转的的射线旋转的角度)，我们知道，要准确描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要我们对角的概念加以推广.
【定义】我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就 形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果 是零角，那么 .
左图中的角是一个正角，它等于730°.右图中，正角 ，负角 ， ，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针与分针在旋转时形成的角总是负角.
为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角 或∠ 可以简记为
【1】设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.
设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. 类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念.如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β). 于是角的减法可以转化为角的加法，如图：
（1）角的概念推广后，角度的范围不再局限于0°~360°
（2）确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，如顺时针旋 转30°和逆时针旋转30°缩成的角是不同的，它们互为相反角.
（3）用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少.
（4）角的概念推广后，角的加减可以类比正负数的加减规则.
【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角 的终边始终与 轴的非负半轴重合. 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如下图左 边的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角.
如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我们称这个角为轴线角.如上边右图的角γ.
【问题】锐角，第一象限角，小于90°的角，它们之间的区别是什么？
【答】①第一象限角不一定是锐角，如图左
②锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如图中
③小于90°的角还包括零角和负角，如图右
【问题】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，反 过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为 终边的角是否唯一？ 答案是否定的.那么终边相同的角有什么关系？
【答】不难发现，OB除了可以表示30°的角之外，还可以表示390°，-330°等角. 与30°终边相同的这些角都可以表示成30°角与k个(k∈Z)周角的和.
390°=30°+360°(k=1) -330°=30°-360°(k=-1)
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
{β|β=α+k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.当k=0时，角β就是角α本身.
【总结】对于{β|β=α+k·360°，k∈Z}的理解应注意以下几点：
【2】k∈Z有三层含义：
①特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角
②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括角α本身)
③从集合意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数 时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k=0时，没有旋转.
【3】集合中的k·360°与α之间用+连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)， 表示与-30°角终边相同的角
【整理】各象限角的集合表示
{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}
{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z}
{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z}
{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}
【整理】轴线角的集合表示
{α|α=k·360°，k∈Z}
{α|α=k·360°+180°，k∈Z}
{α|α=k·360°+90°，k∈Z}
{α|α=k·360°+270°，k∈Z}
{α|α=k·180°，k∈Z}
{α|α=k·180°+90°，k∈Z}
{α|α=k·90°，k∈Z}
【1】锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？
【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.
【2】第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一定是钝角吗？
【解】第一象限角不一定是锐角，如390°； 轴线角不一定是直角，如180°； 第二象限角不一定是钝角，如-210°.
【3】分别写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合
【解】①在0°~3600°范围来看，阴影部分的角α的 范围是30°≤α≤105°，所以在坐标系中角α 的范围是
{α|k·360°+30°≤α≤k·360°+105°,k∈Z}
②在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的范围是210°≤α≤285°，所以在坐标系中角α的范围是
{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+285°,k∈Z}
【4】若α是第二象限角，请确定2α的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以
k·360°+90°＜α ＜ k·360°+180°,k∈Z
所以2k·360°+180° ＜ 2α ＜ 2k·360°+360°,k∈Z
如图，即2α的终边位于第三或者第四象限，或者位于y轴的负半轴上.
【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置
所以k·180°+45° ＜ ＜ k·180°+90°,k∈Z
k=2n(n∈Z)时，
k·360°+45° ＜ ＜ k·360°+90°,k∈Z
k=2n+1(n∈Z)时，
k·360°+225° ＜ ＜ k·360°+270°,k∈Z
所以 的终边位于第一或者第三象限.
也可以运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成2部分，并且依次标①②③④，则标②的就是 所在的区域.
这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并且依次标上①②③④，则标③的就是 所在的区域.
1.下列说法正确的是 A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第四象限角一定是负角D.小于90°的角都是锐角
2.与－457°角终边相同的角的集合是 A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析　－457°＝－2×360°＋263°，故选C.
3.2 018°是 （ ）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
解析　2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角.
4.已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______.
解析　3×360°＋30°＝1 110°.
5.如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
解　终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解　终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意 (1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少.