人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案及答案

§5.1.2 弧度制

导学目标：

（1）掌握弧度制的定义；学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念．

（2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．

（预习教材P130~ P135，回答下列问题）

复习1：平角            ；周角            ；1度=         分

复习2：规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．

思考：还有没有其他度量角的单位制呢？

【知识点一】弧度制

我们规定,长度等于                                 所对的圆心角称为1弧度的角．

用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做              ；

在实际运算中，常常将rad单位省略，即可简记为．

自我检测1-1：如图：

周角=            

思考：如图，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?

则圆心角        

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分：

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

（2）角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）

（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

     用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同；

角度制与弧度制可以自由互换，但同一代数式中角度制与弧度制不可混用．

自我检测1-2：如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合．交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格．

【知识点二】角度制与弧度制的换算

　   从上表可知：， 所以 ，类比可以得到：

自我检测2：常见角的角度和弧度的互化

【知识点三】弧度制下的扇形弧长和面积公式

角度制下的扇形弧长公式为：；面积公式为：  ；（是角度数）

借助公式               ；                   ；（是弧度数）

自我检测3：利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径．

【知识点四】角和实数的对应关系

今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略  如：3表示3rad ；

应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系．

题型一　角度与弧度的换算

【例1-1】将下列各角进行角度与弧度的互化：

（1）；  （2）；   （3）；   （4）－.

【例1-2】已知角.

（1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；

（2）在区间上找出与角终边相同的角.

题型二 用弧度制表示角的集合　

【例2-1】用弧度制表示下列角的集合

（1）终边落在正半轴上的角：                                                     

（2）终边落在正半轴上的角：                                                     

（3）终边落在负半轴上的角：                                                     

（4）终边落在负半轴上的角：                                                     

（5）终边落在轴上的角：                                                     

（6）终边落在坐标轴上的角：                                                     

（7）终边落在射线上的角：                                                     

（8）终边落在第一象限内的角：                                                

【例2-2】用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内的角的集合．

题型三　与扇形弧长、面积相关的问题

【例3】(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2；

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．

1．下列说法中错误的是（   ）

A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系

B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的

C．根据弧度的定义，一定等于弧度

D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关

2．下列角中，与角终边相同的角是（    ）

A． B． 

C． D．

3．把表示成的形式，使最小的的值是（    ）

A． B． 

C． D．

4．当角与的终边互为反向延长线，则角与的关系一定是（    ）

A． B．

C． D．

5．若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ）

A． B．

C． D．

§5.1.2 弧度制

参考答案

导学目标：

（1）掌握弧度制的定义；学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念．

（2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．

（预习教材P130~ P135，回答下列问题）

复习1：平角            ；周角            ；1度=         分

复习2：规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．

思考：还有没有其他度量角的单位制呢？

【知识点一】弧度制

我们规定,长度等于                                 所对的圆心角称为1弧度的角．

用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做              ；

在实际运算中，常常将rad单位省略，即可简记为．

自我检测1-1：如图：

周角=            

思考：如图，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?

则圆心角        

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分：

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

（2）角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）

（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

     用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同；

角度制与弧度制可以自由互换，但同一代数式中角度制与弧度制不可混用．

自我检测1-2：如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合．交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格．

【知识点二】角度制与弧度制的换算

　   从上表可知：， 所以 ，类比可以得到：

自我检测2：常见角的角度和弧度的互化

【知识点三】弧度制下的扇形弧长和面积公式

角度制下的扇形弧长公式为：；面积公式为：  ；（是角度数）

借助公式               ；                   ；（是弧度数）

自我检测3：利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径．

【知识点四】角和实数的对应关系

今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略  如：3表示3rad ；

应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系．

题型一　角度与弧度的换算

【例1-1】将下列各角进行角度与弧度的互化：

（1）；  （2）；   （3）；   （4）－.

【答案】

（1）          （2）

（3）            （4）－＝－×180°＝－396°.

【例1-2】已知角.

（1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；

（2）在区间上找出与角终边相同的角.

【答案】

（1），是第三象限角，

∴是第三象限角．

（2）由得，因为，∴，对应角依次为．

题型二 用弧度制表示角的集合　

【例2-1】用弧度制表示下列角的集合

（1）终边落在正半轴上的角：                                                     

（2）终边落在正半轴上的角：                                                     

（3）终边落在负半轴上的角：                                                     

（4）终边落在负半轴上的角：                                                     

（5）终边落在轴上的角：                                                     

（6）终边落在坐标轴上的角：                                                     

（7）终边落在射线上的角：                                                     

（8）终边落在第一象限内的角：                                                

【例2-2】用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内的角的集合．

【答案】对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.

对于题图(2)，同理可得，所求集合为

∪

题型三　与扇形弧长、面积相关的问题

【例3】(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 cm，则此扇形的面积为________ cm2；

(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．

【答案】(1)设扇形弧长为l，

因为120°＝120× rad＝(rad)，

所以l＝αR＝×＝(cm)．

所以S＝lR＝××＝π(cm2)．

故填π.

(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为R，

依题意有

①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4.

当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．

当R＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝(rad)．

综上可知，扇形圆心角的弧度数为rad．

1．下列说法中错误的是（   ）

A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系

B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的

C．根据弧度的定义，一定等于弧度

D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关

【答案】D

2．下列角中，与角终边相同的角是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

3．把表示成的形式，使最小的的值是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

4．当角与的终边互为反向延长线，则角与的关系一定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

5．若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D