湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数导学案，共13页。

第1课时 用比值定义三角函数
教材要点
要点一 任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)的定义：sin α＝________，cs α＝________，tan α＝________，其中r＝x2+y2.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切，y＝sin α，y＝cs α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为三角函数．
状元随笔 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．
要点二 三角函数的定义域
正弦函数y＝sin α，定义域为________；
余弦函数y＝cs α，定义域为________；
正切函数y＝tan α，定义域为________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin α表示sin 与α的乘积．( )
(2)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化．( )
(3)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝yr，且y越大，sin α的值越大．( )
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )
2．已知角α的终边与单位圆交于点-32，-12，则sin α的值为( )

A．－32 B．－12 C．32 D．12
3．若角θ的终边经过点P-22，22，则tan θ＝( )
A．22 B．－22 C．－1 D．－32
4．如果角α的终边经过点P(－1，3)，则cs α＝________．
题型1 单位圆法求三角函数值
例1 (1)角α终边与单位圆相交于点M32，12，则cs α＋sin α的值为________．
(2)利用定义求5π6的正弦、余弦和正切值．
方法归纳
1．若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值．
2．若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝yx.
跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点1213，513和-35，45，那么sin αcs β＝( )
A．－3665 B．－313
C．413 D．4865
(2)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为35，求tan α.
题型2 坐标法求三角函数值
例2 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cs α的值．
方法归纳
(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝yr，cs α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练2 已知角α的终边上一点P(1，m)，且sin α＝63，则m＝( )
A．±2 B．2
C．－2 D．62
题型3 三角函数概念的综合应用
例3 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3csα的值．
方法归纳
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况进行处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ba2+b2，cs α＝aa2+b2，tan α＝ba.
跟踪训练3 已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cs α，tan α的值．
易错辨析 忽略题目中的隐含条件致误
例4 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)且cs α＝－45，则m的值为( )
A．12 B．－12
C．－32 D．±12
解析：∵点P到原点的距离r＝64m2+9，
∴cs α＝-8m64m2+9＝－45，
即4m264m2+9＝125，且m＞0，解得m＝12.
故选A.
答案：A
易错警示
课堂十分钟
1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点-35，45，则tan α的值为( )
A．－43 B．－34
C．－45 D．－35
2．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x轴非负半轴重合，角θ的终边经过点P(－3，4)，则cs θ＝( )
A．－35 B．45
C．－325 D．425
3．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cs 30°)，则sin α的值等于( )
A．12 B．－12
C．－32 D．－33
4．已知角α的终边在射线y＝－x(x≤0)上，则cs α＝________．
5．已知角θ的终边上一点P(－3，m)，且sin θ＝24m.求cs θ与tan θ.
5．2 任意角的三角函数
5．2.1 任意角三角函数的定义
第1课时 用比值定义三角函数
新知初探·课前预习
要点一
yr xr yx
要点二
R R αα≠π2+kπ，k∈Z
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y＝－12.
故选B.
答案：B
3．解析：角θ的终边经过点P(－22，22)，则tan θ＝22－22＝－1，
故选C.
答案：C
4．解析：∵角α的终边经过点P(－1，3)，∴|OP|＝（-1）2+（3）2＝2，∴cs α＝－12.
答案：－ eq \f(1,2)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由三角函数的定义得sin α＝ eq \f(1,2) ，cs α＝ eq \f(\r(3),2) ，
所以cs α＋sin α＝ eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(3)＋1,2) .
(2)如图所示， eq \f(5π,6) 的终边与单位圆的交点为P，过P作PB⊥x轴于点B，
在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝ eq \f(π,6) ，
则|PB|＝ eq \f(1,2) ，|OB|＝ eq \f(\r(3),2) ，
则P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
所以sin eq \f(5π,6) ＝ eq \f(1,2) ，cs eq \f(5π,6) ＝－ eq \f(\r(3),2)
tan eq \f(5π,6) ＝－ eq \f(\r(3),3) .
答案：(1) eq \f(\r(3)＋1,2) (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)由三角函数的定义sin α＝ eq \f(5,13) ，cs β＝－ eq \f(3,5) ，
所以sin αcs β＝ eq \f(5,13) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))) ＝－ eq \f(3,13) .
故选B.
(2)由题意，设点A的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(3,5))) ，
所以x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up12(2) ＝1，解得x＝ eq \f(4,5) 或－ eq \f(4,5) .
当x＝ eq \f(4,5) 时，tan α＝ eq \f(\f(3,5),\f(4,5)) ＝ eq \f(3,4) ；
当x＝－ eq \f(4,5) 时，tan α＝ eq \f(\f(3,5),－\f(4,5)) ＝－ eq \f(3,4) .
答案：(1)B (2)见解析
例2 解析：r＝ eq \r(（－3a）2＋（4a）2) ＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(4a,5a) ＝ eq \f(4,5) ，
cs α＝ eq \f(x,r) ＝ eq \f(－3a,5a) ＝－ eq \f(3,5) ，
所以2sin α＋cs α＝ eq \f(8,5) － eq \f(3,5) ＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝ eq \f(4a,－5a) ＝－ eq \f(4,5) ，cs α＝ eq \f(－3a,－5a) ＝ eq \f(3,5) .
所以2sin α＋cs α＝－ eq \f(8,5) ＋ eq \f(3,5) ＝－1.
综上所述：当a>0时，2sin α＋cs α＝1；当a<0时，2sin α＋cs α＝－1.
跟踪训练2 解析：角α的终边上一点P(1，m)，
所以r＝|OP|＝ eq \r(1＋m2) ，
所以sin α＝ eq \f(m,\r(1＋m2)) ＝ eq \f(\r(6),3) >0，
解得m＝ eq \r(2) .
故选B.
答案：B
例3 解析：由题意知，cs α≠0.
设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，r＝ eq \r(k2＋（－3k）2) ＝ eq \r(10) |k|.
(1)当k>0时，r＝ eq \r(10) k，α是第四象限角，
sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(－3k,\r(10)k) ＝－ eq \f(3\r(10),10) ，
eq \f(1,cs α) ＝ eq \f(r,x) ＝ eq \f(\r(10)k,k) ＝ eq \r(10) ，
所以10sin α＋ eq \f(3,cs α) ＝10× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10))) ＋3 eq \r(10) ＝－3 eq \r(10) ＋3 eq \r(10) ＝0.
(2)当k<0时，r＝－ eq \r(10) k，α是第二象限角，sin α＝ eq \f(y,r) ＝ eq \f(－3k,－\r(10)k) ＝ eq \f(3\r(10),10) ，
eq \f(1,cs α) ＝ eq \f(r,x) ＝ eq \f(－\r(10)k,k) ＝－ eq \r(10) ，
所以10sin α＋ eq \f(3,cs α) ＝10× eq \f(3\r(10),10) ＋3×(－ eq \r(10) )＝3 eq \r(10) －3 eq \r(10) ＝0.
综上所述，10sin α＋ eq \f(3,cs α) ＝0.
跟踪训练3 解析：因为角α的终边在直线y＝ eq \r(3) x上，
所以可设P(a， eq \r(3) a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝ eq \r(a2＋（\r(3)a）2) ＝2|a|(a≠0).
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝ eq \f(\r(3)a,2a) ＝ eq \f(\r(3),2) ，cs α＝ eq \f(a,2a) ＝ eq \f(1,2) ，
tan α＝ eq \f(\r(3)a,a) ＝ eq \r(3) .
若a<0时，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝ eq \f(\r(3)a,－2a) ＝－ eq \f(\r(3),2) ，
cs α＝ eq \f(a,－2a) ＝－ eq \f(1,2) ，tan α＝ eq \f(\r(3)a,a) ＝ eq \r(3) .
[课堂十分钟]
1．解析：由正切函数的定义可得，tan α＝45-35＝－43.
故选A.
答案：A
2．解析：∵角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x轴非负半轴重合，
角θ的终边经过点P(－3，4)，则cs θ＝-39+16＝－35，
故选A.
答案：A
3．解析：∵x＝2sin 30°＝1，y＝－2cs 30°＝－3，
∴r＝12+(-3)2＝2，∴sin α＝yr＝－32.
故选C.
答案：C
4．解析：在角α的终边y＝－x(x≤0)上任取一点(－1，1)，
则cs α＝-11+1＝－22.
答案：－ eq \f(\r(2),2)
5．解析：由题意得sin θ＝ eq \f(m,\r(m2＋3)) ＝ eq \f(\r(2),4) m，
若m＝0，则cs θ＝－1，tan θ＝0.
若m≠0，则m＝± eq \r(5) .
当m＝ eq \r(5) 时，cs θ＝－ eq \f(\r(6),4) ，tan θ＝－ eq \f(\r(15),3) ；
当m＝－ eq \r(5) 时，cs θ＝－ eq \f(\r(6),4) ，tan θ＝ eq \f(\r(15),3) .
最新课程标准
学科核心素养
1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
2．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，sinxcsx＝tan x．
1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(数学抽象)
2．理解并掌握同角三角函数的基本关系式．(数学抽象)
3．能利用三角函数的定义，同角三角函数关系进行相关运算．(数学运算)
4．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式，并会化简、求值与证明．(直观想象、数学运算)
易错原因
纠错心得
忽视m＞0这一条件，易错选D.
在解这类问题时，一定要注意题目中的隐含条件，把取值范围限定在最小的区间，这样才可以准确得出α所在象限或参数的值．